ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ




В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

ЛЕКЦИЯ 24 Одночастотные вынужденные колебания. Частотные характеристики.

План.

1. Случай одночастотных вынужденных колебаний.

2. Пример.

Исследование вынужденных колебаний нелинейных систем представляет собой в общем сложную задачу в связи с отсутствием суперпозиции отдельных решений, а также существенным изменением поведения системы в зависимости от размера амплитуды колебаний, с наличием не единственного установившегося режима и возможностью перескоков с одного режима на другой, с особенностями высших гармоник, субгармоник, комбинационных частот и с многими другими факторами.

В данной лекции мы рассмотрим случай одночастотных вынужденных колебаний, т. е. колебаний нелинейной системы с частотой внешнего периодического воздействия, и найдем условия их существования.

Рассмотрим нелинейную систему с внешним воздействием (рис. 6.1), заданнымв виде

F(t) = В sin wt. (6.1)

Уравнение динамики системы имеет вид

Решение для вынужденных колебаний будем искать приближенно в форме

где w задано, а неизвестными являются амплитуда а и фаза j.

 

Рис.6.1.

Произведем гармоническую линеаризацию нелинейности:

где коэффициенты q (а) и q’(а) вычисляются для сим­метричных (нечетных) нелинейностей по прежним фор­мулам (4.11), если в них положить y = wt+j.Для конкретных нелинейностей можно здесь использовать формулы, полученные в лекции 13, 14.

Подставим (6.1), (6.3) u (6.4) в уравнение систе­мы (6.2):

Используем символический метод определения периоди­ческого решения, подставив сюда р = jw, а вместо sin wt выражение еjwt. Тогда полу­чим

или

где

Рис. 6.2.

Уравнение (6.6) с двумя неизвестными а и j можно решить графически, как показано на рис. 6.2. Правая часть (6.6) изображается в виде окружности радиуса В, а левая часть Z(a) строится как кривая по точкам с пе­ременным параметром а. Точки пересечения окружности с кривой Z (a) дают решение, причем величина ампли­туды вынужденных колебаний определяется в точке пересечения по отметкам на кривой Z, а фаза—но вели­чине угла (рис. 6.2).

На рис. 6.2 окружности пересекают кривую только при радиусе большем некоторого порогового значения В >Впор- Следовательно, в этом случае одночастотные вынужденные колебания (6.3) возможны только при

 

 

Рис. 6.3.

Pиc.6.4.

достаточно большой амплитуде В, а при меньшей ампли­туде В внешнего воздействия будет иметь место сложное движение, включающее в себя и собственную частоту системы.

Построив серию кривых Z(a) по формуле (6.7) для разных значений частоты внешнего воздействия w (рис. 6.3), можем построить график зависимости поро­гового значения В от частоты w, например, в виде, изоб­раженной на рис. 6.4, где wа — частота автоколебаний данной системы. Тогда мы получим область значений Ви а, в которой существуют одночастотные вынужденные колебания. Эта область называется областью захватывания. Явление захватывания состоит в том, что при В > Впор собственные колеба­ния (автоколебания) срывают­ся и система переходит целиком на одночастотные вынужденные колебания с частотой внешнего воздействия. Строго говоря, эти одночастотные вынужденные колебания будут несинусоидальными. В соответствии со свойством фильтра линейной части (лекция 12) они для перемен­ной х будут только близки к синусоидальным (6.3). Обопределении ­

Рис. 6.5.

высших гармоник этих колебаний см. [22].

На основании рис. 6.3 можно построить зависимости а (w) и j(w), т. е. частотные характеристики замкнутой нелинейной системы по первой гармонике (6.3). В ли­нейных системах частотные характеристики А (w) и j(w) не зависели от размера входной амплитуды и вычисля­лись для единичной амплитуды на входе. В нелинейной же системе характер частотных характеристик А (w)= а (w)/B и j(w) может существенно зависеть от раз­мера В. Поэтому для разных значений В получается се­рия частотных характеристик (рис. 6.5) замкнутой сис­темы по первой гармонике.

