ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

ЛЕКЦИЯ 24 Одночастотные вынужденные колебания. Частотные характеристики.

План.

1. Случай одночастотных вынужденных колебаний.

2. Пример.

Исследование вынужденных колебаний нелинейных систем представляет собой в общем сложную задачу в связи с отсутствием суперпозиции отдельных решений, а также существенным изменением поведения системы в зависимости от размера амплитуды колебаний, с наличием не единственного установившегося режима и возможностью перескоков с одного режима на другой, с особенностями высших гармоник, субгармоник, комбинационных частот и с многими другими факторами.

В данной лекции мы рассмотрим случай одночастотных вынужденных колебаний, т. е. колебаний нелинейной системы с частотой внешнего периодического воздействия, и найдем условия их существования.

Рассмотрим нелинейную систему с внешним воздействием (рис. 6.1), заданнымв виде

F(t) = В sin wt. (6.1)

Уравнение динамики системы имеет вид

Решение для вынужденных колебаний будем искать приближенно в форме

где w задано, а неизвестными являются амплитуда а и фаза j.

 

Рис.6.1.

Произведем гармоническую линеаризацию нелинейности:

где коэффициенты q (а) и q’(а) вычисляются для сим­метричных (нечетных) нелинейностей по прежним фор­мулам (4.11), если в них положить y = wt+j.Для конкретных нелинейностей можно здесь использовать формулы, полученные в лекции 13, 14.

Подставим (6.1), (6.3) u (6.4) в уравнение систе­мы (6.2):

Используем символический метод определения периоди­ческого решения, подставив сюда р = jw, а вместо sin wt выражение е^jwt. Тогда полу­чим

или

где

Рис. 6.2.

Уравнение (6.6) с двумя неизвестными а и j можно решить графически, как показано на рис. 6.2. Правая часть (6.6) изображается в виде окружности радиуса В, а левая часть Z(a) строится как кривая по точкам с пе­ременным параметром а. Точки пересечения окружности с кривой Z (a) дают решение, причем величина ампли­туды вынужденных колебаний определяется в точке пересечения по отметкам на кривой Z, а фаза—но вели­чине угла (рис. 6.2).

На рис. 6.2 окружности пересекают кривую только при радиусе большем некоторого порогового значения В >Впор- Следовательно, в этом случае одночастотные вынужденные колебания (6.3) возможны только при

 

 

Рис. 6.3.

Pиc.6.4.

достаточно большой амплитуде В, а при меньшей ампли­туде В внешнего воздействия будет иметь место сложное движение, включающее в себя и собственную частоту системы.

Построив серию кривых Z(a) по формуле (6.7) для разных значений частоты внешнего воздействия w (рис. 6.3), можем построить график зависимости поро­гового значения В от частоты w, например, в виде, изоб­раженной на рис. 6.4, где wа — частота автоколебаний данной системы. Тогда мы получим область значений Ви а, в которой существуют одночастотные вынужденные колебания. Эта область называется областью захватывания. Явление захватывания состоит в том, что при В > Впор собственные колеба­ния (автоколебания) срывают­ся и система переходит целиком на одночастотные вынужденные колебания с частотой внешнего воздействия. Строго говоря, эти одночастотные вынужденные колебания будут несинусоидальными. В соответствии со свойством фильтра линейной части (лекция 12) они для перемен­ной х будут только близки к синусоидальным (6.3). Обопределении ­

Рис. 6.5.

высших гармоник этих колебаний см. [22].

На основании рис. 6.3 можно построить зависимости а (w) и j(w), т. е. частотные характеристики замкнутой нелинейной системы по первой гармонике (6.3). В ли­нейных системах частотные характеристики А (w) и j(w) не зависели от размера входной амплитуды и вычисля­лись для единичной амплитуды на входе. В нелинейной же системе характер частотных характеристик А (w)= а (w)/B и j(w) может существенно зависеть от раз­мера В. Поэтому для разных значений В получается се­рия частотных характеристик (рис. 6.5) замкнутой сис­темы по первой гармонике.

Пример. Пусть уравнение системы имеет вид

при гистерезисной нелинейности (рис. 6.6) и f(t) = B sin wt. Тогда в уравнении (6.6), согласно (6.7), бу­дем иметь

Для заданной частоты w = 10 сек ^-1 и заданных пара­метров системы k = 10, с = 10, b = 4, Т1 = 0,01, T2 =0,02, кривая Z (a) изображенана рис. 6.6, где отмечены

Рис.6.6.

