Задача 5.1
Для реконструкции и модернизации производства на четырех предприятиях выделены денежные средства С = 80 ден. ед. По каждому предприятию известен возможный прирост gi(х) (i = 1, 4) выпуска продукции в зависимости от выделенной суммы. Требуется:
1) распределить средства С между предприятиями так, чтобы суммарный прирост продукции на всех четырех предприятиях достиг максимальной величины;
2) используя решение основной задачи, найти оптимальное распределение 80 ден. ед. между тремя предприятиями.
Необходимые числовые данные приведены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
| Параметр | Номер варианта | |||||||||
| g1(20) | ||||||||||
| g1(40) | ||||||||||
| g1(60) | ||||||||||
| g1(80) | ||||||||||
| g2(20) | ||||||||||
| g2(40) | ||||||||||
| g2(60) | ||||||||||
| g2(80) | ||||||||||
| g3(20) | ||||||||||
| g3(40) | ||||||||||
| g3(60) | ||||||||||
| g3(80) | ||||||||||
| g4(20) | ||||||||||
| g4(40) | ||||||||||
| g4(60) | ||||||||||
| g4(80) |
Задача 5.2
В начале планового периода продолжительностью 6 лет имеется оборудование, возраст которого t. Оборудование не должно быть старше 6 лет. Известны: стоимость r(t) продукции, произведенной в течение года с помощью этого оборудования; ежегодные расходы u(t), связанные с эксплуатацией оборудования; его остаточная стоимость s; стоимость р нового оборудования, включающая расходы, связанные с установкой, наладкой и запуском оборудования. Требуется:
1) составить матрицу максимальных прибылей fn(t) за 6 лет;
2)сформировать по матрице максимальных прибылей оптимальные
стратегии замены оборудования возрастов t и t1 лет в плановом периоде
продолжительностью 6 и N лет.
Необходимые данные приведены в табл. 5.2.
Таблица 5.2
| Параметр | Номер варианта | |||||||||
| N | ||||||||||
| t | ||||||||||
| t1 | ||||||||||
| s | ||||||||||
| p | ||||||||||
| r(0) | ||||||||||
| r(1) | ||||||||||
| r(2) | ||||||||||
| r(3) | ||||||||||
| r(4) | ||||||||||
| r(5) | ||||||||||
| r(6) | ||||||||||
| u(0) | ||||||||||
| u(1) | ||||||||||
| u(2) | ||||||||||
| u(3) | ||||||||||
| u(4) | ||||||||||
| u(5) | ||||||||||
| u(6) |
Методические указания
Рассмотрим задачу о замене оборудования.
С течением времени любое оборудование изнашивается физически и морально, поэтому на каком-то этапе его эксплуатация становится менее выгодной, нежели приобретение и использование нового оборудования. В связи с этим возникает задача определения наиболее подходящего момента замены оборудования, В качестве критерия оптимальности при замене оборудования принимают минимум ожидаемых затрат или максимум ожидаемой прибыли за какой-то период времени.
В начале планового периода N = 4 годам, имеется оборудование, возраст которого t = 2 года. Для каждого года планового периода известны
стоимость r(t) произведенной с использованием имеющегося оборудования
продукции и затраты v(t), связанные с его эксплуатацией. Эти характеристики зависят от возраста оборудования. Известны также остаточная стоимость оборудования s = 4 ден. ед., не зависящая от его возраста, и стоимость нового оборудования р = 13 ден, ед., не меняющаяся в рассматриваемом плановом периоде. Срок эксплуатации данного оборудования не более 6 лет.
| t | |||||||
| r(t) | |||||||
| v(t) |
Требуется разработать оптимальную политику в отношении имеющегося оборудования, те. на начало каждого года планового периода установить, сохранить в этом году оборудование или продать его по остаточной стоимости s, или купить новое оборудование, чтобы ожидаемая прибыль за N лет достигла максимальной величины.
Состояние системы (S) будем характеризовать возрастом оборудования t = 0, 1,.... Значение t = 0 соответствует новому оборудованию. Пусть хi - управление на i-м шаге, которое имеет два варианта - "сохранение" и "замена".
Рассмотрим основное функциональное уравнение на последнем, N-м шаге: 
.
В этой и последующих формулах максимальная прибыль на очередном шаге определяется с учетом всех возможных состояний системы, в которых она может находиться сразу после принятия решения в начали данного года, поэтому целесообразно уравнение переписать в виде
.
Если при этом в начале года выбрано управление "сохранение", то прибыль 
выражается разностью 
, если же выбрано управление "замена", то прибыль можно записать в виде 
.
