Экспоненциальным распределением называется частный случай гамма-распределения с параметрами
a=1; b=λ>0a=1; b=λ>0
, то есть то есть плотность вероятности в этом случае
f(x)={0,λe−λx,x⩽0;x>0.f(x)={0,x⩽0;λe−λx,x>0.
Используя свойства два плотности распределения ([url]см.[/url]), можно найти функцию распределения
F(x)F(x)
экспоненциального закона:
F(x)={0,1−e−λx,x<0;x⩾0.F(x)={0,x<0;1−e−λx,x⩾0.
Основные характеристики (математическое ожидание и дисперсия) случайной величины
XX
, распределённой по экспоненциальному, имеют вид
M(X)=1λ; D[X]=1λ2.M(X)=1λ; D[X]=1λ2.
Характеристическая функция экспоненциального распределения задаётся формулой
g(s)=λλ−is.g(s)=λλ−is.
Кривая экспоненциального распределения вероятностей показана на рис. 21,а, а график функции распределения
F(x)F(x)
— на рис. 21,б.
Статистический смысл параметра
λλ
состоит в следующем:
λλ
есть среднее число событий на единицу времени, то есть
1λ1λ
есть средний промежуток времени между двумя последовательными событиями.
Экспоненциальное (показательное) распределение часто встречается в теории массового обслуживания (например,
XX
— время ожидания при техническом обслуживании или
XX
— продолжительность телефонных разговоров, ежедневно регистрируемых на телефонной станции) и теории надёжности (например,
XX
— срок службы радиоэлектронной аппаратуры).
Пример 2. Случайная величина
XX
— время работы радиолампы — имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампы будет не меньше 600 ч, если среднее время работы радиолампы 400 ч.
Решение. По условию задачи математическое ожидание случайной величины
XX
равно 400 ч, следовательно,
λ=1400λ=1400
. Искомая вероятность есть
P{X⩾600}=1−P{X<600}=1−F(600)=1−(1−exp−600400)=e−1.5≈0,2231.
Определение
Функция распределения случайной величины 
- это числовая функция, которая имеет вид:
, 
.
Обозначение 
используется для того, чтобы подчеркнуть, о какой случайной величине идет речь; если это ясно из контекста, то часто индекс опускают и обозначают функцию распределения просто 
Свойства
Функция распределения определена на всей числовой оси и обладает следующими свойствами, вытекающими из свойств вероятностной меры:
1. 
2. 
, 
.
3. Функция распределения является неубывающей: если 
, то 
4. Функция распределения непрерывна слева: 
для любого 
.
Примечание. Последнее свойство обозначает, какие значения принимает функция распределения в точках разрыва. Иногда определение функции распределения формулируют с использованием нестрогого неравенства: 
. В этом случае непрерывность слева заменяется на непрерывность справа: 
при 
. Никакие содержательные свойства функции распределения при этом не меняются, поэтому данный вопрос является лишь терминологическим.
Свойства 1-4 являются характеристическими, т.е. любая функция , удовлетворяющая этим свойствам, является функцией распределения некоторой случайной величины.
Функция распределения задает распределение вероятностей случайной величины однозначно. Фактически, она является универсальным и наиболее наглядным способом описания этого распределения.
Чем сильнее функция распределения растет на заданном интервале числовой оси, тем выше вероятность попадания случайной величины в этот интервал. Если вероятность попадания в интервал равна нулю, то функция распределения на нем постоянна.
В частности, вероятность того, что случайная величина примет заданное значение 
, равна скачку функции распределения в данной точке:
.
Если функция распределения непрерывна в точке , то вероятность принять данное значение для случайной величины равна нулю. В частности, если функция распределения непрерывна на всей числовой оси (при этом и соответствующее распределение называется непрерывным), то вероятность принять любое заданное значение равна нулю.
Из определения функции распределения вытекает, что вероятность попадания случайной величины в интервал, замкнутый слева и открытый справа, равна:
С помощью данной формулы и указанного выше способа нахождения вероятности попадания в любую заданную точку, легко определяются вероятности попадания случайной величины в интервалы других типов: 
, 
и 
. Далее, по теореме о продолжении меры, можно однозначно продолжить меру на все борелевские множества числовой прямой 
. Для того, чтобы применить эту теорему, требуется показать, что таким образом определенная на интервалах мера является на них сигма-аддитивной; при доказательстве этого в точности используются свойства 1-4 (в частности, свойство непрерывности слева 4, поэтому отбросить его нельзя).