Пример. Пусть уравнение системы имеет вид

при гистерезисной нелинейности (рис. 6.6) и f(t) = B sin wt. Тогда в уравнении (6.6), согласно (6.7), бу­дем иметь

Для заданной частоты w = 10 сек -1 и заданных пара­метров системы k = 10, с = 10, b = 4, Т1 = 0,01, T2 =0,02, кривая Z (a) изображенана рис. 6.6, где отмечены

Рис.6.6.

Рис. 6.7.

значения а. Проведя окружности разных радиу­сов В, по точкам пересечения определим зависимости а (В) и j(В) (рис. 6.7) для вынужденных колебаний при данной частоте.


ЛЕКЦИЯ 25 Процессы управления, сопровождающиеся вынужденными вибрациями.

План.

1. Случай наличия внешнего воздействия.

2. Вибрационное сглаживание и вибрационная линеаризация нелинейности при помощи вынужденных вибраций.

3. Вибрационная помехоустойчивость нелинейной системы.

 

Рассмотрим случай, когда в системе при наличии переменного внешнего воздействия протекает некоторый процесс управления, а кроме того к системе приложено внешнее периодическое воздействие. Уравнение динамики системы (рис. 6.1) в этом случае получит вид

где f1(t) = B sin wt, а f(t)—медленное по сравнению с f1(t) воздействие, т. е. спектр возможных частот изменения f(t) много меньше w. Решение будем искать в виде

где (t) —тоже медленная по сравнению с x* (t) функция времени, определяющая процесс управления при наложенных на него вынужденных вибрациях х*.

Полагая, что основной процесс управления х° (t) протекает настолько медленно, что за один период колебаний х* можно приблизительно считать величину х° неиз­менной, используем прежние формулы гармонической линеаризации (4.15), а именно

где F °, q n q' вычисляются по формулам (4.16) и (4.17). Для некоторых конкретных нелинейностей эти функции приведены в лекции 13, 14 (примеры 6—10).

Подставив (6.10) u (6.9) в уравнение (6.8), разобьем его на два. Для медленных составляющих.(процесс управления) имеем

а для вибрационных составляющих

Нетрудно видеть, что неизвестные х 0 и а могут быть определены только на основе совместного решения обоих уравнений. Если, решив уравнение (6.12), найти зави­симость а (х°) и подставить ее в выражение F ° (x°, a), полученное по формуле (4.16), то найдем новую нелинейную функцию

Тогда уравнение для процесса управления (6.11) при­мет вид

Оказывается, что нелинейная функция Ф(х°) облада­ет тем свойством, что она имеет вид плавной кривой (рис. 6.8) для любых нелинейностей F(х), u том число релейных и гистерезисных. Поэтому эту функцию можно линеаризовать обычным порядком, определив крутизну в начале координат (рис. 6.8):

Рис. 6.8.

Но согласно (6.13) имеем

а согласно (4.16)

так как произведение четной функции на нечетную ин­тегрируется за период. В соответствии с этим вместо (6.15) получаем важный результат:

Это значит, что для определе­нии kн не нужно находить за­висимости а (х°) и строить новую нелинейную функцию Ф(х °), а достаточно взять част­ную производную по х° от име­ющегося для каждой нелиней­ности выражения F°(x °, а).

С заменой (6.15) уравнение для процесса управления (6.14) принимает вид линейного уравнения

где kн — коэффициент усиления нелинейности в процессе управления, определяемый по формуле (6.18). Например, Для идеальной релейной характеристики (см. лекции 13, 14)

получим

где ас амплитуда симметричных вынужденных колебанийв данной системе, найденных согласно лекции 24.

Для релейных характеристик с зоной нечувствитель­ности и с петлей, дифференцируя (4.31), находим

На рис. 6.9 представлена зависимость коэффициента kн, от амплитуды симметричных вынужденных колебаний.

 

 

Рис.6.9.

Рис. 6.10

Аналогично для релейной характеристики общего вида (рис. 6.10) получаем

Для кусочно-линейной характеристики с зоной не­чувствительности (рис. 6.11) имеем

а для характеристики с насыщением (рис. 6.12)

Итак, пользуясь значениями коэффициента усиления kн, мы можем определять процесс управления в нелиней­ной системе по линейному уравнению (С. 19) на базе линейной теории. Однако при этом надо учитывать, что коэффициент kн, имеет необычные свойства. В самом де­ле, как видно из формул (6.20)—(6.24), он зависит от амплитуды симметричных вынужденных колебаний ас.

Рис.6.11.

Рис.6.12.

Эта амплитуда в свою очередь, согласно лекции 24, зависит от структуры и параметров линейной части системы (ki, Ti) и еще, что очень важно, от амплитуды В и частоты w внешнего вибрационного воздействия. Поэтомупри синтезе системы (6.19), т. е. при выборе ее структуры и параметров надо знать зависимость

а зная (или выбирая) внешнее вибрационное воздейст­вие. надо учитывать также зависимость

Итак, процесс управления при наложенных на него вынужденных вибрациях исследуется по линейному Уравнению (6.19) без определения зависимости а (х°). Однако если все же необходимо определить величину амплитуды а (х 0), то аналогично уравнению (6.5) реше­ние уравнения (6.12) запишется в виде

Где

Графическое решение получается, как показано на рис. 6.2, с той только разницей, что здесь строится, се­рия кривых Z (a) для разных значений х°. В результате на пересечениях этих кривых с окружностью радиуса В и определяется искомая зависимость а (х°). Тогда можно, согласно (6.15), найти и нелинейную функцию Ф(х°), если необходимо учесть эту нелинейность в урав­нении процесса управления (6.16).

В связи с изложенным па практике часто возникают следующие две важные частные задачи.

Задача 1. Вибрационное сглаживание и вибрацион­ная линеаризация нелинейности при помощи вынужден­ных вибраций. Свойство плавности функции Ф(х°)(рис. 6.8) как характеристики прохождения медленного сигнала в процессе управления х° (t) через нелинейное

Рис.6.13.

звено при любом очертании нелинейности F(x), имею­щей скачки и петли, называется вибрационным сглажи­ванием нелинейности для процесса управления при на­личии вынужденных вибраций. Поскольку за счет этого возникает возможность обычной линеаризации получен­ной сглаженной характеристики (рис. 6.8) в виде Ф = kн x°, то говорят также о вибрационной линеаризации нелинейности.

В технике вибрационное сглаживание применяют следующим образом. Непосредственно у входа нелиней­ного звена (например, релейного элемента), как показа­но на рис. 6.13, прикладывается внешнее вибрацион­ное воздействие f(t) =B sin wt с частотой выше полосы пропускания линейного звена 2. Тогда вынужденные вибрации локализуются во внутренней части системы.

Сигнал на входе нелинейности имеет вид

причем

Отсюда следует, что амплитуда а c и фаза j симметрич­ных вынужденных вибраций переменной х равны соот­ветственно а c = В, j = 0.

Таким образом можно ликвидировать гистерезисную петлю или зону нечувствительности реле (рис. 6.9) и получить для сигнала управления, согласно (6.21), ли­нейную.характеристику с коэффициентом

или же ликвидировать зону нечувствительности (рис. 6.11), получив

Аналогично можно преобразовать сухое трение в трение, пропорциональное скорости, и т. п.

Величину kн можно регулировать амплитудой Ввнешнего воздействия, не выводя ее, конечно, за допу­стимые пределы. Кроме того, амплитуда В должна быть во всяком случае больше максимально возможного значения сигнала х 0, до которого хотят обеспечить линей­ность характеристики. Например, для петлевой релейной характеристики (рис. 6.9), согласно (4.31), должно быть В³b+½ х 0½.

Задача 2. Вибрационная помехоустойчивость нели­нейной системы управления. Пусть в уравнении нелинейной системы (6.8) f1 (t) = B sin wt представляет внешнюю вибрационную помеху (например, со стороны изгибных вибраций корпуса летательного аппарата, воспринимаемых гироскопом вместе с полезным сигналом по углу тангажа). Характеристическое уравнение систе­мы для полезного сигнала в процессе управления, согласно (6.19), имеет вид

где коэффициент kн, зависит (см. (6.26)) от амплитуды В и частоты w внешней вибрационной помехи. Следо­вательно, отэтих параметров помехи будет зависеть ка­чество процесса управления и даже устойчивость системы.

Таким образом, если устойчивость чисто линейной системы, какмы знаем, не зависит от внешнего воз­действия, то в нелинейной системе устойчивостьможетот него зависеть. Предельное значение амплитудывибрационной

Рис. 6.14.