Максимальная прибыль определяется большим из двух приведенных выражений. Если прибыль в обоих случаях будет одинаковой, то целесообразно принять управление "сохранение", так как имеющееся оборудование хорошо освоено и с ним легче работать.
При произвольном шаге (i < N) основное функциональное уравнение принимает вид 
. Прибыль на i-м шаге по-прежнему определяется парой формул: 
, если выбрано управление "сохранение", и 
– в противо-положном случае.
Применим рассмотренный алгоритм к решению конкретной задачи. Начнем с последнего, четвертого года планового периода. Имеем:
- в случае "сохранения" оборудования и
- в случае его "замены".
Составляем первую таблицу, рассматривая все возможные начальные состояния оборудования, т.е. его возраст S3 = 1 – 6 лет.
| S3 | x4 | S4H | Z4 | F4 |
| Сохранение Замена | 11с | |||
| Сохранение Замена | 10с | |||
| Сохранение Замена | 9с | |||
| Сохранение Замена | 8с | |||
| Сохранение Замена | 6с | |||
| Сохранение Замена | – 3з |
Анализ таблицы показывает, что заменять оборудование выгодно только в том случае, если его возраст уже равен 6 годам, т.е. по условиям оборудование нельзя использовать далее.
Переходим к анализу ситуации перед третьим годом исследуемого периода.
- в случае "сохранения" оборудования и
- в случае его "замены".
Теперь следует оптимизировать расходы за двухлетний период (последний и предпоследний годы). Оптимальную прибыль за четвертый год следует взять из первой таблицы. Подчеркнем, что 
- возраст оборудования в начале третьего года сразу после принятия решения о его сохранении или замене; 
- возраст оборудования к концу третьего года. Данные в колонку F4 переносятся из предыдущей таблицы в соответствии со значением параметра
| S2 | X3 | S3H | Z3 | S3 | F4 | Z3+F4 | F3 |
| Сохранение Замена | 21с | ||||||
| Сохранение Замена | 19с | ||||||
| Сохранение Замена | 17с | ||||||
| Сохранение Замена | 14с | ||||||
| Сохранение Замена | – 14з | ||||||
| Сохранение Замена | – | – | – | – 14з |
.
Условная оптимизация на начало второго года приведена в следующей таблице:
| S1 | X2 | S2H | Z2 | S2 | F3 | Z2+F3 | F2 |
| Сохранение Замена | 30с | ||||||
| Сохранение Замена | 27с | ||||||
| Сохранение Замена | 24з | ||||||
| Сохранение Замена | 24з | ||||||
| Сохранение Замена | 24з | ||||||
| Сохранение Замена | – | – | – | – 24з |
Последняя таблица завершает условную оптимизацию.
| S0 | X1 | S1H | Z1 | S1 | F2 | Z1+F2 | F1 |
| Сохранение Замена | 38с | ||||||
| Сохранение Замена | 34з | ||||||
| Сохранение Замена | 33з | ||||||
| Сохранение Замена | 33з | ||||||
| Сохранение Замена | 33з | ||||||
| Сохранение Замена | – | – | – | – 33з |
С помощью таблиц условной оптимизации можно сформулировать оптимальную политику в отношении оборудования любого возраста не старше 6 лет в течение четырехлетнего периода. Для наглядности основные результаты, содержащиеся в последних столбцах четырех построенных таблиц оформим в виде сводной таблицы, которая называется матрицей максимальных прибылей, и выделим элементы, ниже которых расположены показатели суммарной прибыли, соответствующие выбору управления "замена". Элементы, расположенные выше линии, находятся в области "сохранения" оборудования.
Матрица максимальных прибылей.
| t | Годы | |||
| 1-4 | 2-4 | 3-4 | ||
| – | – | – | ||
Сформулируем оптимальную политику в отношении оборудования, возраст которого 2 года. В таблице для t = 2 в первой колонке стоит суммарная прибыль 33 ден. ед. за четыре года, при этом выбор управления – "замена". К началу второго года возраст оборудования составит 3 года, поэтому в следующей колонке мы выбираем строку, соответствующую возрасту 3 года. Оптимальная прибыль за второй - четвертый годы -24 ден. ед., и мы находимся в области "замены" оборудования, следовательно, к началу третьего года оборудование будет иметь возраст 1 год. Прибыль за третий - четвертый годы для такого оборудования равна 21 деи. ед., за последний, четвертый год - 10 ден. ед.и находятся в области “сохранения”. Таким образом, рекомендуется замена оборудования в начале второго года.