Априорные процедуры многоцелевой оптимизации и соответствующие им методы принятия решения

В процедурах априорного типа делается явное или неявное предположение, что вся информация, позволяющая определить наилучшее решение, скрыта в формальной модели задачи и, следовательно, с помощью некоторых преобразований может быть из этой формальной модели извлечена и использована. т.е. считается, что множеств альтернатив U и целевых функций W₁(u), W₂(u),... вполне достаточно для объективного, не зависящего от отсутствующих в данной модели факторов определения оптимального решения.

Рассмотрим ряд методов, суть которых заключается сведении задачи к одноцелевой.

Метод главной компоненты заключается в том, что критерий качества связывается с одним из показателей, выбранных в роли основного (главного). На основные показатели накладываются ограничения. В этом случае по главному показателю реализуется критерий оптимальности, по остальным - пригодности. Например, если имеется вектор полезного эффекта в виде

W_<k> = <W₁, W₂,... W_k>, (7.1)

где

W_i(i=1,2...k) - компоненты вектора, например, для машины: производительность, экологичность, надежность, себестоимость и т.д., то метод главной компоненты заключается в произвольном выборе одного из компонентов в качестве главного, по которому производится оптимизация и выбирается решение. При этом остальные компоненты переводятся в разряд ограничений.

Этот метод прост, нагляден и часто применяется в машиностроительной практике, однако принципиальным его недостатком является произвол в выборе главного критерия. Можно привести много примеров из истории науки и техники, когда произвольный и неверный выбор этого критерия приводит к трагическим последствиям или, по меньшей мере, к малоэффективным результатам.

В литературе, посвященной вопросам оптимизации программ рубок ухода, в качестве главного показателя выбирают, например, их себестоимость или объем лесопользования [37], [30], [33]). При оптимизации металлоконструкций лесных машин - металлоемкость [2,3], [11], [35]). Когда решаются технологические задачи лесного производства принято использовать в качестве главной компоненты производительность [38], [36]).

Для задач, у которых критерии не равнозначны, применяется другой метод решения - уступок. Прежде чем решать поставленную задачу по методу уступок, необходимо:

• расположить критерии по их значимости (наиболее важный считается первым);
• отыскать оптимальное значение W₁^* целевой функции W₁;
• сделать уступку по первому показателю эффективности, т.е. ухудшить величину W₁^* до значения W₁^**=k₁W₁^*;
• ввести в задачу дополнительное ограничение W₁і W₁^**;
• отыскать оптимальное значение W₂^* целевой функции W₂;
• сделать уступку по второму показателю эффективности, т.е. ухудшить величину W₂^* до значения W₂^**=k₂W₂^*;
• ввести в задачу дополнительное ограничение W₂і W₂^**;
• новую задачу с двумя дополнительными ограничениями решить по третьему показателю эффективности и т.д.;
• процесс решения задачи заканчивается, когда решение будет получено по всем показателям. Окончательный план и будет наиболее рациональным - получено оптимальное значение наименее важного критерия при условии гарантированных значений предшествующих показателей эффективности.

Метод комплексного критерия, в отличие от метода главной компоненты, применяется довольно редко. Он заключается в переходе от векторного критерия к скалярному путем образования суммарного монопоказателя. При этом основная идея метода заключается в составлении одной функции, аргументами которой служат компоненты вектора полезного эффекта. Особенно частым случаем является представление такой функции в виде дроби, где в числителе стоят все величины, увеличение которых желательно (например, эффект), а в знаменателе те, которые хотелось бы уменьшить. В лесной экономике особенно часто, например, употребляется показатель приведенных затрат, где числитель выражает производительность труда (м³), а знаменатель - затраты. Такой показатель в настоящее время подвергается обоснованной критике, так как при этом вводится неявное допущение о том, что недостаток в одном показателе может быть скомпенсирован за счет другого. При этом, если желательно не оговаривать условия, то может получиться, что комплекс дорогостоящих, но и высокопроизводительных машин (харвестер + форвардер) будет иметь одинаковый показатель с каким-нибудь устаревшим вариантом, имеющим малую производительность и, соответственно, стоимость.

Метод условного центра масс нашел довольно широкое распространение в лесотехнических приложениях. В работах [1-8], [12], [15] на основе этого метода решены задачи обеспечения эффективности лесохозяйственных машин для рубок ухода, лесомелиоративных агрегатов, гидроманипуляторов трелевочных машин.

Пусть последовательно найдены значения экстремумов для каждого показателя W_i(u), что соответствует точкам в пространстве параметров с координатами {x₁^i*, x₂^i*,..., xn^i*}.

Введем понятие "условной массы" точки [3]: где

W_i(x₁^i*, x₂^i*,..., x_n^i*) - значение i-го показателя эффективности при совокупности управляемых параметров, обеспечивающих экстремальное его значение. Будем полагать, что компромиссному решению будет удовлетворять набор параметров, соответствующих точке с координатами "условного центра масс":

Найденные по этому методу средневзвешенные значения параметров x_i^** учитывают не только интересы всех показателей качества, но и чувствительность каждого по отношению к данному параметру.

Завершим обзор априорных процедур рассмотрением метода идеальной точки в пространстве критериев [41,42]. Пусть на множестве альтернатив U заданы n целевых функций W₁(u),...,W_n(u).

В пространстве векторных оценок рассмотрим идеальную точку x={x₁,...,x_n}, где x_i=minW_i(u). Если бы точка x принадлежала множеству векторных оценок, т.е. если бы существовала альтернатива u^*О U такая, что W_i(u^*) = x_i, i = 1,...,n) то, очевидно, что u^* была бы лучшей альтернативой. Однако, как правило, этого не происходит, поэтому в качестве наилучшей альтернативы предполагается выбрать такую точку, векторная оценка которой находится ближе всего к идеальной точке x.

Интуитивно такой подход представляется очень привлекательным. Однако он не лишен довольно существенных недостатков. Одни из основных - возникновение проблемы выбора метрики и несоответствие аксиоме независимости.

Как показано выше, ни один из перечисленных выше методов не свободен от недостатков, связанных с желанием упростить задачу и сделать ее однозначной. Однако, как правило, упрощение сложного явления, в принципе не упрощаемого, не может дать верного ответа.

Поэтому, в настоящее время разработан ряд методов, не "уходящих" от сложности проблемы и предпочитающих учитывать все ее стороны. Такие методы основаны на принципе компромисса, то есть принятия взвешенного решения, в котором фигурируют в определенной пропорции все действующие факторы. При этом, в некоторых методах предлагается не однозначный ответ а лишь область разумных (рациональных) решений. Принятие же однозначного решения остается прерогативой лица принимающего решение (ЛПР). Одним из таких методов является весьма распространенный метод Парето, предложенный итальянским математиком-экономистом Парето в 1904 году. Основная идея метода Парето заключается в сохранении множества возможных вариантов и выделении области из которой необходимо выбирать наиболее целесообразные варианты. При этом к области Парето относится только такое множество решений, где с изменением какого-либо из них критерии меняются противоречиво. Поясним более подробно это положение.

Предположим, что принято некоторое решение x^*, которому соответствует значение критерия W_i(x^*) [i=1...n]. Затем в результате исследований (оптимизации) получено другое решение x^**, для которого

" W_i(x^**)і W_i(x^*). (7.8)

Очевидно, что решение x^* целесообразно исключить из рассмотрения. К области Парето относятся только такие решения, для которых не существует такого x^**, чтобы для всех критериев удовлитворялись неравенства (4.).