Фазовое пространство. Функция распределения.

5.1. Фазовое пространство.

 

Пусть состояние некоторой макроскопической механической системы в данный момент определяется значениями координат и соответствующих им импульсов (выбор импульсов, а не скоростей дает ряд весьма существенных преимуществ), где индекс пробегает значения . Говорят, что такая система обладает степенями свободы.

Числом степеней свободы механической системы называется количество независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы.

Каждой изменяющейся во времени независимой величине, описывающей поведение макроскопической системы, может быть сопоставлена своя координатная ось. Очевидно, что пространство макроскопической механической системы с степенями свободы будет многомерным.

Многомерное пространство, осями которого служат все координаты (обобщенные координаты) и импульсы () механической системы с степенями свободы, называется фазовым пространством.

Различные состояния системы можно представить точками в фазовом пространстве, являющемся, конечно, чисто математической абстракцией. Всякая точка фазового пространства, соответствуя определенным значениям координат системы и её импульсов , представляет определенное состояние этой системы. С течением времени состояние системы изменяется, и, соответственно, изображающая состояние системы точка фазового пространства (фазовая точка системы) будет описывать в нем некоторую линию, называемую фазовой траекторией.

 

Каждая система имеет свое собственное фазовое пространство, число измерений которого равно удвоенному числу её степеней свободы. Например, для описания подсистемы, состоящей из одной частицы (молекулы) вводят 6-ти мерное пространство её координат и импульсов: . Таким образом, эти шесть величин задают положение частицы и ее состояние.

 

Если система состоит из 2-х молекул, то их состояние задается величинами, т.е. для такой подсистемы мы уже имеем 12-ти мерное фазовое пространство.

Итак, каждая система имеет свое фазовое пространство.

Вероятность реализации различных состояний системы есть функция координат и импульсов этой системы. Поскольку координаты и импульсы частиц системы меняются непрерывным образом, то фазовые точки, соответствующие изменению координат от до и импульсов в пределах от а до , лежат в бесконечно малом элементе фазового пространства (фазовом объеме) (произведение координатной и импульсной частей объема).

Например, для одной частицы элемент фазового объема равен .

Для системы, состоящей из частиц соответствующий элементарный фазовый объем:

. (5.1)

Найдем вероятность реализации состояний, изображаемых фазовыми точками этого элемента фазового пространства, т.е. вероятность того, что координаты и импульсы частиц системы имеют значения, лежащие в заданных бесконечно малых интервалах и , соответственно.

Рассмотрим эту задачу применительно к идеальному газу.

Если пространство, в занимаемом газом объеме однородно и изотропно, то вероятность нахождения частицы в малом объеме , принадлежащем объему , в силу равновероятности нахождения частицы в любой точке пространства, определяется как , где - координатная часть элемента фазового пространства, - весь объем.

 

Если условие однородности и изотропности пространства не

выполняется, то и в этом случае вероятность обнаружения частицы в

малом объеме пропорциональна величине интересующего нас

объема. В случае бесконечно малых приращений для координатной

части фазового пространства вероятность .

 

 

Вероятность обнаружения частицы в заданном интервале значений импульса также будет пропорциональна объему элемента фазового пространстве импульсов. Однако необходимо помнить, что энергия замкнутой системы постоянна

, (5.2)

и это условие накладывает ограничения на возможные значения

импульсов молекул: молекул с очень малыми или очень большими

значениями импульсов в газе немного. Это означает, что в элементы

фазового пространства импульсов, показанные на рисунке, попадет

различное количество молекул, т.е. вероятность попадания молекул в

элемент зависит от того, в какой точке пространства импульсов

этот элемент выбран.

Итак, вероятность обнаружения частицы с заданным набором координат и импульсов пропорциональна фазовому объему . Поэтому искомую вероятность можно записать как

, (5.3)

где функцию , имеющую смысл плотности вероятности в фазовом пространстве, называют функцией статистического распределения (или функцией распределения) данной системы.

Такое определение вероятности справедливо для любой квазизамкнутой системы.

Таким образом, наша задача теперь сводится к нахождению функции распределения .

 

5.2. Свойства функции распределения.

 

Рассмотрим основные свойства функции распределения.

1) Функция распределения должна удовлетворять условию нормировки:

, (5.4)

где интегрирование ведется по всему фазовому объему.

2) Среднее значение физической величины.

Если нас интересует некоторая физическая величина , то её среднее значение мы находим как

. (5.5)

3) Свойство стационарности.

Предположим, что мы наблюдаем некоторую подсистему в течение весьма длительного промежутка времени. Разобьем этот промежуток времени на очень большое (в пределе бесконечное) количество одинаковых малых интервалов, разделенных моментами времени . В каждый из этих моментов рассматриваемая подсистема изображается в её фазовом пространстве точками, скажем . Совокупность полученных точек распределится в фазовом пространстве с плотностью (количество фазовых точек в каждой единице объема этого пространства), пропорциональной значению функции распределения , определяющей вероятности различных состояний подсистемы.

Однако вместо того, чтобы рассматривать точки, изображающие состояние одной подсистемы в различные моменты времени , можно формально ввести в рассмотрение очень большое число (в пределе бесконечное – столько подсистем, сколько моментов времени ) совершенно одинаковых подсистем, находящихся в некоторый момент времени в состояниях

Т.е., вместо того, чтобы рассматривать состояние одной и той же подсистемы в разные моменты времени, можно рассматривать совокупность одинаковых подсистем (статистический ансамбль), находящихся одновременно в разных состояниях, фазовые точки которых распределены в фазовом пространстве сообразно с функцией распределения .

