В подынтегральной функции интеграла (2.3) при 
экспонента exp(-tz) при R(z) > 0 убывает гораздо быстрее, чем растет алгебраическая функция t (z-1). Особенность в нуле - интегрируемая, поэтому несобственный интеграл в (2.3) сходится абсолютно и равномерно при R (z) > 0. Более того, последовательным дифференцированием по параметру z легко убедиться, что Г(z) - голоморфная функция при R (z) > 0. Однако, непригодность интегрального представления (2.3) при R (z) 
0 не означает, что там не определена сама гамма-функция - решение уравнения (2.1).
Рассмотрим поведение Г(z) в окрестности нуля. Для этого представим:
где 
- голоморфная функция в окрестности z = 0. Из формулы (2.1) следует:
Тогда
то есть Г(z) имеет полюс первого порядка при z = 0.
Также легко получить:
то есть в окрестности точки 
функция Г(z) также имеет полюс первого порядка.
Таким же образом можно получить формулу:
(2.4)
Из этой формулы следует, что точки z = 0,-1,-2,... - простые полюсы гамма-функции и других полюсов на вещественной оси эта функция не имеет. Нетрудно вычислить вычет в точке z = -n, n = 0,1,2,...:
Представление Ганкеля через интеграл по петле
Выясним, имеет ли гамма-функция нули. Для этого рассмотрим функцию
Полюсы этой функции и есть нули функции Г(z).
Разностное уравнение для I(z) легко получить, воспользовавшись выражением для Г(z):
Выражение для решения этого уравнения в виде интеграла можно получить так же, как было получено интегральное выражение для гамма-функции - через преобразование Лапласа. Ниже приведены вычисления.ни такие же, как и в п.1).ии теграла будут точки ____________________________________________________________________________
или
После разделения переменных получим:
Проинтегрировав получаем:
или 
Переход к прообразу Лапласа дает:
В полученном интеграле сделаем замену переменной интегрирования:
тогда 
Здесь важно заметить, что подынтегральная функция при нецелых значениях z имеет точку ветвления t = 0. На комплексной плоскости переменной t проведем разрез по отрицательной вещественной полуоси. Интеграл по этой полуоси представим как сумму интеграла по верхнему берегу этого разреза от 
до 0 и интеграла от 0 до по нижнему берегу разреза. Чтобы интеграл не проходил через точку ветвления, устроим вокруг нее петлю.
Рис1: Петля в интегральном представлении Ганкеля.
В результате получим:
Чтобы выяснить значение постоянной, вспомним, что I(1) = 1, с другой стороны:
Интегральное представление
(2.5)
называется представлением Ганкеля по петле.
Легко видеть, что функция 1/Г(z) не имеет полюсов в комплексной плоскости, следовательно, гамма-функция не имеет нулей.
С помощью этого интегрального представления можно получить формулу для произведения гамма-функций. Для этого в интеграле сделаем замену переменной 
, тогда:
то есть
Предельная форма Эйлера
Гамма-функцию можно представить в виде бесконечного произведения. Это можно заметить, если в интеграле (2.3) представить
Тогда интегральное представление гамма-функции:
В этой формуле мы можем поменять пределы - предел интегрирования в несобственном интеграле и предел при 
внутри интеграла. Приведем результат:
Возьмем по частям этот интеграл:
Если провести эту процедуру n раз, получим:
Переходя к пределу, получим предельную форму Эйлера для гамма-функции:
(2.6)