МЕХАНИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
-----------------------------------------------------------------------
I. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
-----------------------------------------------------------------------
1. Тело совершает колебания по закону 
. Время релаксации (в 
) равно …
-----------------------------------------------------------------------
Ответ: 4.
Решение:
Время релаксации 
– это время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в 
(~ 2,7 – основание натурального логарифма) раз. Время релаксации связано с коэффициентом затухания: 
. Коэффициент затухания 
, поскольку закон, по которому происходят затухающие колебания, имеет вид: 
. Таким образом, время релаксации 
.
-----------------------------------------------------------------------
2. В колебательном контуре за один период колебаний в тепло переходит 4,0 % энергии. Добротность контура равна …
-----------------------------------------------------------------------
Ответ: 157.
Решение:
По определению добротность равна 
где 
и 
– энергия контура в некоторый момент времени и спустя период соответственно. Следовательно, 
-----------------------------------------------------------------------
3. Шарик, прикрепленный к пружине (пружинный маятник) и насаженный на горизонтальную направляющую, совершает гармонические колебания.
На графике представлена зависимость проекции силы упругости пружины на положительное направление оси Х от координаты шарика.
В положении О энергия пружинного маятника (в мДж) равна …
-----------------------------------------------------------------------
Ответ: 40.
Решение:
В положении О пружинный маятник обладает кинетической энергией, потенциальная энергия равна нулю. По закону сохранения энергии кинетическая энергия в положении О равна потенциальной энергии в положении В. Потенциальную энергию можно найти по формуле 
, где 
коэффициент жесткости пружины, 
растяжение (сжатие) пружины. Жесткость пружины можно определить, используя график: 
; 
. Величину растяжения пружины в положении В также можно определить из графика: 
. 
Следовательно, кинетическая энергия в положении О равна: 
-----------------------------------------------------------------------
4. Тело совершает гармонические колебания около положения равновесия (точка 3) с амплитудой 
(см. рис.). Ускорение тела равно нулю в точке …
-----------------------------------------------------------------------
Ответ: 3.
Решение:
При гармонических колебаниях смещение тела от положения равновесия изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Пусть 
. Поскольку ускорение тела равно второй производной от координаты по времени, зависимость ускорения от времени дается выражением 
. Отсюда следует, что ускорение равно нулю в тех точках траектории, в которых равна нулю величина смещения тела из положения равновесия, то есть в точке 3.
-----------------------------------------------------------------------
5. Маятник совершает колебания, которые подчиняются дифференциальному уравнению 
Время релаксации равно _____ c.
-----------------------------------------------------------------------
Ответ: 4.
Решение:
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид 
, где 
коэффициент затухания, 
собственная круговая частота колебаний. Время релаксации – это время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в (~ 2,7) раз. Время релаксации связано с коэффициентом затухания: 
. Коэффициент затухания равен: 
. Значит время релаксации 
-----------------------------------------------------------------------
6. Амплитуда затухающих колебаний уменьшилась в 
раз ( – основание натурального логарифма) за 
. Коэффициент затухания (в 
) равен …
-----------------------------------------------------------------------
Ответ: 20.
Решение:
Амплитуда затухающих колебаний изменяется со временем по закону 
, где 
– коэффициент затухания. По условию 
. Тогда 
и 
.
-----------------------------------------------------------------------
7. На рисунках изображены зависимости от времени скорости и ускорения материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону.
Циклическая частота колебаний точки равна ______ 
-----------------------------------------------------------------------
Ответ: 2.
Решение:
Амплитудные значения скорости и ускорения определяются по формулам 
, 
, где 
амплитуда координаты (максимальное смещение материальной точки), 
циклическая частота. Используя графики, находим: 
; 
Амплитуда – величина положительная по определению. Следовательно, 
.
-----------------------------------------------------------------------
8. На рисунках изображены зависимости от времени координаты и скорости материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону:
Циклическая частота колебаний точки (в ) равна …
-----------------------------------------------------------------------
Ответ: 2.
Решение:
При гармонических колебаниях смещение точки от положения равновесия изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Пусть . Скорость есть первая производная по времени от смещения точки: 
. Отсюда амплитудное значение скорости 
. Отсюда 
. Приведенные графики позволяют найти 
и 
. Тогда циклическая частота колебаний точки 
.
-----------------------------------------------------------------------
9. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности 
конденсатора 
и сопротивления 
Добротность контура равна …
-----------------------------------------------------------------------
Ответ: 200.
Решение:
Добротность контура равна: 
-----------------------------------------------------------------------
10. Пружинный маятник с жесткостью пружины 
совершает вынужденные колебания со слабым коэффициентом затухания 
которые подчиняются дифференциальному уравнению 
Амплитуда колебаний будет максимальна, если массу груза увеличить в _____ раз(-а).
-----------------------------------------------------------------------
Ответ: 9.
Решение:
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид 
, где коэффициент затухания, собственная круговая частота колебаний; 
амплитудное значение вынуждающей силы, деленное на массу; 
частота вынуждающей силы. При слабом затухании (коэффициент затухания значительно меньше собственной частоты колебаний маятника) амплитуда колебаний будет максимальна, если частота вынуждающей силы совпадет с собственной частотой колебаний маятника (явление резонанса). Собственная частота колебаний равна: 
частота вынуждающей силы 
. Для пружинного маятника 
значит, масса груза 
Чтобы частота вынуждающей силы совпала с собственной частотой колебаний маятника, масса должна быть равна 
Следовательно, массу груза нужно увеличить в 9 раз.
-----------------------------------------------------------------------
II. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
-----------------------------------------------------------------------
1. Сопротивление 
катушка индуктивности 
и конденсатор 
соединены последовательно и подключены к источнику переменного напряжения, изменяющегося по закону 
(В). Установите соответствие между сопротивлениями различных элементов цепи и их численными значениями.
1. Активное сопротивление
2. Индуктивное сопротивление
3. Емкостное сопротивление
| 100 Ом | |
| 100 Ом | |
| 10 Ом | |
| 1 Ом |
-----------------------------------------------------------------------
Решение:
Активное сопротивление индуктивное сопротивление 
емкостное сопротивление 
-----------------------------------------------------------------------
2. Сопротивление, катушка индуктивности и конденсатор соединены последовательно и включены в цепь переменного тока, изменяющегося по закону 
(А). На рисунке представлена фазовая диаграмма падений напряжений на указанных элементах. Амплитудные значения напряжений соответственно равны: на сопротивлении 
; на катушке индуктивности 
; на конденсаторе 
Установите соответствие между сопротивлением и его численным значением.
1. 40 Ом
2. 30 Ом
3. 50 Ом
| активное сопротивление | |
| реактивное сопротивление | |
| полное сопротивление | |
| емкостное сопротивление |
-----------------------------------------------------------------------
Решение:
Используем метод векторных диаграмм. Длина вектора равна амплитудному значению напряжения, а угол, который вектор составляет с осью ОХ, − разности фаз колебаний напряжения на соответствующем элементе и колебаний силы тока в цепи. Сложив три вектора, найдем амплитудное значение полного напряжения: 
. Величина 
Полное сопротивление контура найдем по закону Ома: 
, где 
амплитудные значения напряжения и силы тока. Амплитудное значение силы тока, как это следует из закона его изменения, равно 0,1 А. Тогда 
. Активное сопротивление 
Полное сопротивление цепи равно 
, где 
реактивное сопротивление; 
индуктивное и емкостное сопротивления соответственно. Отсюда 
-----------------------------------------------------------------------
3. Сопротивление, катушка индуктивности и конденсатор соединены последовательно и включены в цепь переменного тока, изменяющегося по закону 
(А). На рисунке схематически представлена фазовая диаграмма падений напряжения на указанных элементах. Амплитудные значения напряжений соответственно равны: на сопротивлении 
; на катушке индуктивности 
; на конденсаторе 
Установите соответствие между сопротивлением и его численным значением.
1. Полное сопротивление
2. Активное сопротивление
3. Реактивное сопротивление
| |
| |
| |
|
-----------------------------------------------------------------------
Решение:
Для решения используется метод векторных диаграмм. Длина вектора равна амплитудному значению напряжения, а угол, который вектор составляет с осью ОХ, равен разности фаз колебаний напряжения на соответствующем элементе и силы тока в цепи. Амплитудное значение полного напряжения равно 
. Величина 
Полное сопротивление цепи связано с амплитудными значениями тока и напряжения законом Ома: 
. Амплитудное значение силы тока, как это следует из закона его изменения, равно 
. Тогда 
Активное сопротивление 
Полное сопротивление цепи равно: 
, где 
реактивное сопротивление; индуктивное и емкостное сопротивления соответственно. Отсюда 
-----------------------------------------------------------------------
4. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми частотами и амплитудами, равными 
и 
. Установите соответствие между амплитудой результирующего колебания и разностью фаз складываемых колебаний.