Будем теперь следить за дальнейшим передвижением фазовых точек, изображающих состояния этих подсистем, в течение не слишком большого промежутка времени – такого, чтобы квазизамкнутую подсистему можно было с достаточной точностью рассматривать как замкнутую.

Передвижение фазовых точек будет происходить согласно уравнениям механики, содержащим координаты и импульсы частиц подсистемы.

По истечении времени состояния всех одновременно рассматриваемых подсистем изменятся в соответствии с законами механики, совпав при этом с состояниями исходной подсистемы в моменты , …, и поэтому будут изображены в фазовом пространстве точками, распределенными с той же плотностью . Т.е. обе совокупности точек подчиняются одной и той же функции распределения. Это свойство квазизамкнутых систем называется свойством стационарности статистического распределения.

 

Прийти к выводу о стационарности статистического распределения, т.е. независимости функции распределения от времени, можно также следующим образом.

Чисто формально это передвижение фазовых точек можно рассматривать как стационарное течение несжимаемой жидкости в мерном фазовом пространстве и. соответственно, применить к нему уравнение непрерывности, выражающее неизменность общего числа частиц (здесь – фазовых точек) жидкости.

Уравнение непрерывности имеет вид:

. (5.6)

Уравнение (5.6) определяет баланс вещества внутри кубика объемом в окрестности точки в момент времени , т.е. рассматривается приход и уход вещества через каждую пару параллельных граней кубика.

Если рассматривать таким же образом движущиеся фазовые точки в мерном пространстве, то можно аналогично записать

, (5.7)

, но

поэтому

, (5.8)

где скорость изменения плотности вблизи движущейся фазовой точки, а символ мерной дивергенции.

С помощью несложных формальных преобразований (оставим их для курса теоретической физики) доказывается, что в нашем случае

, (5.9), т.е. в рассматриваемом нами фазовом пространстве отсутствуют источники или стоки, где “рождаются” или исчезают фазовые точки. Тогда

,

т.е. плотность в изображающей точке, движущейся вдоль фазовой траектории, остается постоянной

.

Т.о., изображающие точки движутся в фазовом пространстве как несжимаемая жидкость.

Отсюда следует, что объем , содержащий заданное число членов ансамбля , при их движении остается постоянным, хотя его форма, вообще говоря, меняется. Последнее утверждение остается справедливым и для конечного объема фазового пространства, содержащего заданное число членов ансамбля.

Сформулированные выше эквивалентные утверждения составляют содержание теоремы Лиувилля.

 

Теорема Лиувилля (J.Liouville, 1838): всякий объем фазового пространства при своем движении соответственно изменению состояния системы остается по величине неизменным.

 

 

Т.о.,

, (5.10)

и здесь интегрирование относится к той движущейся области фазового пространства, которую занимают точки первоначально выбранной области. Другими словами, если в начальный момент времени фазовые точки со значениями координат и импульсов непрерывно заполняли некоторую область в фазовом пространстве, а с течением времени перешли в другую область этого пространства, то, согласно теореме Лиувилля, соответствующие фазовые объемы ( -мерные интегралы, где число степеней свободы системы) равны между собой:

. (5.11)

Но , поэтому из теоремы Лиувилля непосредственно следует, что функция распределения должна выражаться лишь через такие комбинации переменных , которые при движении замкнутой подсистемы остаются постоянными.

Этому условию удовлетворяют механические инварианты, т.е. величины, не зависящие от времени, или интегралы движения.

Тогда можно сказать, что функция распределения , являясь функцией механических инвариантов, сама есть интеграл движения.

Если учесть, что распределение для совокупности двух подсистем согласно теореме об умножении вероятностей равно произведению функций распределения и этих подсистем в отдельности: , то аддитивным интегралом движения должен быть логарифм функции распределения

,

который выражается через, опять-таки, аддитивные механические инварианты.

Такие интегралы движения хорошо известны – это энергия, три компоненты вектора импульса и три компоненты момент импульса.

Т.о., значения аддитивных интегралов движения – энергии, импульса и момента импульса – полностью определяют статистические свойства замкнутой системы, т.е. статистические распределения любых её подсистем и средние значения физических величин.

Заметим, что импульс и момент импульса замкнутой системы связаны с её движением как целого: равномерным поступательным движением и равномерным вращением. Если представить систему, заключенной в твердый «ящик» (газ в сосуде) и использовать систему координат, в которой «ящик» покоится, то импульс и момент импульса системы можно вообще исключить из рассмотрения.

Тогда единственным аддитивным интегралом движения остается энергия, причем наличие «ящика» на статистических свойствах подсистем не скажется. Поэтому можно сказать, что статистическое состояние системы, совершающей заданное движение, зависит только от её энергии.

Благодаря этому энергия приобретает в статистике совершенно исключительное значение.

Т.о., для любой квазизамкнутой системы функция распределения , описывающая статистическое состояние системы, зависит только от энергии.

Для одной молекулы можно записать

. (5.12)

Энергия молекулы идеального газа:

.

В общем случае это полная энергия квазизамкнутой системы, включающая поступательную, вращательную и колебательные энергии, а также потенциальную энергию.