До начала сессии студент может подойти к преподавателю и ознакомиться с замечаниями и рекомендациями, указанными в контрольной работе.
ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ.
При решении физических задач числовые значения, с которыми приходится иметь дело, большей частью являются приближенными. Задачи с приближенными данными следует решать, учитывая правила приближенных вычислений.
Правила приближенных вычислений состоят в следующем.
1.Учитывать количество значащих цифр, необходимых для соблюдения определенной точности вычислений. Значащими называют все цифры, кроме нуля, а также нуль в двух случаях: а) когда он стоит между значащими цифрами; б) когда он стоит в конце числа и известно, что единицы соответствующего разряда в данном числе нет. Например:
1603 - 4 значащих цифры;
1,03 - 3 значащих цифры;
1,00 - 3 значащих цифры;
0,00103 - 3 значащих цифры.
2. Так как с помощью вычислений получить результат более точный, чем исходные данные невозможно, то достаточно производить вычисления с числами, содержащими не более знаков, чем в исходных данных.
3. При сложении или вычитании приближенных чисел, имеющих различную точность, более точное должно быть округлено до точности менее точного. Например:
9.6 + 0.176 = 9.6 + 0,2 = 9.8
100,8 - 0,427 = 100,8 -0.4 = 100.4
4. При умножении и делении следует в полученном результате сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим количеством значащих цифр. Например:
0.637 × 0.023 = 0.0132 но не 0.0132496;
6.32: 3 = 2 но не 2.107.
5. При возведении в квадрат или куб нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень число. Например:
1.252 = 1.56, но не 1.5625;
1.013 = 1.03, но не 1.030301.
|
|
6. При извлечении квадратного и кубического корней в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число. Например:
101/2 = 3.1, но не 3.162;
101/3 = 2.1, но не 2.154.
7. При вычислении сложных выражений соблюдаются правила в зависимости от вида производимых действий.
8. Когда число мало отличается от единицы, можно пользоваться ниже приведенными приближенными формулами.
Если a, b, c малы по сравнению с единицей (меньше 0.1), то:
(1±a) ×(1±b) ×(1±c) = 1 ± a ± b ± c;
(1±a)1/2 = 1± a/2; (1±a)n = 1± n × a;
1/ (1±a)n = 1 + n × a;
еа = 1+a; ln(1±a) =±a - a2/2;
Если угол меньше 50 и выражен в радианах, то в первом приближении можно принять sin a » tg a » a; cos a » 1.
Соблюдая эти правила, студент сэкономит время на вычислениях при решении физических задач.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1 (1 семестр)
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Основные законы и формулы механики
Скорость мгновенная v = dх/dt
Угловая скорость мгновенная w = dj/dt
Ускорение:
мгновенное а = dv/dt = d2х/dt2
тангенциальное аt = d½v½/dt
нормальное аn = v2/r
полное a = Ö аt 2 + аt2
Угловое ускорение мгновенное e = dw/dt = d2j/dt2
Cвязь между линейными и угловыми s = jr; v = wr;
величинами, характеризующими движение аt = e r; аn = w2 r.
точки по окружности.
Второй закон Ньютона для поступательного d P /dt = å Fi
движения i
Второй закон Ньютона для поступательного m a = å Fi
движения тела с m =const i
Количество движения материальной точки P = m v
массы m, движущейся со скоростью v
Потенциальная энергия:
упругодеформированного тела (работа Епот = А = k х2/2;
упругой силы)
гравитационного взаимодействия двух тел Епот = -G m1m2/r;
тела в однородном поле тяготения Епот = mgh.
|
|
Кинетическая энергия поступательного Екин = mv2/2 = P2/2m
движения тела
Момент инерции материальной точки J = mr2
массой m на расстоянии r от оси вращения
Моменты инерции некоторых тел массы m
относительно оси вращения проходящей
через центр тяжести:
полого цилиндра (колеса) радиуса R J = m R2;
сплошного цилиндра (диска) радиуса R J = mR2/2;
шара радиуса R J = 0.4 mR2 ;
стержня длиной ℓ, если ось ^ стержню J = mℓ2/12;
тела относительно произвольной оси (тео- J = J0 + md2 .
рема Штейнера)
Момент силы относительно оси вращения М = [ r F ]
Момент количества движения L = Jw
Основное уравнение динамики вращательного M = d L/dt = d(Jw)/dt
движения твердого тела
то же для J = const M = J d w /dt = J e
Закон сохранения момента количества å Ji w i = const
движения
Кинетическая энергия вращающегося тела Евращ = Jw2/2
Закон сохранения энергии Епот +Екин +Евращ=const
Работа при повороте на угол dj dА = Mdj
Основные законы и формулы молекулярной физики и термодинамики
Количество вещества n = N/NA = m/m
Уравнение Клапейрона - Менделеева (уравнение РV = mRT/m
состояния идеального газа)
Закон Дальтона Р = P1 + P2 +....+ Pn
Концентрация молекул n = N/V = NAr/m
Закон Фурье q =-l (dT/dх)
Первое начало термодинамики dQ = dU + dA
Отношение температур и объемов газа,
совершающего адиабатический процесс, 
Работа газа при изотермическом процессе
.
