Интеграл
сходится при каждом 
,поскольку 
,и интеграл 
при сходится.
В области 
, где 
- произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можно применить признак Вейрштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл 
так как и второе слагаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом .Легко видеть что интеграл сходится по 
в любой области 
где 
произвольно. Действительно для всех указанных значений и для всех 
,и так как 
сходится, то выполнены условия признака Вейерштрасса. Таким образом, в области 
интеграл 
сходится равномерно.
Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при .Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция 
непрерывна при и , и покажем,что интеграл:
сходится равномерно на каждом сегменте 
, 
. Выберем число 
так, чтобы 
; тогда 
при 
.Поэтому существует число 
такое, что 
и 
на 
.Но тогда на справедливо неравенство
и так как интеграл 
сходится, то интеграл 
сходится равномерно относительно 
на 
. Аналогично для 
существует такое число 
, что для всех выполняется неравенство 
. При таких 
и всех получим 
, откуда в силу признака сравнения следует, что интеграл 
сходится равномерно относительно на 
. Наконец, интеграл
в котором подынтегральная функция непрерывна в области
, очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом, на 
интеграл
сходится равномерно, а, следовательно, гамма-функция бесконечно дифференцируема при любом 
и справедливо равенство
.
Относительно интеграла 
можно повторить те же рассуждения и заключить, что
По индукции доказывается, что Г-функция бесконечно дифференцируема при и для ее я 
-ой производной справедливо равенство
|
|
Изучим теперь поведение 
- функции и построим эскиз ее графика. (см. Приложение 1)
Из выражения для второй производной -функции видно, что 
для всех . Следовательно, 
возрастает. Поскольку 
, то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная 
при 
и 
при 
, т. е. Монотонно убывает на 
и монотонно возрастает на 
. Далее, поскольку 
, то 
при 
. При 
из формулы 
следует, что 
при 
.
Равенство 
, справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .
Положим для 
, что 
. Правая часть этого равенства определена для из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция 
принимает на (-1,0) отрицательные значения и при 
, а также при 
функция 
.
Определив таким образом 
на 
, мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением 
окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что 
при 
и 
. Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках 
(см. Приложение 1.)
Отметим еще раз, что интеграл
определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения 
.
Вычисление некоторых интегралов.
Формула Стирлинга
Применим гамма функцию к вычислению интеграла:
где m > -1,n > -1.Полагая, что 
,имеем
и на основании (2.8) имеем
(4.1)
В интеграле
Где k > -1,n > 0,достаточно положить 
|
|
Интеграл
Где s > 0,разложить в ряд
= 
где 
дзетта функция Римана
Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)
связанные неравенством
Разлагая, 
в ряд имеем
Переходя к выводу формулы Стирлинга, дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию
(4.2)
Непрерывна на интервале (-1, 
) монотонно возрастает от 
до 
при изменении 
от 
до 
и обращаются в 0 при u = 0.Так как
то 
при u > 0 и при u < 0, далее имеем
И так производная непрерывна и положительна во всем интервале 
,удовлетворяет условию
Из предыдущего следует, что существует обратная функция, 
определенная на интервале 
непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,
Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие
(4.3)
Формулу Стирлинга выведем из равенства
полагая 
,имеем
Положим далее 
введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при 
,и 
при 
.Замечая что(см.4.2)
имеем
,
полагая на конец, 
,получим
или
в пределе при 
т.е. при 
(см 4.3)
откуда вытекает формула Стирлинга
которую можно взять в виде
(4.4)
где 
,при
для достаточно больших 
полагают
(4.5)
вычисление же производится при помощи логарифмов
если 
целое положительное число, то 
и (4.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n
|
|
приведем без вывода более точную формулу
где в скобках стоит не сходящийся ряд.