помехи В, до которой система остается еще устойчивой, называется границей вибрационной помехо­устойчивости системы.

В качестве примера определим вибрационную поме­хоустойчивость самолета с автопилотом. Схема системы изображена на рис. 6.14, а, где 1 — измерители, 2, 4 — привод с обратной связью, 3 корпус самолета. Уравне­ние углового движения самолета по тангажу

где J — отклонение самолета по тангажу, d - отклоне­ние руля. Уравнение измерителей

где f(t) = В sin wt вибрационная помеха (например. измерение гироскопом изгибных вибраций корпуса са­молета), g (t) —медленное управляющее воздействие. Уравнение привода руля

где F(x) —нелинейное ограничение скорости привода (рис. 6.14,6).

Если Т= 0,08 с, ачастота вибраций w = 100 с-1, амплитуда вынужденных вибраций на выходе привода руля будет ослаблена в 800 раз. Поэтому можно счи­тать, что вибрации туда не проходят. Следовательно, амплитуду симметричныхвынужденных колебаний на входе нелинейности х можно вычислить по формуле

и для данной нелинейности (рис. 6.14,6), согласно (6.24), получаем

Уравнение привода руля для процесса управления вместо (6.27)примет вид

Характеристическое уравнение всей системы для процесса управления будет иметь пятую степень:

Предпоследний определитель Гурвица

при некоторых числовых значениях параметров системы принимает вид

График зависимости D4(kн) изображен на рис. 6.15, а. Условие устойчивости D4 > 0 выполняется при kн > 13,7. Легко проверить, что при этом положительны и остальные определители Гурвица: их положительность сводится к положительности всех коэффициентов урав­нения и неравенству а 1 а 2 - а 0 а 3 > 0.

Из формулы (6.28) находим максимально допустимую амплитуду внешней вибрационной помехи до условию устойчивости kн > 13,7 в виде

где b = 0,5, k1 = 0,9, k2 = 0,4, w = 100, kн min = 13,7, k = 80.

Если при этом расчете системы надо выбрать, например, наилучший коэффициент обратной связи привода koc то указанные вычисления надо провести для разных

Рис. 6.15.

значений koc, определяя каждый раз граничную величи­ну kн min. Результаты такого расчета приведены в виде графика на рис. 6.15, б. Этот графин дает границу по­мехоустойчивости системы по коэффициенту kн, которую по выше написанной формуле легко пересчитать на до­пустимую амплитуду Вmax внешней вибрационной помехи.

 


ЛЕКЦИЯ 26 Процессы управления в автоколебательных системах.

План.

1. Уравнение динамики системы.

2. Пример.

3. Вибрационное сглаживание и вибрационная линеаризация нелинейности при помощи автоколебаний.

4. Влияние автоколебательных вибрационных помех на устойчивость и качество процесса управления.

 

Автоколебательные системы довольно часто встречаются среди систем автоматического управления и регулирования, в том числе системы с характеристиками релейного типа. Будем считать, что частота автоколебаний в рассматриваемых системах лежит много выше спектра возможных частот процесса управления. Поэтому будем искать решение для переменной х на входе нелинейности (рис. 6.1) в виде

где (t) —медленная переменная по сравнению с x* (t). Уравнение динамики системы (рис. 6.1) имеет вид

Q( p ) x + R( p ) F( x ) = S( p ) f(t), (6.30)

где f(t) медленная функция времени (по сравнению с х*). Гармоническую линеаризацию нелинейности произведем в предположении, что х° не успевает заметно измениться за период автоколебаний. Тогда, согласно (4.15),

Подставив (6.31) в уравнение системы (6.30), разобьем последнее, как и прежде, на два. Уравнение для медленных составляющих (т. е. для процесса управления) получит вид

Уравнение для периодических составляющих запишется в виде

Три неизвестных функции (t), а и w, в искомом решении (6.29) определяются совместным решением уравнений (6.32) и (6.33). Поскольку эти функции взаимосвязаны, причем х° (процесс управления) меняется во времени, то амплитуда а и частота w автоколебаний тоже будут медленно меняться во времени в процессе уп­равления.