Внутренняя энергия произвольной массы газа U = m∙ i ∙RT/(2∙μ)
Работа газа при изобарном расширении A = m∙R(T2-T1)/μ
ПРИМЕРЫРЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Маховик в виде колеса массой m = 30 кг и диаметром 60 см вращается с угловой скоростью w, изменяющейся по закону w = Аt10, где А = 2 рад/с11. Найти закон движения j(t), угловое ускорение e (t), момент сил М(t) и момент количества движения L(t). Вычислить эти величины через 2 с после начала движения. Считать начальный угол j(t =0) = j0 = 0.
|
|
Решение.
Перевод в СИ
m = 30 кг 30 кг
D = 60 см 0,6 м
w = Аt10 = 2× t10рад/с11 2× t10рад/с
t = 2 c 2 c
Определить: j(t), e (t), М(t), L(t).
Если известен закон движения, то угловая скорость определяется как первая производная от j(t) по времени:
dj
w(t) = ¾¾ (1)
dt
Закон движения j(t) находится решением обратной задачи, т.е. интегрированием угловой скорости по времени:
j(t) = 
w(t) d t + j0 (2)
При w(t) = 2 ×t10 ,с учетом j0 = 0:
j(t) = 2×t10 d t + j0 = 
(3)
В момент времени t = 2 с маховик повернулся на угол j(t =2 с) = 
= 372,3 » 372 рад.
Угловое ускорение определяется как первая производная от угловой скорости по времени:
dw d
e = ¾¾ = ¾¾ (2 ×t10) = 10 × 2× t9 (4)
dt dt
В момент времени t = 2 c угловое ускорение равно:
e (t = 2c) = 10 × 2 × 29 = 10240 » 1,02× 104 рад/с2
Момент сил можно определить из основного закона динамики для вращательного движения твердого тела:
М = I × e (5)
где I - момент инерции тела.
В нашем случае момент инерции колеса равен:
I = mR2 = mD2/4 (6)
Подставляя выражения (4) и (6) в (5) получим:
mD2 20 t9
М = ¾¾ ×¾¾
При t = 2 c
30 × (0,6)2 20×29
M = ¾¾ ¾¾ ¾¾ ¾¾ = 27648 » 2,77 × 104 Н×м
Момент количества движения равен:
L = I w (7)
Подставляя выражения для w и (6) в (7) получим:
mD2 2 t10
L = ¾¾ ¾¾
При t = 2 c
30× (0,6)2 × 2× 210
L = ¾¾ ¾¾ ¾¾ = 5529,6 = 5,53× 103 кг м2/с
Проверим размерность полученных выражений.
рад с11
[j] = [А] [t11] = ¾¾¾¾ = рад;
с11
рад с9
[e] = [А] [t9] = ¾¾¾¾ = рад/с2
с11
mD2 × A t9 кг м2 с9 кг м м
[M] = [¾¾¾¾¾¾¾¾ ] = ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = Н м
4 11 с11 с2
кг м2 c10
[L] = [ m D2 A t10 ] = ¾¾¾¾ = кг м2 с-1
c11
Ответ: j(t=2) =372рад, e(t=2с)= 1,02× 104 рад/с2, М(t) =2,77 × 104 Н м
L(t) = 5,53× 103 кг м2/с
Пример 2. Соковыжималка раскручивается до 7200 об/мин. Определить силу, действующую на кусочек яблока массой 5г, при диаметре камеры D = 24 см. Вычислить линейную скорость кусочка яблока. Оценить мощность соковыжималки, если максимальные обороты достигаются за 8с. Барабан представляет собой полуцилиндр, масса дна и кольца примерно одинакова и равна 100 г. Яблочная масса при загрузке составляет 300 г.
Решение. СИ
n = 7200 об/мин = 120 с-1
R = D/2 = 12 см = 0,12 м
m = 5 г = 5 ·10-3 кг
m1 = 100 г = 0,1 кг
m2 = 300 г = 0,3 кг
t = 8с
Определить: силу F, скорость V, мощность Р
Кусок яблока движется по круговой траектории с центростремительным ускорением
а = V2/ R. (1)
Сила, действующую на кусочек яблока со стороны барабана, равна
F= mV2/ R.