Рис. 6.7.

значения а. Проведя окружности разных радиу­сов В, по точкам пересечения определим зависимости а (В) и j(В) (рис. 6.7) для вынужденных колебаний при данной частоте.

ЛЕКЦИЯ 25 Процессы управления, сопровождающиеся вынужденными вибрациями.

План.

1. Случай наличия внешнего воздействия.

2. Вибрационное сглаживание и вибрационная линеаризация нелинейности при помощи вынужденных вибраций.

3. Вибрационная помехоустойчивость нелинейной системы.

 

Рассмотрим случай, когда в системе при наличии переменного внешнего воздействия протекает некоторый процесс управления, а кроме того к системе приложено внешнее периодическое воздействие. Уравнение динамики системы (рис. 6.1) в этом случае получит вид

где f1(t) = B sin wt, а f(t)—медленное по сравнению с f1(t) воздействие, т. е. спектр возможных частот изменения f(t) много меньше w. Решение будем искать в виде

где x° (t) —тоже медленная по сравнению с x* (t) функция времени, определяющая процесс управления при наложенных на него вынужденных вибрациях х*.

Полагая, что основной процесс управления х° (t) протекает настолько медленно, что за один период колебаний х* можно приблизительно считать величину х° неиз­менной, используем прежние формулы гармонической линеаризации (4.15), а именно

где F °, q n q' вычисляются по формулам (4.16) и (4.17). Для некоторых конкретных нелинейностей эти функции приведены в лекции 13, 14 (примеры 6—10).

Подставив (6.10) u (6.9) в уравнение (6.8), разобьем его на два. Для медленных составляющих.(процесс управления) имеем

а для вибрационных составляющих

Нетрудно видеть, что неизвестные х ⁰ и а могут быть определены только на основе совместного решения обоих уравнений. Если, решив уравнение (6.12), найти зави­симость а (х°) и подставить ее в выражение F ° (x°, a), полученное по формуле (4.16), то найдем новую нелинейную функцию

Тогда уравнение для процесса управления (6.11) при­мет вид

Оказывается, что нелинейная функция Ф(х°) облада­ет тем свойством, что она имеет вид плавной кривой (рис. 6.8) для любых нелинейностей F(х), u том число релейных и гистерезисных. Поэтому эту функцию можно линеаризовать обычным порядком, определив крутизну в начале координат (рис. 6.8):

Рис. 6.8.

Но согласно (6.13) имеем

а согласно (4.16)

так как произведение четной функции на нечетную ин­тегрируется за период. В соответствии с этим вместо (6.15) получаем важный результат:

Это значит, что для определе­нии kн не нужно находить за­висимости а (х°) и строить новую нелинейную функцию Ф(х °), а достаточно взять част­ную производную по х° от име­ющегося для каждой нелиней­ности выражения F°(x °, а).

С заменой (6.15) уравнение для процесса управления (6.14) принимает вид линейного уравнения

где kн — коэффициент усиления нелинейности в процессе управления, определяемый по формуле (6.18). Например, Для идеальной релейной характеристики (см. лекции 13, 14)

получим

где ас — амплитуда симметричных вынужденных колебанийв данной системе, найденных согласно лекции 24.

Для релейных характеристик с зоной нечувствитель­ности и с петлей, дифференцируя (4.31), находим

На рис. 6.9 представлена зависимость коэффициента kн, от амплитуды симметричных вынужденных колебаний.

 

 

Рис.6.9.

Рис. 6.10

Аналогично для релейной характеристики общего вида (рис. 6.10) получаем

Для кусочно-линейной характеристики с зоной не­чувствительности (рис. 6.11) имеем

а для характеристики с насыщением (рис. 6.12)

Итак, пользуясь значениями коэффициента усиления kн, мы можем определять процесс управления в нелиней­ной системе по линейному уравнению (С. 19) на базе линейной теории. Однако при этом надо учитывать, что коэффициент kн, имеет необычные свойства. В самом де­ле, как видно из формул (6.20)—(6.24), он зависит от амплитуды симметричных вынужденных колебаний ас.

Рис.6.11.

Рис.6.12.

Эта амплитуда в свою очередь, согласно лекции 24, зависит от структуры и параметров линейной части системы (ki, Ti) и еще, что очень важно, от амплитуды В и частоты w внешнего вибрационного воздействия. Поэтомупри синтезе системы (6.19), т. е. при выборе ее структуры и параметров надо знать зависимость

а зная (или выбирая) внешнее вибрационное воздейст­вие. надо учитывать также зависимость

Итак, процесс управления при наложенных на него вынужденных вибрациях исследуется по линейному Уравнению (6.19) без определения зависимости а (х°). Однако если все же необходимо определить величину амплитуды а (х ⁰), то аналогично уравнению (6.5) реше­ние уравнения (6.12) запишется в виде

Где

Графическое решение получается, как показано на рис. 6.2, с той только разницей, что здесь строится, се­рия кривых Z (a) для разных значений х°. В результате на пересечениях этих кривых с окружностью радиуса В и определяется искомая зависимость а (х°). Тогда можно, согласно (6.15), найти и нелинейную функцию Ф(х°), если необходимо учесть эту нелинейность в урав­нении процесса управления (6.16).

В связи с изложенным па практике часто возникают следующие две важные частные задачи.

Задача 1. Вибрационное сглаживание и вибрацион­ная линеаризация нелинейности при помощи вынужден­ных вибраций. Свойство плавности функции Ф(х°)(рис. 6.8) как характеристики прохождения медленного сигнала в процессе управления х° (t) через нелинейное

Рис.6.13.

звено при любом очертании нелинейности F(x), имею­щей скачки и петли, называется вибрационным сглажи­ванием нелинейности для процесса управления при на­личии вынужденных вибраций. Поскольку за счет этого возникает возможность обычной линеаризации получен­ной сглаженной характеристики (рис. 6.8) в виде Ф = kн x°, то говорят также о вибрационной линеаризации нелинейности.

В технике вибрационное сглаживание применяют следующим образом. Непосредственно у входа нелиней­ного звена (например, релейного элемента), как показа­но на рис. 6.13, прикладывается внешнее вибрацион­ное воздействие f(t) =B sin wt с частотой выше полосы пропускания линейного звена 2. Тогда вынужденные вибрации локализуются во внутренней части системы.

Сигнал на входе нелинейности имеет вид

причем

Отсюда следует, что амплитуда а c и фаза j симметрич­ных вынужденных вибраций переменной х равны соот­ветственно а c = В, j = 0.

Таким образом можно ликвидировать гистерезисную петлю или зону нечувствительности реле (рис. 6.9) и получить для сигнала управления, согласно (6.21), ли­нейную.характеристику с коэффициентом

или же ликвидировать зону нечувствительности (рис. 6.11), получив

Аналогично можно преобразовать сухое трение в трение, пропорциональное скорости, и т. п.

Величину kн можно регулировать амплитудой Ввнешнего воздействия, не выводя ее, конечно, за допу­стимые пределы. Кроме того, амплитуда В должна быть во всяком случае больше максимально возможного значения сигнала х ⁰, до которого хотят обеспечить линей­ность характеристики. Например, для петлевой релейной характеристики (рис. 6.9), согласно (4.31), должно быть В³b+½ х ⁰½.

Задача 2. Вибрационная помехоустойчивость нели­нейной системы управления. Пусть в уравнении нелинейной системы (6.8) f1 (t) = B sin wt представляет внешнюю вибрационную помеху (например, со стороны изгибных вибраций корпуса летательного аппарата, воспринимаемых гироскопом вместе с полезным сигналом по углу тангажа). Характеристическое уравнение систе­мы для полезного сигнала в процессе управления, согласно (6.19), имеет вид

где коэффициент kн, зависит (см. (6.26)) от амплитуды В и частоты w внешней вибрационной помехи. Следо­вательно, отэтих параметров помехи будет зависеть ка­чество процесса управления и даже устойчивость системы.

Таким образом, если устойчивость чисто линейной системы, какмы знаем, не зависит от внешнего воз­действия, то в нелинейной системе устойчивостьможетот него зависеть. Предельное значение амплитудывибрационной

Рис. 6.14.

помехи В, до которой система остается еще устойчивой, называется границей вибрационной помехо­устойчивости системы.

В качестве примера определим вибрационную поме­хоустойчивость самолета с автопилотом. Схема системы изображена на рис. 6.14, а, где 1 — измерители, 2, 4 — привод с обратной связью, 3 — корпус самолета. Уравне­ние углового движения самолета по тангажу

где J — отклонение самолета по тангажу, d - отклоне­ние руля. Уравнение измерителей

где f(t) = В sin wt — вибрационная помеха (например. измерение гироскопом изгибных вибраций корпуса са­молета), g (t) —медленное управляющее воздействие. Уравнение привода руля

где F(x) —нелинейное ограничение скорости привода (рис. 6.14,6).

Если Т= 0,08 с, ачастота вибраций w = 100 с^-1, амплитуда вынужденных вибраций на выходе привода руля будет ослаблена в 800 раз. Поэтому можно счи­тать, что вибрации туда не проходят. Следовательно, амплитуду симметричныхвынужденных колебаний на входе нелинейности х можно вычислить по формуле

и для данной нелинейности (рис. 6.14,6), согласно (6.24), получаем

Уравнение привода руля для процесса управления вместо (6.27)примет вид

Характеристическое уравнение всей системы для процесса управления будет иметь пятую степень:

Предпоследний определитель Гурвица

при некоторых числовых значениях параметров системы принимает вид

График зависимости D4(kн) изображен на рис. 6.15, а. Условие устойчивости D4 > 0 выполняется при kн > 13,7. Легко проверить, что при этом положительны и остальные определители Гурвица: их положительность сводится к положительности всех коэффициентов урав­нения и неравенству а 1 а 2 - а 0 а 3 > 0.

Из формулы (6.28) находим максимально допустимую амплитуду внешней вибрационной помехи до условию устойчивости kн > 13,7 в виде

где b = 0,5, k1 = 0,9, k2 = 0,4, w = 100, kн min = 13,7, k = 80.

Если при этом расчете системы надо выбрать, например, наилучший коэффициент обратной связи привода koc то указанные вычисления надо провести для разных

Рис. 6.15.

значений koc, определяя каждый раз граничную величи­ну kн min. Результаты такого расчета приведены в виде графика на рис. 6.15, б. Этот графин дает границу по­мехоустойчивости системы по коэффициенту kн, которую по выше написанной формуле легко пересчитать на до­пустимую амплитуду Вmax внешней вибрационной помехи.

 

ЛЕКЦИЯ 26 Процессы управления в автоколебательных системах.

План.

1. Уравнение динамики системы.

2. Пример.

3. Вибрационное сглаживание и вибрационная линеаризация нелинейности при помощи автоколебаний.

4. Влияние автоколебательных вибрационных помех на устойчивость и качество процесса управления.

 

Автоколебательные системы довольно часто встречаются среди систем автоматического управления и регулирования, в том числе системы с характеристиками релейного типа. Будем считать, что частота автоколебаний в рассматриваемых системах лежит много выше спектра возможных частот процесса управления. Поэтому будем искать решение для переменной х на входе нелинейности (рис. 6.1) в виде

где x° (t) —медленная переменная по сравнению с x* (t). Уравнение динамики системы (рис. 6.1) имеет вид

Q( p ) x + R( p ) F( x ) = S( p ) f(t), (6.30)

где f(t) — медленная функция времени (по сравнению с х*). Гармоническую линеаризацию нелинейности произведем в предположении, что х° не успевает заметно измениться за период автоколебаний. Тогда, согласно (4.15),

Подставив (6.31) в уравнение системы (6.30), разобьем последнее, как и прежде, на два. Уравнение для медленных составляющих (т. е. для процесса управления) получит вид

Уравнение для периодических составляющих запишется в виде

Три неизвестных функции x° (t), а и w, в искомом решении (6.29) определяются совместным решением уравнений (6.32) и (6.33). Поскольку эти функции взаимосвязаны, причем х° (процесс управления) меняется во времени, то амплитуда а и частота w автоколебаний тоже будут медленно меняться во времени в процессе уп­равления.