1. 
2. 
3. 
| |
| |
| |
|
-----------------------------------------------------------------------
Решение:
Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении двух гармонических колебаний одного направления с одинаковыми частотами, определяется по формуле 
, где 
и 
– амплитуды складываемых колебаний, (
) – разность их фаз. Если амплитуда результирующего колебания 
, то 
. Тогда 
и разность фаз складываемых колебаний равна 
.
Если 
, то 
. Тогда 
, следовательно, 
.
Если 
, то 
. Тогда 
, следовательно, 
.
-----------------------------------------------------------------------
5. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми частотами и равными амплитудами 
. Установите соответствие между разностью фаз складываемых колебаний и амплитудой результирующего колебания.
1.
2.
3. 0
| |
|
| |
| |
-----------------------------------------------------------------------
Решение:
Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении двух гармонических колебаний одного направления с одинаковыми частотами, определяется по формуле 
, где и – амплитуды, () – разность фаз складываемых колебаний.
Если разность фаз 
, 
, то 
и 
.
Если 
, 
, то .
Если 
, 
, то 
.
-----------------------------------------------------------------------
6. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми частотами и амплитудами, равными и . Установите соответствие между разностью фаз складываемых колебаний и амплитудой результирующего колебания.
1. 0
2.
3.
| |
| |
|
| |
|
|
-----------------------------------------------------------------------
Решение:
Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении двух гармонических колебаний одного направления с одинаковыми частотами, определяется по формуле 
, где и – амплитуды, () – разность фаз складываемых колебаний. Если разность фаз , , то 
и 
. Этот результат можно было получить сразу: при разности фаз векторы 
и 
сонаправлены, и длина результирующего вектора 
равна сумме длин складываемых векторов. Если 
, то 
и 
.
Если 
, то 
и .
-----------------------------------------------------------------------
7. Резистор с сопротивлением 
, катушка с индуктивностью 
и конденсатор с емкостью 
соединены последовательно и подключены к источнику переменного напряжения, изменяющегося по закону 
.
Установите соответствие между элементом цепи и эффективным значением напряжения на нем.
1. Сопротивление
2. Катушка индуктивности
3. Конденсатор
| |
| |
| |
|
-----------------------------------------------------------------------
Решение:
Индуктивное, емкостное и полное сопротивления цепи равны соответственно: 
, 
, 
. Максимальное значение тока в цепи 
. Эффективное значение тока 
. Тогда искомые падения напряжений на элементах цепи равны: 
, 
, 
.
-----------------------------------------------------------------------
8. Складываются взаимно перпендикулярные колебания. Установите соответствие между формой траектории и законами колебания точки 
вдоль осей координат 
1. Прямая линия
2. Окружность
3. Фигура Лиссажу
| |
| |
| |
|
-----------------------------------------------------------------------
Решение:
При одинаковой частоте колебаний вдоль осей 
исключив параметр времени, можно получить уравнение траектории: 
. Если разность фаз колебаний 
, то уравнение преобразуется к виду 
, или 
, что соответствует уравнению прямой: 
.
Если 
, то 
, что является уравнением эллипса, причем если амплитуды равны 
, то это будет уравнение окружности.
Если складываются колебания с циклическими частотами 
и 
, где 
и 
целые числа, точка описывает сложную кривую, которую называют фигурой Лиссажу. Форма кривой зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний.
-----------------------------------------------------------------------
9. Складываются два взаимно перпендикулярных колебания. Установите соответствие между номером соответствующей траектории и законами колебаний точки вдоль осей координат
| |
| |
| |
| |
|
-----------------------------------------------------------------------
Решение:
При одинаковой частоте складываемых колебаний уравнение траектории точки имеет вид: 
, где 
– разность фаз колебаний. Если разность фаз , то уравнение преобразуется к виду 
, или 
, что соответствует уравнению прямой: 
. Если 
, то 
, что является уравнением эллипса, причем если амплитуды равны , то это будет уравнение окружности.
Если складываются колебания с циклическими частотами и , где и целые числа, точка описывает более сложную кривую, которую называют фигурой Лиссажу. Форма кривой Лиссажу зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний.
-----------------------------------------------------------------------