С силой F кусок яблока прижимается к барабану. Поэтому искомая сила равна
F= mV2/ R = F= mw2 R, (2)
где V = w R –линейная скорость кусочка яблока;
w = 2π n - угловая скорость
Проверим размерность подставляя:
кг· с-2 · м
[F] = [¾¾¾¾¾] = кг· м·с-2 = Н
Проведем вычисления:
Сила F = mw2 R= 5 ·10-3 ·(2 ·3,14)2 ·(120)2×0,12=5·10-3 ·4·9,86·1,44·104 ×0,12=2,84·103 Н
Линейная скорость кусочка яблока:
V = w R = 2π n R =2·3,14 ·120 · 0,12 =30.432 ≈ 30.4 м/с
Мощность соковыжималки можно оценить, вычислив кинетическую энергию вращающегося барабана вместе с содержимым и разделив её на время раскручивания.
Кинетическая энергия вращения равна:
Екин = (I + I1) w2 /2
где I = m2 R 2 – момент инерции яблочной массы;
I1 = m1 R 2 / 2 + m1 R 2 момент инерции полуцилиндра, состоящего из диска и кольца.
I = 0,3· (0,25)2 = 0.0185 =1.875·10-2 кг·м2 ≈ 1.88·10-2 кг·м2
I1 =(0.05 +0.1) · (0,25)2 = 0.93675·10-2 кг·м2≈ 0.937·10-2 кг·м2
Екин= (1.88 + 0.937) ·10-2 ·(2π 120)2 / 2 = 2.82 ·10-2 · 2· (3,14)2 1.44· 104 ≈ 8.01·103 Дж.
Мощность соковыжималки:
Р = Екин / t =8.01·103 / 8 ≈ 103 Вт
Размерность полученных результатов проверяем аналогичным способом, описанным в примерах 1 и 2.
Ответ: сила, прижимающая кусочек яблока к барабану F = 2,84·103 Н,
линейная скорость кусочка яблока:V ≈ 30.4 м/с; мощность соковыжималки Р ≈ 103 Вт.
Пример 3. Автомобиль тянет платформу с грузом, представляющим собой прямоугольную форму весом 250 кг. Коэффициент трения между платформой и грузом 0,05, вес платформы 820 кг. Сила с которой тянет автомобиль платформу изменяется по закону F=Аt, где А=4,25[кг×м/с3] – некоторая постоянная. Определить: 1) момент времени t0, когда платформа начнет выскальзывать из-под груза; 2) ускорения груза а1 и платформы а2 в процессе движения.
Решение.
m1=250 кг Описанный процесс схематично изображен на рис.1.
m2=820 кг Сила, с которой машина тянет платформу, можно выразить
f=0,05 формулой F=Fтр+m2a2 (1), где Fтр= m1a1 (2). Максимальное F=4,25t значение силы трения равно Fтр.max= f m1 g (3),
______________
Найти
t0=? где g=9,81 м/с2 - есть ускорение свободного падения.
а1=? Используя выражения (1), (2) и (3), определим ускорение а2 и,
а2=? подставим его в очевидное неравенство, а2 ³ а1, показывающее
Рис. 1.
предельное значение ускорения, при котором груз уже скользит по платформе.
а2 = 
; а1=fg; тогда 
.
Во время t=t0 
, из чего выразим t0= 
.
Во время t£t0 а1=а2= 
Во время t£t0 а1=fg=const, а2= 
.
Так как исходные данные приведены в системе единиц СИ, то подставим в полученные выражения числовые значения и рассчитаем требуемые неизвестные.
t0= 
а1=9,81×0,05=0,49 м/с2.
а2= 
.
Размерность полученных результатов проверяем аналогичным способом, описанным в примерах 1 и 2.
Ответ: 1) время, после начала движения при котором платформа начнет выскальзывать из под груза больше t0= 123,49 с; 2) ускорение груза достигнет а1= 0,49 м/с2; 3) платформа должна двигаться с ускорением больше, чем а2= 0,49 м/с2.
Пример 4. С башни, высотой 20 м, горизонтально со скоростью 10 м/с из пращи брошен камень массой 400 г. Пренебрегая сопротивлением воздуха определить для момента времени 1с после начала движения кинетическую и потенциальную энергии.
Решение.
H= 20 м Запишем формулы для расчета кинетической и потенциа-
u0= 10 м/с льной энергий:
m= 400 г = 0,4 кг Т = 
; П = m×g×h.
t= 1 с
______________
Найти: В формулах не все данные известны. Необходимо найти
Т =?; П =?. общую скорость движения камня через 1 с и высоту на
которой камень будет находиться через это время. Скорость движения при снижении камня по вертикали определяется выражением uy = g×t, а полная скорость движения u2 = u02 + uy2, где u0 = const – постоянная скорость движения камня по горизонтали, uy – скорость равнопеременного движения камня по вертикали. Подставив полученные формулы в выражение для кинетической энергии, окончательно получим:
Т = m ×(u02+g2 × t2) / 2.
