ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
«Дискретные и непрерывные случайные величины»
Оглавление
Цель...................................................................................................................................................... 1
Дискретные случайные величины........................................................................................................ 1
Непрерывные случайные величины.................................................................................................... 3
Биноминальное распределение.......................................................................................................... 5
Распределение Пуассона...................................................................................................................... 7
Геометрическое распределение.......................................................................................................... 7
Гипергеометрическое распределение................................................................................................ 9
Нормальное распределение.............................................................................................................. 11
Равномерное распределение............................................................................................................ 13
Показательное распределение.......................................................................................................... 13
Контрольные задания......................................................................................................................... 13
Цель
Целью лабораторной работы №4 является знакомство с возможностями программы Maple для расчеты распределения случайной величины по условию задачи, по нахождению ее числовых характеристик, таких как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение..
Дискретные случайные величины
Определение. Случайной величиной 
называется величина, которая в результате опыта, принимает числовое значение, являющееся случайным событием этого опыта. Множество всех таких значений будем называть множеством возможных значений случайной величины 
Определение. 
называется функцией распределения случайной величины 
.
Свойства функции распределения:
1) 0<= 
<=1;
2) P{ 
<= < 
}= 
- 
;
3) 
<= 
, если 
< 
;
4) 
(- 
)=0, 
(+ )=1.
5) P( = 
) = 
Определение. Рядом (или законом распределения) дискретной случайной величины называют таблицу, в первой строке которой возможные значения , а во второй - соответствующие вероятности 
=P{ = 
}; 
=1.
Характеристиками положения случайной величины являются математическое ожидание, мода и медиана.
Определение. Средним значением, или математическим ожиданием дискретной случайной величины 
называют
M[ ]= 
(1)
Свойства математического ожидания:
1) M[C]=C, где С - const;
2) M[C ]=CM[ ];
3) M[ 
]=M[ ]+M[ 
], где и 
- любые случайные величины;
4) M[ 
]=M[ ] M[ ], если и - независимые случайные величины.
Случайные величины и называются независимыми, если для любых x и y имеет место равенство F(x,y) = 
,т.е. P({ <x, <y})=P({ <x})P({ <y}).
Модой (
) дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.
Начальные и центральные моменты k-го порядка случайной величины определяются соответственно формулами:
=M[ 
] и 
=M[ 
].
Если дискретная случайная величина, то 
= 
, = 
.
Первый начальный момент 
является математическим ожиданием случайной величины
Второй центральный момент 
является дисперсией случайной величины :
D[ ]=M[ 
]= 
(2)
Для вычислений удобна следующая формула:
=M[ 
]- 
.
Свойства дисперсии:
1) D[C]=0, где C-const;
2) D[C ]= 
D[ ];
3) если и - независимые случайные величины, то D[ + ]=D[ ]+D[ ].
Непрерывные случайные величины
Пусть - непрерывная случайная величина и ее функция распределения 
непрерывна на множестве действительных чисел.
Определение. Плотностью вероятности назовем функцию 
= 
Свойства плотности вероятности:
1) 
>=0;
2) 
=1;
3) 
= 
4) P{ 
< < 
}= 
Непрерывная случайная величина задается либо функцией распределения 
, либо плотностью вероятности 
. Заметим, что функцию 
называют еще плотностью распределения случайной величины .
Определение. Средним значением, или математическим ожиданием непрерывной случайной величины называют число
M[ ]= 
, причем предполагается, что интеграл сходятся абсолютно.
Определение. Дисперсией случайной величины называется число
D[ ]=M[ 
]
Для непрерывной случайной величины дисперсию можно найти по формуле
D[ ]= 
, причем предполагается, что интеграл сходятся абсолютно.
Начальные и центральные моменты k-го порядка случайной величины определяются соответственно формулами:
=M[ 
] и =M[ 
].
Если непрерывная случайная величина, то
= 
= 
Первый начальный момент является математическим ожиданием случайной величины
Второй центральный момент является дисперсией случайной величины :
Заметим, что размерность величин 
и 
совпадает с размерностью самой случайной величины , а размерность 
равна квадрату размерности .