Поздравляю всех читателей сайта с большим событием – после кропотливой и технически сложной разработки темы функций нескольких переменных, наконец-то появилась на свет эта долгожданная статья! Сегодня на уроке мы научимся находить максимумы и минимумы функций двух и трёх переменных, а также обобщим алгоритм решения данной задачи на случай бОльшего количества аргументов. С понятиями точек экстремума и экстремумов вы уже знакомы из статьи об экстремумах функции одной переменной, и для «старших сестёр» эти понятия имеют родственный смысл. Освежим в памяти элементарную терминологию:
– точки экстремума – это общее название точек минимума и максимума;
– экстремумы – это общее название минимумов и максимумов.
Начнём с функции двух переменных 
, применительно к которой точки экстремума – это точки плоскости 
, а экстремумы – соответствующие значения функции («высоты»). Также экстремумами иногда называют точки самой поверхности.
Да, и сразу важное напутствие для «чайников», нормальных студентов =) и сомневающихся – рассматриваемый материал сам по себе прост, но требует базовых знаний и навыков в нескольких разделах высшей математики. Поэтому если у вас возникнет (или уже возникло) какое-либо недопонимание по ходу изложения, то проставленные ссылки в помощь.
Итак, «действующие лица» следующие: функция , внутренняя точка 
её области определения и 
-окрестность данной точки. Для удобства считаем, что окрестность представляет собой круг радиуса 
с центром в точке 
(в учебной литературе чаще встречается окрестность-квадрат).
Определение: если в некоторой -окрестности точки выполнено неравенство 
, то говорят, что функция имеет минимум в точке 
.
При этом точка называется точкой минимума, а соответствующее значение функции 
(«высота») – минимумом. Ещё раз призываю не путаться в терминах!
Простейший пример минимума – это вершина эллиптического параболоида, чаша которого направлена вверх:
Давайте ещё раз внимательно перечитаем определение и вдумаемся в его суть. Сформулированное определение говорит нам о том, что функция достигает минимума в точке , если существует хоть какая-то -окрестность этой точки, в которой значение высоты 
меньше ВСЕХ ОСТАЛЬНЫХ значений 
.
Следует отметить, что в нашем примере под определение подходит вообще любая -окрестность, т.к. поверхность уходит вверх на бесконечность и никаких точек ниже – нет в принципе. Такой минимум называют глобальным.
А теперь мысленно разверните чашу параболоида вниз – чтобы красная точка стала «вершиной горы».
Определение: если в некоторой -окрестности точки выполнено неравенство 
, то говорят, что функция имеет максимум в точке .
Соответственно, точка называется точкой максимума, а значение – максимумом функции.
В случае с нашим параболоидом максимум, естественно, тоже глобальный, но на практике гораздо чаще встречаются локальные экстремумы. Так, например, функция на нижеследующем чертеже достигает локального максимума (слева вверху) и локального минимума (справа внизу):
Наверное, всем понятно, в чём различие, но всё-таки закомментирую: почему, например, такой максимум называют локальным? Потому что функция на своей области определения достигает и бОльших значений – по правую руку поверхность уходит «за облака», где о красной точке разве что легенды слагают. Таким образом, о «вершине горы» речь идёт лишь на локальном участке области определения. «Гора», кстати, «горЕ» рознь – бывают поверхности, у которых минимумы и максимумы если и различимы на глаз, то выглядят, как пупырышки =) Важно, чтобы существовала пусть даже очень малая -окрестность точки , где выполнено условие минимума или максимума (см. определения).
Из вышесказанного следует ещё одна важная вещь, которая опять же касается понятий. Пожалуйста, РАЗЛИЧАЙТЕ и будьте аккуратны в выражениях:
максимум функции – это в общем случае НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что максимальное значение функции;
минимум функции – это в общем случае НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что минимальное значение функции.
Да, в примере с эллиптическим параболоидом соответствующие понятия совпадают, но вот у только что рассмотренной поверхности «красный» максимум – это отнюдь не наибольшее, а «оранжевый» минимум – отнюдь не наименьшее значение функции. Задачу нахождения минимального и максимального значений функции мы рассмотрим в самом ближайшем будущем, а пока что вернёмся к теме сегодняшнего урока:
Как исследовать функцию на экстремум?
Прежде всего, нужно ориентироваться на необходимое условие экстремума:
если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то обе частные производные 1-го порядка в данной точке равны нулю:
Точку, удовлетворяющую этим условиям, называют критической, а чаще – стационарной точкой.
! Примечание: условие необходимо именно для дифференцируемой в точке функции. Как мы увидим в Примере 6, экстремум может существовать и при других обстоятельствах.
Обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Иными словами, если известно, что в некоторой точке частные производные равны нулю, то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что там есть экстремум. Его там может и не быть.
Так, например, у функции 
, которая как раз задаёт эллиптический параболоид, частные производные 
обращаются в ноль в точке 
– и в данной точке действительно существует минимум функции («дно чаши»).
Но у функции 
с производными 
, равными нулю в этой же точке, не наблюдается ничего подобного. Это гиперболический параболоид или «седло»:
Для точки не существует -окрестности, в которой поверхность располагалась бы только вверху 
или только внизу 
. Грубо говоря, в любой -окрестности точки куски поверхности есть и сверху, и снизу.
Точку такого рода так и называют – седловой, а иногда, по известной географической ассоциации – точкой перевала.
Читатели, знакомые с материалами статьи Производная по направлению и градиент, наверное, уже поняли геометрический смысл выкладок: из условий
следует равенство нулю производной и по всем направлениям: 
. То есть, если мы сделаем бесконечно малый «шажок» из точки в любую сторону, то наша высота останется неизменной. И этот факт справедлив, как для точек экстремума, так и для точки перевала.
Итак, условия 
необходимы для существования экстремума дифференцируемой там функции, но на основании только этой информации мы ещё не можем сделать вывода о характере точки . С достаточным условием экстремума познакомимся прямо по ходу практической задачи, а то что-то мы засиделись в теории:
Пример 1
Исследовать на экстремум функцию
Решение: на первом шаге нужно отыскать стационарные точки. Для этого найдём частные производные 1-го порядка:
Контроль: 
и решим систему:
В данном случае получена система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которую можно решить несколькими способами. Но мудрить здесь не надо – как проще, так и решаем. Из 2-го уравнения выразим 
и подставим в 1-е уравнение:
Таким образом: 
– стационарная точка. Тут, главное, не перепутать координаты.
Выполним промежуточную проверку:
Отлично. А точнее, хорошо, поскольку пройдено всего лишь пол пути. В найденной точке может быть минимум, максимум либо перевал, и выяснить, что же там на самом деле, нам поможет