За время t камень опустится на высоту h1 = 
, тогда потенциальная энергия камня будет равна
П = m×g×(H - ).
Проведем вычисления: Т = m ×(u02+g2 × t2) / 2 = 0,4×(102 + 9,812×12) / 2 = 39,2 Дж;
П = m×g×(H - ) = 0,4×9,81× (20 – 9,81×12/2) = 59,2 Дж.
Ответ: 1) кинетическая энергия камня через секунду после начала движения равна Т = 39,2 Дж; 2) потенциальная энергия равна П = 59,2 Дж.
Размерность полученных результатов проверяем аналогичным способом, описанным в примерах 1 и 2.
Пример 5. В цилиндре под поршнем находится водород массой 20 г, при температуре 250С. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического процесса расширения и работу, совершенную газом. Изобразить процесс графически.
Решение. СИ
М = 20г 0.02 кг
T1 = 250C Т1 = 298 К
V1а/ V2а = 5
V2и/ V1и = 1/5
R = 8,31 Дж/моль∙град
µ=2 ∙10-3 кг/моль
i = 5
γ = 1,4
________________________________
Определить: Т2=?; А1=?; А2=?.
Отношение температур и объемов газа, совершающего адиабатический процесс, описываются равенством:
,
где γ – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме. Отсюда получаем выражение для конечной температуры Т2:
.
Подставляя численные значения, получаем:
Т2 = 298∙(1/5)1,4-1 = 298∙0.525 = 156,5 К.
Работа газа при адиабатическом расширении определим по формуле:
Подставляя цифровые значения в полученное выражение, получаем:
.
Работа газа при изотермическом процессе может быть выражена формулой:
.
Подставляя известные числовые значения, величин входящих в формулу, и выполняя арифметические операции, находим работу при изотермическом процессе:
.
Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается над газом внешними силами.
График описанного процесса представлен на рис.1.
Рис. 1.
Ответ: Температура в конце адиабатического процесса расширения Т2 = 156,5 К.
Работа, совершенная газом для точек 2,3 равна А1=8,62∙104Дж, А2=-2,08∙104Дж.
Пример 6. Определить плотность смеси газов (60 % пропана - С3Н8,30%, бутана - С4 Н10 и 10% метана - CH4) находящихся в баллоне при температуре 27 0С и давлении 0.11МПа.
Решение. СИ
m1(С3Н8) = (3×12 +8×1) × 10-3 = 44×10-3кг/моль
m1/m= 0.6 - “ -
m2 (С4H10) = (4×12 + 10×1) ×10-3=56×10-3 кг/моль
m2/m =0.3 - “ -
m3 (СН4) = (12 + 4×1) ×10-3 = 16×10-3 кг/моль
m3/m = 0.1 - “ -
t = 270C Т = 300 К
P = 0.11 MПа 0.11× 106 Па
____________________________________
Определить: r =?
По закону Дальтона давление смеси газов P равно сумме парциальных давлений газов, составляющих смесь P1(C3 H8), P2(C4 H10),P3 (CH4):
P = P1 + P2 + P3 (1)
Для каждого газа справедливо уравнение состояния (Клапейрона -Менделеева):
Pi V = (mi /mi)RT (2)
Из выражения (2) можно выразить парциальное давление:
Pi = (mi /mi)RT/V (3)
Уравнение Клапейрона - Менделеева справедливо и для смеси газов:
P V = (m /m)RT (4)
Плотность газа равна:
r = m/V = Pm/ RT (5)
Молярную массу смеси можно найти подставив (3) в (1):
P = (m1/m1)RT/V + (m2 /m2)RT/V + (m3 /m3)RT/V = (m/m) RT/V (6)
Из уравнения (6) молярная масса m равна:
m = (m1/m1m + m2/m2m + m3/m3m)-1 (7)
Подставляя (7) в (5) получим выражение для плотности смеси:
r = P/ RT (m1/m1m + m2/m2m + m3/m3m)
Проверим размерность получившейся формулы:
[r]=[P] /[R][T] [m-1]=Па/ (Дж моль-1К-1) К (кг/моль)-1=Па/Дж кг-1=Нм-2 кг/Нм= кг/м3
r = 0.11×106 /8.31 300 (0.6/44×10-3 + 0.3/ 56×10-3 + 0.11/6×10-3) = (0.11× 39.6 /8.31×3×) × 106-2-3 = 0.175×10 =1.75 кг/м3
Ответ: плотность смеси газов r = 1.75 кг/м3.