Будем рассуждать аналогично нашим рассуждениям в предыдущей лекции. Если путем решения уравнения (6.33) найти зависимость а (х°) и подставить ее в выражение F0(х 0, a), полученное по формуле (4.16), то найдем новую нелинейную функцию

Ф(x 0) = F ° (x 0, a ()),

которая оказывается плавной кривой (рис. 6.8) для лю­бых нелинейностей. Применяя к этой функции всю прежнюю процедуру обычной линеаризации (6.17), (6.18), получим

Для конкретных нелинейностей здесь будут справед­ливы прежние формулы (6.20)—(6.24) и графики (рис. 6.9—6.12), в которых, однако, в отличие от преж­него, величина а сявляется амплитудой симметричных автоколебаний, определяемой для данной системы со­гласно лекции 15, 16 или 17.

Таким образом, для нахождения коэффициента усиле­ния нелинейности в процессе управления kн в автоколе­бательной системе нет необходимости искать зависимость а (х°) и строить новую нелинейную функцию Ф (х 0), а требуется знать лишь амплитуду.симметричных авто­колебаний а с. В результате уравнение динамики процес­са управления в автоколебательной системе вместо нели­нейного (6.32) будет линейным:

Однако коэффициент kн обладает особыми свойства­ми. Он, согласно (6.20)—(6.24), зависит от амплитуды а с, а эта последняя, согласно лекции 15,16, определяется через параметры всей системы. Следовательно, kн зависит так­же и от структуры и параметров (ki, Ti) линейной части системы, т. е.

Эту особенность надо учитывать при синтезесистемы с использованием линейной теории, а также при исследо­вании устойчивости и качества процессов управления.

Для определения амплитуды и частоты автоколеба­ний, которые накладываются на процесс управления, надо использовать уравнение (6.33). Оно полностью сов­падает с уравнением (4.65) для несимметричных автоко­лебаний. Решается это уравнение в общем случае под­становкой l=jw в характеристическое уравнение

после выполнения подстановки и выделения веществен­ной и мнимой частей получим два уравнения:

Х(w, а, х °) = 0, Y(w, а, х 0) = 0. (6.37)

Отсюда определяются зависимости а(x°) w(х0) причем x0(t)- процесс управления, определяемый дифференциальным уравнением (6.35).

В случае, если нелинейность F( x ) является однознач­ной это решение упрощается, так как частота автоколе­баний w в этом случае не зависит от величины х 0 и от формы нелинейности. Эта частота постоянна в процессе управления и определяется отдельно из уравнения (4.67):

а зависимость а(х °) определяется также отдельно из вы­ражения

куда подставляется значение w, найденное из (6.38)

Рис. 6.16.

Пример. Рассмотрим систему с идеальной релейной характеристикой, схема которой приведена на рис. 6.16.

Заданы

и коэффициент жесткой обратной связи kос.

Общее уравнение динамики системы относительно переменной x запишется в виде

Для подстановки и уравнение (6.38) здесь имеем

Поэтому, согласно (6.38), получаем значение частоты автоколебаний

Гармоническая линеаризация нелинейности дает

где, согласно (4.33),

Коэффициент усиления нелинейности в процессе управ­ления Ав, согласно (6.20), вычисляется в виде

где а с—амплитуда симметричных автоколебаний в дан­ной системе.

Из формул (6.39) и (6.41) при х 0 = 0 получаем

откуда с подстановкой (6.40) находим

Следовательно,

Итак, общее уравнение динамики системы относи­тельно переменной х для процесса управления принима­ет вид

где коэффициент kн выражается через другие параметры системы формулой (6.43). Дальше эту систему можно рассчитывать как обыкновенную линейную, определяя устойчивость и качество процесса управления с соответ­ствующим выбором параметров, учитывая выражение для kн (6.43). Здесь нужно еще иметь в виду ограничен­ность возможного интервала линеаризации процесса управления, так как из (6.41), например, следует требова­ние х 0< а. Отсюда вытекают требования на соотношение параметров системы в соответствии с формулой для ам­плитуды (6.42).

Для того чтобы определить амплитуду автоколебаний, наложенных на процесс управления, надо воспользовать­ся формулой (6.39), которая с подстановкой w (6.40) и q (6.41) дает

откуда определяется зависимость а (х°) в процессе управления.

Рис. 6.17.

Рассмотрим и здесь те же две специфические частные задачи, которые рассматривались выше при вынужден­ных вибрациях.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: