Система является безинерционной, если в любой момент времени t значения ее выходной величины зависят только от текущего значения входного воздействия и состояния, с которого началась ее эволюция. Поэтому, если функция x(t) на какой-то период времени становится постоянной, то постоянной становится и y(t).
Формально безинерционная система задается следующим образом: временная система S Ì X ´ Y является безинерционной тогда и только тогда, когда для любого t Î T найдется такое отображение Kt: C0 ´ X(t) ® Y(t), что
Все остальные системы являются инерционными, т.к. в них выходная величина зависит не только от текущего значения входного воздействия, но и от “предыстории” этого воздействия.
Системы без памяти и с памятью
Временная система S Ì X ´ Y называется системой без памяти тогда и только тогда, когда она является безинерционной Kt: C0 ´ X(t) ® Y(t) и существует отображение
такое, что 
Все остальные системы называются системами с памятью.
Управляемые системы
Для оценки качества поведения системы S вводится оценочная функция или критерий качества G вида:
G: X ´ Y ® V.
Далее предполагается, что система S Ì X ´ Y может быть определена на двух объектах М и U в виде функционального отображения S: M ´ U ® Y. Для такого представления S оценочная функция имеет вид G: M ´ U ´ Y ® V. Совокупность системы S и оценочной функции G (композицию отображений) будем обозначать в виде g: M ´ U ® V, причем для любых (m, u) Ì M ´ U
g = G(m, u, S(m, u)).
Множество V’ Ì V называется достижимым (воспроизводимым) тогда и только тогда, когда
Точка v Î V называется достижимой тогда и только тогда, когда существует достижимое множество V’, такое, что v Î V’.
|
|
Теперь можно определить три варианта управляемости.
1. Множество V’ Ì V называется вполне управляемым относительно g тогда и только тогда, когда
2. Если достаточным является обеспечение качества системы принадлежащего некоторому подмножеству V’, а не конкретному значению v, при любых u Î U, то условие полной управляемости принимает вид
3. Еще один вариант управляемости необходимо определить для многокритериальной оценочной функции. В этом случае оценочный объект V представляется в виде:
Vk = ´{Vj: j Î Ik},
где k – количество оценочных компонент.
В этом случае система S называется многокритериальной.
При рассмотрении управляемости динамических систем считается, что S – динамическая система, U и V – есть состояния системы S, а оценочное отображение g определено в терминах семейства функций перехода состояний.
Определяется три варианта управляемости динамических систем по состояниям.
1. Динамическая система называется вполне управляемой для своего пространства состояний тогда и только тогда, когда
где xt = {xt’ | t’ < t}, а переход осуществляется за время t из состояния с в состояние 
2. Динамическая система называется управляемой по состояниям из состояния с0 тогда и только тогда, когда
где с0 – состояние системы в момент времени t0, а переход осуществляется за время t из состояния с0 в состояние с.
3. Динамическая система называется управляемой по состояниям в состояние с0 тогда и только тогда, когда
где с0 – состояние системы в момент времени t, а переход осуществляется за время t из состояния с в состояние с0.
|
|
Открытые системы
Открытой является система, взаимодействующая с внешней средой путем обмена веществом, энергией и информацией.
Так как система является отношением, а не функцией, то в общем случае невозможно определить, какая будет выходная величина в ответ на наблюдаемое или предполагаемое входное воздействие. Поэтому открытой можно считать систему, которую нельзя (удовлетворительным образом) представить в виде функции, т.е. даже зная все условия работы системы, нельзя сказать, каким точно будет ее выход.
Для формализации открытости системы целесообразно представить входной объект в виде двух составляющих X = M ´ U и рассматривать систему
S Ì M ´ U ´ Y.
Для типичного случая неопределенной ситуации характерным является точное знание компонента m входного воздействия и соответствующего ему подмножества Um Ì U, которому будет принадлежать значение компонента u. В этом случае М представляет измеримое, непосредственно наблюдаемое входное воздействие, а U – входные воздействия, о которых имеется только косвенная информация. В этих условиях для любого заданного m Î M самое большее, что можно сказать о выходной величине, - это то, что она должна принадлежать множеству
Ym = S(m, Um).
Такая система и является открытой в общем смысле.
Для восстановления предсказуемости системы могут использоваться два подхода.
1. Почти предсказуемые выходные величины.
Для каждого заданного x Î X определяется такое подмножество Yx Ì Y, что
где Х = M ´ U.
Обозначим через Y* множество подмножеств Y. В некоторых случаях оказывается возможным определить функциональную систему
|
|
S': Х ® Y*,
для которой при любых Ỹ Î Y*
Поэтому о предсказуемости можно говорить лишь с точностью до подмножеств множества Y. Если для каждого x Î X множество Yx достаточно мало, то описание S с помощью S’ может быть удовлетворительным. Однако это зависит от характера системы S и критерия, используемого для оценки размеров множества Yx. Например, вычисление различных функций с определенной точностью (абсолютной или относительной).
2. Почти предсказуемые системы.
В случае, когда неизвестно не только значение выхода, но и входа, добиться определенной предсказуемости можно в результате перехода к множествам подмножеств, как для выходного, так и для входного объектов.
Обозначим через X* множество подмножеств входных воздействий X. Тогда можно определить функциональную систему
S*: Х* ® Y*,
для которой при любых 
Более подробное описание системы S, возможно, получится в результате введения дополнительной структуры на X* и Y*.
Подобные соображения ведут непосредственно к нечетким и вероятностным описаниям системы.