Логическая информация и основы логики
Высказывание (суждение) – это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается.
Логические величины – понятия, выражаемые словами: ИСТИНА, ЛОЖЬ (true, false).
Логическая константа: ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Логическая переменная – символически обозначенная логическая величина.
Логические операции
Конъюнкция (логическое умножение). В русском языке она выражается союзом И. В математической логике используются знаки Ù, × или &. Конъюнкция – двуместная операция; записывается в виде А Ù В или А & В, или А × В.
Дизъюнкция (логическое сложение). В русском языке этой операции соответствует союз ИЛИ. В математической логике она обозначается знаком Ú или +. Дизъюнкция – двуместная операция; записывается в виде А Ú В или А + В.
Примечание. Выделяют еще строгую дизъюнкцию (исключающее ИЛИ). В русском языке ей соответствует союз ЛИБО. Она обозначается знаком Å. Эту операцию также называют сложением по модулю 2.
![]() |
Отрицание. В русском языке этой операции соответствует частица НЕ. Отрицание – унарная (одноместная) операция; записывается в виде Ø А или А.
Импликация (условное высказывание). В русском языке этой логической операции соответствуют слова если …, то; когда …, тогда; коль скоро …, то и т.п. В логических формулах операция импликации обозначается знаком ®. Импликация – двуместная операция; записывается так: А ® В.
Эквивалентность (тождественность). Языковой аналог – если и только если; тогда и только тогда, когда … Эквивалентность обозначается знаком º или «. Эквивалентность – двуместная операция; записывается так: А «В или А º В.
|
Порядок выполнения логических операций по убыванию старшинства следующий: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Чтобы изменить порядок выполнения логических операций, нужно использовать скобки.
Логическая формула (логическое выражение) – формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций.
Результаты каждой логической операции приведены в таблице истинности (табл. 3).
Таблица 3
Таблица истинности логических операций
![]() | В | А | А × В | А + В | А ® В | А «В | А Å В |
и | и | л | и | и | и | и | л |
и | л | л | л | и | л | л | и |
л | и | и | л | и | и | л | и |
л | л | и | л | л | и | и | л |
Задача. Определить истинность логической формулы:
F =((C + B)® B) × (A × B) ® B.
Определим порядок выполнения действий с учетом приоритета логических операций (см. выше):
1 2 4 3 5
F =((C + B)® B) × (A × B) ® B.
Для решения задачи составим таблицу истинности этой формулы, перебрав все варианты значений логических переменных А, В и С.
1 2 3 4 5
А | В | С | C + В | (С + В)® В | А × В | ((С + В)® В) × (А × В) | F |
Здесь числовые обозначения для логических величин: 1 – истина, 0 – ложь.
Данная логическая формула является тождественно истинной, т.е. истинной при любых значениях входящих в нее логических переменных.
|
Преобразование логических выражений
Логическая формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при переменных.
Основные формулы преобразования логических выражений:
1.
А º А.
2.
(А × В) º А + В.
3. (А + В) º А × В.
4. А ® В º А + В.
5.
А «В º А × В + А × В.
6.
А Å В º А × В + А × В.
7. А × В º В × А.
8. А + В º В + А.
9. А + (В + C) º (A + В) + C.
10. А × (В × C) º (A × В) × C.
11. А × (В + C) º A × В + A × C.
12. А + (В × C) º (A + В) × (A + C).
13. A + A × B º A.
14. А + А º А.
15. А × А º А.
16. А + 1 º 1.
17. А × 1 º А.
18. А + 0 º A.
19. А × 0 º 0.
20. А + А º 1.
21. А × А º 0.
Задача. Упростить следующую логическую формулу:
.