Универсальное множество и дополнение множества

Методические указания к выполнению лабораторных работ

по курсу: "Основы дискретной математики"

для студентов специальностей 091401, 092401

«Системы управления и автоматика»,

«Телекоммуникационные системы и сети»

 

Рассмотрен на заседании кафедры автоматики и телекоммуникаций.

Протокол № 11

от «22 » октября 2010 р.

 

Утвержден на заседании научно-издательского совета ДонНТУ

Протокол № ___

от «___»___________2010 р.

 

Донецк, ДонНТУ 2010

УДК 681.3.07

 

Методические указания к лабораторным работам по курсу "Основы дискретной математики" для студентов специальностей 091401, 092401 «Системы управления и автоматика», «Телекоммуникационные системы и сети» / доц. Жукова Н.В., ас. Зайцева Э.Е. – Донецк, ДонНТУ. 2010. – 45 с.

Методические указания содержат лабораторные работы по основным разделам курса ОДМ и предназначены для студентов специальностей 091401, 092401 «Системы управления и автоматика», «Телекоммуникационные системы и сети».

 

 

Составитель доц. Жукова Н.В., ас. Зайцева Э.Е.

 

Рецензент доц. Ф-ту КНТ каф. АСУ Светличная В.А.

доц. Ф-ту КИТА каф. ЭТ Тарасюк В.П.

 

Ответственный за выпуск доц. Бессараб В.И.

 

Содержание

 

Лабораторная работа №1.

Множества, операции над множествами…………………...............……………4

Лабораторная работа №2.

Алгебра высказываний……………………………….................….…...................9

Лабораторная работа №3.

Минимизация булевых функций. Логические схемы……..……………………17

Лабораторная работа №4.

Конечные автоматы с памятью..…………………………………………………32

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………………45

 

Лабораторная работа № 1

Тема: «Множества, основные операции над множествами»

Цель: Приобретение практических навыков работы с множествами

1.1. Теоретические сведения [1].

Операции над множествами

Опишем основные способы получения новых множеств из уже имеющихся. Эти способы называются операциями над множествами.

Объединение множеств

Объединением множеств и называется множество, которое обозначается (иногда ) и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству или множеству .

Приведем графическую иллюстрацию операции объединения двух множеств:

Выражение читается: «объединение множества и множества ». Часто операцию объединения двух множеств записывают в виде:

,

который возможно использовать, учитывая, что множество элементов – это множество «всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству или множеству ».

Пересечение множеств

Пересечением множеств и называется множество, которое обозначается (иногда ) и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств и .

Приведем графическую иллюстрацию операции пересечения двух множеств:

Выражение читается: «пересечение множества и множества ».

Часто операцию пересечения двух множеств записывают в виде:

,

который возможно использовать, учитывая, что множество элементов – это множество «всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств и ».

Разность множеств

Рассмотрим операцию над множествами, которая определяется только для двух множеств.

Разностью множеств и называется множество, которое обозначается (иногда ) и состоящее из всех тех и только тех элементов множества , которые не является элементами множества .

Приведем графическую иллюстрацию операции разности двух множеств:

Выражение читается: «разность множества и множества ».

Часто операцию разности двух множеств и записывают в виде:

,

который возможно использовать, учитывая, что множество элементов – это множество «всех тех и только тех элементов множества , которые не являются элементами множества ».

Универсальное множество и дополнение множества

Как правило, при определении конкретного множества явно или неявно (интуитивно) ограничивается собрание допустимых объектов. Например, говоря о слонах, говорят о млекопитающих; говоря о натуральных числах, предполагают задание множества целых или действительных чисел.

Удобно совокупность допустимых объектов зафиксировать и считать, что рассматриваемые множества состоят из элементов этой совокупности. Искомую совокупность называют универсальным множеством или универсумом и обозначают .

В соответствии с этим любое множество будем рассматривать в связи с универсумом, который при графической иллюстрации будем изображать прямоугольником, а множества будем изображать внутри данного прямоугольника.

 

В соответствии с введением множества разность будем называть дополнением множества (до множества ) и обозначать .

Симметрическая разность

Симметрической разностью множеств и называется множество, которое обозначается (иногда ) и определенное следующим образом:

.

Приведем графическую иллюстрацию операции симметрической разности двух множеств:

Пример. Записать с помощью операций над множествами выражение для множества, соответствующего заштрихованной области диаграммы:

► или . ◄

 

Пример. С помощью графической интерпретации изобразить множество , если образовано множествами , и :

.

► Изобразим множества , и на диаграмме Эйлера-Венна, как показано на рисунке ниже.

Множество есть объединение трех множеств, , и . Рассмотрим множество . Его элементами являются элементы множества , которые не принадлежат и не принадлежат . Аналогично, множество состоит из элементов , не принадлежащих или . Элементы множества – есть элементы , не принадлежащие ни , ни , ни . Таким образом, множество на диаграмме Эйлера-Венна имеет вид (заштрихованным областям соответствует серый цвет):

◄

1.2. Задание.

Ниже приведены диаграммы Виенна. Представьте заштрихованную и отдельно незаштрихованную области максимально компактными аналитическими выражениями, в которых бы использовались минимальное количество логических операций и букв. Результаты проверьте по таблицам истинности.

1.3. Контрольные вопросы

1.3.1. Дайте определение конечного множества, элементов множества.

1.3.2. Какие существуют основные способы задания множества?

1.3.3. Какие множества называются равными? Что такое подмножество?

1.3.4. Назовите основные операции над множествами, какой наглядный инструмент используется для иллюстрации операций над множествами?

1.3.5. Докажите свойство если и , то .

1.3.6. Перечислите свойства операций над множествами, докажите , .

1.3.7. Дайте определение прямому (декартовому) произведению множеств;

1.3.8. Записать с помощью операций над множествами выражение для множества, соответствующего закрашенной области диаграммы:

 

 

1.3.9. С помощью графической интерпретации изобразить множество , если образовано множествами , , и :

;

;

;

;

;

.

1.3.10. Доказать тождества

;

;

;

;

;

;

 

Лабораторная работа № 2

Тема: «Алгебра высказываний»

Цель: Приобретение практических навыков работы с алгеброй логики высказываний.

2.1. Теоретические сведения [1].

Таблицы истинности

Каждая формула алгебры обладает свойством превращаться в высказывание при фиксации в ней значений всех высказывательных переменных, т. е. если мы зафиксируем в формуле значения всех высказывательных переменных, то, пользуясь определениями логических операций, мы можем вычислить значение истинности формулы.

Таблица истинности формулы алгебры высказываний содержит столько строк, сколько всевозможных наборов значений истинности переменных можно образовать. Так как каждая высказывательная переменная может принимать только два значения (0 и 1), то в случае переменных таблица истинности содержит строк.

При построении таблицы истинности наборы значений переменных располагают сверху вниз в лексикографическом порядке (каждый набор понимают как двоичную запись неотрицательного целого числа и располагают в порядке возрастания от (000 … 0) до (111 … 1).

Если у вас возникают трудности с использованием двоичной системы счисления, можно применять метод «последовательного половинного деления столбцов» – столбец первой переменной делят пополам и заполняют верхнюю половину нулями, а нижнюю половину – единицами, затем каждую половину второго столбца делят пополам и опять заполняют полученные половины нулями и единицами, и т. д. Затем в соответствии с порядком действий последовательно заполняют столбцы значений подформул, из которых образуется формула. Последним заполняется столбец значений истинности формулы.

Пример. Построить таблицу истинности формулы: .

1. Определить порядок действий в формуле:

.

2. Пользуясь определениями операций –, &, и , заполним таблицу: