Содержание и требования к выполнению курсовой работы
Содержание курсовой работы
Курсовая работа состоит из двух частей, соответствующих содержанию лекций, читаемых по дисциплине: «Оптимальное управление организационно-техническими системами».
Первая часть работы посвящена аналитическому решению задачи оптимизации программной стратегии управления динамической системой (ДС). Известно, что аналитическое решение может быть получено для линейных ДС [1, 2], как по фазовому состоянию, так и по управлению, то есть для систем вида:
 = A x + B u, x(t0) = x0
| (1.1) |
Где х – вектор фазового состояния ДС, имеющий в общем случае размерность [ n´1 ]; х0 – вектор фазового состояния ДС в начальный момент времени - t0 из ограниченного интервала времени движения ДС – [ t0, tk ], tk - конечный момент времени движения ДС; u – вектор управления ДС, имеющий в общем случае размерность [ r´1 ]; A, B – матрицы постоянных коэффициентов системы, имеющие размерности [ n´n ]и[ n´r ], соответственно.
Программные стратегии управления предполагают формирование управления в прямой зависимости от времени [5, 6], то есть:
| Ut = { u(∙): (u(t), t0 ≤ t ≤ tk)Ì L2 } | (1.2) |
Где Ut – множество возможных программных стратегий, L 2 – множество функций интегрируемых по Риману, допускающих конечное число разрывов первого рода.
В рамках курсовой работы ставится задача: определить оптимальную программу управления u (∙) Î Ut системой (1.1), обеспечивающую минимум квадратичного критерия
J =  [(xT(t) Q x(t) + uT(t) W u(t))] dt + xT (tk) Λ x(tk)
| (1.3) |
Здесь Q, W, Λ – положительно определенные симметрические матрицы размерности [n´n], [r´r], [n´n], соответственно.
«Весовые» матрицы Q, W, Λ определяют меру значимости в критерии (1.3) величин составляющих вектора состояния x(t) в текущее время, величин составляющих вектора состояния x(tk) в конечное время, а также составляющих вектора управления u(t) в процессе управляемого движения системы (1.1) t Î [t0, tk].
Формально задача оптимизации программы управления ДС (1.1) может быть записана следующим образом.
| (1.4) |
Для аналитического решения поставленной задачи используются необходимые условия оптимальности управления, часто встречающиеся в литературе под названием: «Принцип максимума» Л.С. Понтрягина [1, 2, 3].
Их применение позволяет определить структуру оптимального управления – сложную функцию управления от времени через посредство так называемых сопряженных функций ψ(t), имеющих в общем случае размерность [n´1] и на момент применения необходимых условий неизвестных.
Для определения конкретного вида функций ψ(∙)= (ψ (t), t0 ≤ t ≤ tk) и, соответственно, оптимального программного управления u(∙)Î Ut решается краевая задача для канонической системы дифференциальных уравнений, включающей как уравнения ДС (1.1), так и системы дифференциальных уравнений для сопряженных функций:
| (1.5) |
Где f(x, u) – правые части ДС общего вида (см.(2.1)), F(x(tk)) – терминальная часть критерия оптимальности общего вида (см.(2.5)).
В рассматриваемом случае, когда ДС стационарна и линейна по x(t) и u(t), решение краевой задачи для 2n линейных канонических уравнений, составленных из (1.1) и конкретных уравнений (1.5), может быть получено аналитически с помощью, так называемой переходной (фундаментальной) матрицы [4].
В результате решения краевой задачи для конкретных канонических уравнений и заданных краевых условий определяются сопряженные функции и соответствующее оптимальное управление u(∙).
Для лучшего усвоения решаемой задачи и лучшего понимания зависимости полученного оптимального управления от «весовых» матриц Q, W, Λ, определяющих меру значимости в критерии (1.3) управляемого «поведения» траектории движения ДС и самого управления, некоторые элементы этих матриц заданы параметрами, которые допускают вариации в определенных пределах. Это позволяет провести исследование изменений оптимальных управлений и соответствующих траекторий в зависимости от степени значимости коэффициентов (параметров) матриц Q, W, Λ.
