Реферат
Целью данной курсовой работы является изучение особых свойств Гамма-функции Эйлера. В ходе работы была изучена Гамма-функция, её основные свойства и составлен алгоритм вычисления с разной степенью точности. Алгоритм был написан на языке высокого уровня - Си. Результат работы программы сверен с табличным. Расхождений в значениях обнаружено не было.
Пояснительная записка к курсовой работе выполнена в объёме 36 листов. Она содержит таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях переменных и тексты программ для вычисления значений Гамма-функции и для построения графика, а также 2 рисунка.
Для написания курсовой работы было использовано 7 источников.
Введение
Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.
Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.
Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода:
Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:
Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых специальных функций, знание свойств которой необходимо для изучения многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других.
Благодаря её введению значительно расширяются наши возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение её всё же часто облегчает использование функции Г, хотя бы в промежуточных выкладках.
Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.
|
|
Бэта-функция Эйлера
Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:
= 
(1.1)
Он представляет функцию от двух переменных параметров 
и 
: функцию B. Если эти параметры удовлетворяют условиям 
и 
,то интеграл (1.1) будет несобственным интегралом, зависящим от параметров и ,причём особыми точками этого интеграла будут точки 
и 
Интеграл (1.1) сходятся при 
.Полагая 
получим:
= - 
= 
т.e. аргумент и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество
по формуле интегрирования почестям имеем
Откуда получаем
= 
(1.2)
При целом b = n последовательно применяя (1.2)
Получим
(1.3)
при целых = m, = n, имеем
но B(1,1) = 1,следовательно:
Положим в (1.1) 
.Так как график функции 
симметрична относительно прямой 
,то
и в результате подстановки 
, получаем
полагая в(1.1) 
,откуда 
, получим
(1.4)
разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до 
и применение ко второму интегралу подстановки 
,получим
Гамма-функция
Определение
Восклицательный знак в математических трудах обычно означает взятие факториала какого-либо целого неотрицательного числа:
n! = 1·2·3·...·n.
Функцию факториал можно еще записать в виде рекурсионного соотношения:
(n+1)! = (n+1)·n!.
Это соотношение можно рассматривать не только при целых значениях n.
Рассмотрим разностное уравнение
G(z+1)=zG(z).
(2.1)
Несмотря на простую форму записи, в элементарных функциях это уравнение не решается. Его решение называется гамма-функцией. Гамма-функцию можно записать в виде ряда или в виде интеграла. Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением.
|
|
Интегральное представление
Перейдем к решению этого уравнения. Будем искать решение в виде интеграла Лапласа:
В этом случае правая часть уравнения (2.1) может быть записана в виде:
Эта формула справедлива, если существуют пределы для внеинтегрального члена. Заранее нам не известно поведение образа [(G)\tilde](p) при p® ±¥. Предположим, что образ гамма-функции таков, что внеинтегральное слагаемое равно нулю. После того, как будет найдено решение, надо будет проверить, верно ли предположение о внеинтегральном слагаемом, иначе придется искать G(z) как-нибудь по-другому.
Левая часть равенства (2.1) записывается следующим образом:
Тогда уравнение (2.1) для образа гамма-функции имеет вид:
Это уравнение легко решить:
(2.2)
Нетрудно заметить, что найденная функция [(Г)\tilde](p) на самом деле такова, что внеинтегральный член в формуле (2.2) равен нулю.
Зная образ гамма-функции, легко получить и выражение для прообраза:
Это неканоническая формула, для того, чтобы привести ее к виду, полученному Эйлером, надо сделать замену переменной интегрирования: t = exp(-p), тогда интеграл примет вид:
Постоянная C выбирается так, чтобы при целых значениях z гамма-функция совпадала с функцией факториал: Г(n+1) = n!, тогда:
следовательно C = 1. Окончательно, получаем формулу Эйлера для гамма-функции:
|
|
(2.3)
Эта функция очень часто встречается в математических текстах. При работе со специальными функциями, пожалуй, даже чаще, чем восклицательный знак.
Проверить, что функция, определенная формулой (2.3), действительно удовлетворяет уравнению (2.1), можно, проинтегрировав интеграл в правой части этой формулы по частям:
