ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
«Дискретные и непрерывные случайные величины»
Оглавление
Цель...................................................................................................................................................... 1
Дискретные случайные величины........................................................................................................ 1
Непрерывные случайные величины.................................................................................................... 3
Биноминальное распределение.......................................................................................................... 5
Распределение Пуассона...................................................................................................................... 7
Геометрическое распределение.......................................................................................................... 7
Гипергеометрическое распределение................................................................................................ 9
Нормальное распределение.............................................................................................................. 11
Равномерное распределение............................................................................................................ 13
Показательное распределение.......................................................................................................... 13
Контрольные задания......................................................................................................................... 13
Цель
Целью лабораторной работы №4 является знакомство с возможностями программы Maple для расчеты распределения случайной величины по условию задачи, по нахождению ее числовых характеристик, таких как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение..
Дискретные случайные величины
Определение. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта, принимает числовое значение, являющееся случайным событием этого опыта. Множество всех таких значений будем называть множеством возможных значений случайной величины
Определение. называется функцией распределения случайной величины .
Свойства функции распределения:
1) 0<= <=1;
2) P{ <= < }= - ;
3) <= , если < ;
4) (- )=0, (+ )=1.
5) P( = ) =
Определение. Рядом (или законом распределения) дискретной случайной величины называют таблицу, в первой строке которой возможные значения , а во второй - соответствующие вероятности =P{ = }; =1.
Характеристиками положения случайной величины являются математическое ожидание, мода и медиана.
Определение. Средним значением, или математическим ожиданием дискретной случайной величины называют
M[ ]= (1)
Свойства математического ожидания:
1) M[C]=C, где С - const;
2) M[C ]=CM[ ];
3) M[ ]=M[ ]+M[ ], где и - любые случайные величины;
4) M[ ]=M[ ] M[ ], если и - независимые случайные величины.
Случайные величины и называются независимыми, если для любых x и y имеет место равенство F(x,y) = ,т.е. P({ <x, <y})=P({ <x})P({ <y}).
Модой () дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.
Начальные и центральные моменты k-го порядка случайной величины определяются соответственно формулами:
=M[ ] и =M[ ].
Если дискретная случайная величина, то = , = .
Первый начальный момент является математическим ожиданием случайной величины
Второй центральный момент является дисперсией случайной величины :
D[ ]=M[ ]= (2)
Для вычислений удобна следующая формула:
=M[ ]- .
Свойства дисперсии:
1) D[C]=0, где C-const;
2) D[C ]= D[ ];
3) если и - независимые случайные величины, то D[ + ]=D[ ]+D[ ].
Непрерывные случайные величины
Пусть - непрерывная случайная величина и ее функция распределения непрерывна на множестве действительных чисел.
Определение. Плотностью вероятности назовем функцию =
Свойства плотности вероятности:
1) >=0;
2) =1;
3) =
4) P{ < < }=
Непрерывная случайная величина задается либо функцией распределения , либо плотностью вероятности . Заметим, что функцию называют еще плотностью распределения случайной величины .
Определение. Средним значением, или математическим ожиданием непрерывной случайной величины называют число
M[ ]= , причем предполагается, что интеграл сходятся абсолютно.
Определение. Дисперсией случайной величины называется число
D[ ]=M[ ]
Для непрерывной случайной величины дисперсию можно найти по формуле
D[ ]= , причем предполагается, что интеграл сходятся абсолютно.
Начальные и центральные моменты k-го порядка случайной величины определяются соответственно формулами:
=M[ ] и =M[ ].
Если непрерывная случайная величина, то
= =
Первый начальный момент является математическим ожиданием случайной величины
Второй центральный момент является дисперсией случайной величины :
Заметим, что размерность величин и совпадает с размерностью самой случайной величины , а размерность равна квадрату размерности .