Вторая часть работы посвящена изучению методики и приобретению навыков численного решения краевой задачи, к которой, как отмечалось выше, сводится решение задачи определения возможно оптимального программного управления в результате применения необходимых условий оптимальности управления типа «Принципа максимума» Л.С. Понтрягина.
Несмотря на то, что для линейных стационарных систем (1.1) решение краевой задачи может быть получено аналитически (как это делается в первой части работы), предлагается повторить решение краевой задачи с использованием численных методов согласно типовой методике, обычно применяемой для решения подобных задач в случаях практически любых нелинейных ДС, удовлетворяющих условиям Липшица [4].
Алгоритм численного решения краевой задачи строится на основе применения одного из методов математического программирования «нулевого порядка» [7, 8, 9]. При этом рекомендуется использовать те методы, которые разрабатывались и применялись каждым студентом в процессе выполнения курсовой работы в рамках дисциплины: «Методы оптимизации» [10].
Целевая функция, минимизируемая по параметрам краевых условий канонической системы дифференциальных уравнений, составленных из (1.1) и (1.5), строится как функция невязки между требуемыми значениями вектора конечных состояний системы и получающимися реально в результате численного интегрирования канонической системы уравнений. В качестве параметров (аргументов), по которым осуществляется минимизация, выступают «свободные» значения краевых условий, в частности значения вектора начального состояний сопряженных функций - ψ(t0), то есть:
| (1.6) |
Где Φ – функция невязки, ψ(t0) – параметры (аргументы) задачи математического программирования.
Поскольку связь целевой функции Φ (ψ(t0)) (функция невязки) с параметрами ψ(t0) осуществляется через процедуру численного интегрирования канонических уравнений (1.1) + (1.5), то для решения задачи математического программирования целесообразно применить один из методов «нулевого порядка» [7, 8, 9].
После численного решения задачи оптимизации программного управления ее результаты всесторонне сравниваются с аналогичными результатами аналитического решения.
Таким образом, в процессе численного решения задачи оптимизации программного управления должны быть решены следующие подзадачи:
1. Разработка методики сведения задачи оптимизации программного управления к задаче математического программирования посредством применения необходимых условий оптимальности управления;
2. Разработка методики, алгоритма (блок-схемы) и подпрограммы численного интегрирования канонических дифференциальных уравнений с заданной точностью по конечным условиям движения;
3. Разработка методики, алгоритма (блок-схемы) и подпрограммы численного решения задачи безусловной минимизации функции невязки (1.6) при этом рекомендуется использовать программное обеспечение по курсовой работе «Методы оптимизации»;
4. Разработка основной (вызывающей) программы, в которой задаются все исходные данные, связанные с конкретной задачей оптимизации программного управления и фиксируются параметры численных методов математического программирования;
5. Отладка и тестирование сформированной программы численного решения конкретной задачи оптимизации программного управления (рекомендуется осуществлять это поблочно и по подпрограммам);
6. Проведение сравнительного анализа полученного численного решения задачи оптимизации программного управления с аналогичным аналитическим решением, полученным в первой части данной работы.
В Заключении КР делаются конкретные выводы: по результатам анализа влияния коэффициентов значимости матриц Q, W, Λ с подтверждающими графиками зависимости фазовых координат и управления от времени, а также по результатам сравнения аналитических и численных решений задачи оптимизации программного управления.
Основные рекомендации по выполнению курсовой работы даются в разделе 2.
Общие требования к проведению и оформлению курсовой работы
Каждый студент получает индивидуальный вариант задания, в который включаются:
по части I работы - конкретные виды динамической системы и критерия оптимальности управления;
по части II работы – численный метод интегрирования канонической системы дифференциальных уравнений, численный метод безусловной оптимизации и метод одномерной оптимизации (если это необходимо).
Процесс проведения курсовой работы строго регламентирован и должен выполняться согласно плану, представленному в табл 1.1. При этом задание по части II работы выдается только после выполнения части I.