Будем рассуждать аналогично нашим рассуждениям в предыдущей лекции. Если путем решения уравнения (6.33) найти зависимость а (х°) и подставить ее в выражение F⁰(х ⁰, a), полученное по формуле (4.16), то найдем новую нелинейную функцию

Ф(x ⁰) = F ° (x ⁰, a (x°)),

которая оказывается плавной кривой (рис. 6.8) для лю­бых нелинейностей. Применяя к этой функции всю прежнюю процедуру обычной линеаризации (6.17), (6.18), получим

Для конкретных нелинейностей здесь будут справед­ливы прежние формулы (6.20)—(6.24) и графики (рис. 6.9—6.12), в которых, однако, в отличие от преж­него, величина а сявляется амплитудой симметричных автоколебаний, определяемой для данной системы со­гласно лекции 15, 16 или 17.

Таким образом, для нахождения коэффициента усиле­ния нелинейности в процессе управления kн в автоколе­бательной системе нет необходимости искать зависимость а (х°) и строить новую нелинейную функцию Ф (х ⁰), а требуется знать лишь амплитуду.симметричных авто­колебаний а с. В результате уравнение динамики процес­са управления в автоколебательной системе вместо нели­нейного (6.32) будет линейным:

Однако коэффициент kн обладает особыми свойства­ми. Он, согласно (6.20)—(6.24), зависит от амплитуды а с, а эта последняя, согласно лекции 15,16, определяется через параметры всей системы. Следовательно, kн зависит так­же и от структуры и параметров (ki, Ti) линейной части системы, т. е.

Эту особенность надо учитывать при синтезесистемы с использованием линейной теории, а также при исследо­вании устойчивости и качества процессов управления.

Для определения амплитуды и частоты автоколеба­ний, которые накладываются на процесс управления, надо использовать уравнение (6.33). Оно полностью сов­падает с уравнением (4.65) для несимметричных автоко­лебаний. Решается это уравнение в общем случае под­становкой l=jw в характеристическое уравнение

после выполнения подстановки и выделения веществен­ной и мнимой частей получим два уравнения:

Х(w, а, х °) = 0, Y(w, а, х ⁰) = 0. (6.37)

Отсюда определяются зависимости а(x°) w(х⁰) причем x⁰(t)- процесс управления, определяемый дифференциальным уравнением (6.35).

В случае, если нелинейность F( x ) является однознач­ной это решение упрощается, так как частота автоколе­баний w в этом случае не зависит от величины х ⁰ и от формы нелинейности. Эта частота постоянна в процессе управления и определяется отдельно из уравнения (4.67):

а зависимость а(х °) определяется также отдельно из вы­ражения

куда подставляется значение w, найденное из (6.38)

Рис. 6.16.

Пример. Рассмотрим систему с идеальной релейной характеристикой, схема которой приведена на рис. 6.16.

Заданы

и коэффициент жесткой обратной связи kос.

Общее уравнение динамики системы относительно переменной x запишется в виде

Для подстановки и уравнение (6.38) здесь имеем

Поэтому, согласно (6.38), получаем значение частоты автоколебаний

Гармоническая линеаризация нелинейности дает

где, согласно (4.33),

Коэффициент усиления нелинейности в процессе управ­ления Ав, согласно (6.20), вычисляется в виде

где а с—амплитуда симметричных автоколебаний в дан­ной системе.

Из формул (6.39) и (6.41) при х ⁰ = 0 получаем

откуда с подстановкой (6.40) находим

Следовательно,

Итак, общее уравнение динамики системы относи­тельно переменной х для процесса управления принима­ет вид

где коэффициент kн выражается через другие параметры системы формулой (6.43). Дальше эту систему можно рассчитывать как обыкновенную линейную, определяя устойчивость и качество процесса управления с соответ­ствующим выбором параметров, учитывая выражение для kн (6.43). Здесь нужно еще иметь в виду ограничен­ность возможного интервала линеаризации процесса управления, так как из (6.41), например, следует требова­ние х ⁰< а. Отсюда вытекают требования на соотношение параметров системы в соответствии с формулой для ам­плитуды (6.42).

Для того чтобы определить амплитуду автоколебаний, наложенных на процесс управления, надо воспользовать­ся формулой (6.39), которая с подстановкой w (6.40) и q (6.41) дает

откуда определяется зависимость а (х°) в процессе управления.

Рис. 6.17.

Рассмотрим и здесь те же две специфические частные задачи, которые рассматривались выше при вынужден­ных вибрациях.