Таблица 1.1
| № п/п | содержание | продолжитель-ность | основная литература |
| постановка конкретной задачи, оформление раздела в отчет по КР | 1 неделя | конспект лекций | |
| изучение методики аналитического решения задачи, оформление раздела в отчет по КР | 0,5 недели | [1, 2], конспект лекций и семинарских занятий |
Продолжение Таблицы 1.1
| решение задачи в черновом виде | 1,5 недели | конспект семинарских занятий | |
| проведение исследований по коэффициентам значимости в критерии оптимальности, построение графиков зависимости фазового состояния ДС и управления от времени | 1 неделя | конспект семинарских занятий | |
| оформление части I отчета по КР | 0,5 недели | ||
| изучение теории и разработка методик численного решения задачи (согласно заданию), оформление раздела в отчет по КР | 0,5 недели | [1, 2, 3, 7, 8, 9], конспект лекций и семинарских занятий | |
| формирование алгоритмов (блок-схем), программирование и отладка программного обеспечения | 2 недели | [1, 2, 7, 8, 9], конспект лекций и семинарских занятий | |
| построение графиков зависимости фазового состояния ДС и управления от времени для численного решения задачи и проведение сравнения с аналитическим решением | 0,5 недели | ||
| оформление части II отчета по КР | 0,5 недели | ||
| Анализ результатов и формулировка выводов по КР | 0,5 недели |
Как видно из плана проведения КР ее реализация рассчитана на ~ 8,5 недель, что составляет по продолжительности около 53 % семестра.
Отчет по КР должен быть оформлен согласно действующему ГОСТу на оформление научно-технических отчетов и удовлетворять следующим требованиям.
· Отчет по КР должен иметь титульный лист, на котором должны быть указаны: дисциплина, в рамках которой выполняется КР, учебное заведение, факультет и кафедра, где выполнялась КР, автор и руководители КР, а также год выполнения КР;
· Вслед за титульным листом Отчет по КР должен иметь лист - «Задание на КР», на котором компактно излагаются индивидуальные динамическая система и критерий оптимальности управления, а также численные методы, задаваемые преподавателем, контролирующим выполнение КР;
· Вслед за листом «Задание на КР» должно следовать Содержание отчета по КР;
· Часть I отчета по КР должна иметь раздел, посвященный общей и частной постановке задачи с привлечением принятой в данной дисциплине терминологии и математических обозначений;
должна иметь раздел, посвященный методике и алгоритму аналитического решения поставленной задачи (формализм применения необходимых условий оптимальности управления типа «Принципа максимума» Л.С. Понтрягина);
должна иметь раздел, в котором описано (детально) конкретное решение поставленной задачи, оформленное согласно алгоритму аналитического решения;
должна иметь раздел, излагающий суть и результаты исследования влияния коэффициентов значимости матриц Q, W, Λ в критерии (1.3) на вид зависимостей оптимальных x(t) и u(t).
· Часть II отчета по КР должна иметь раздел, посвященный описанию методики численного решения задач оптимизации программной стратегии управления детерминированной нелинейной динамической системой;
должна иметь раздел, посвященный описанию алгоритма (блок-схемы) решения краевой задачи для канонической системы уравнений с привлечением конкретных численных методов математического программирования (рекомендуется использовать методы, определенные заданием по курсовой работе, выполняемой в рамках дисциплины «Методы оптимизации», [10]);
должна иметь описание результатов численных исследований в виде соответствующих таблиц и графиков, в том числе графических изображений программных управлений и соответствующих траекторий движения заданной динамической системы (все полученные результаты должны сопровождаться содержательными комментариями по существу решаемой задачи).
· В заключении КР должны быть сформулированы выводы по проделанной исследовательской работе, в которых должны анализироваться варианты оптимального программного управления в зависимости от коэффициентов значимости матриц Q, W, Λ в критерии (1.3). Кроме того, должен быть дан сравнительный анализ результатов аналитического и численного решений задачи оптимизации программной стратегии управления заданной динамической системой.
· В Приложении к КР должны быть помещены: распечатки модулей программного обеспечения, соответствующие блок-схемам численных алгоритмов решения и анализа задачи оптимизации программного управления заданной динамической системой.