Процессы «рождения-гибели»

Среди однородных марковских процессов существует класс случайных процессов, имеющих широкое применение при построении математических моделей в областях демографии, биологии, медицины (эпидемиологии), экономике, коммерческой деятельности. Это так называемые процессы рождения-гибели, марковские процессы со стохастическими графами состояний следующего вида:

Рис. 3.3. Размеченный граф процесса "рождения-гибели"

Этот граф воспроизводит известную биологическую интерпретацию: величина отображает интенсивность рождения нового представителя некоторой популяции, например, кроликов, причем текущий объем популяции равен ; величина является интенсивностью гибели (продажи) одного представителя этой популяции, если текущий объем популяции равен . В частности, популяция может быть неограниченной (число состояний марковского процесса является бесконечным, но счетным), интенсивность может быть равна нулю (популяция без возможности возрождения), например при прекращении воспроизводства кроликов.

Для марковского процесса рождения-гибели, описанного стохастическим графом, приведенным на рис. 3.3, найдем финальное распределение. Пользуясь правилами составления уравнений для конечного числа предельных вероятностей состояния системы , , ,…,,…,, составим соответствующие уравнения для каждого состояния:

для состояния ;

для состояния , которое с учетом предыдущего уравнения для состояния можно преобразовать к виду.

Аналогично можно составить уравнения для остальных состояний системы , ,…,,…,. В результате получим следующую систему уравнений:

Решая эту систему уравнений, можно получить выражения, определяющие финальные состояния системы массового обслуживания:

Следует заметить, что в формулы определения финальных вероятностей состояний, , ,…, , входят слагаемые, являющиеся составной частью суммы выражения, определяющей . В числителях этих слагаемых находятся произведения всех интенсивностей стоящих у стрелок графа состояний, ведущих слева направо до рассматриваемого состояния , а знаменатели представляют собой произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево до рассматриваемого состояния , т.е. , , , ,…, . В связи с этим запишем эти модели в более компактном виде:

Рассмотрим применение полученных моделей для анализа системы массового обслуживания.

Пример 1. Узел расчета мини-маркета состоит из двух кассовых аппаратов, размеченный граф состояний которого имеет вид, изображенный на рис. 3.4.

- состояние, когда обе кассы свободны;

- одна касса занята (любая из двух);

- обе кассы замяты.

Рис. 3.4. Размеченный граф состояний СМО

Найдем предельные вероятности , , при следующих исходных данных:

Составим систему алгебраических уравнений для вероятностей переходов:

В результате решения этой системы получаем значения- предельных вероятностей: ; ; . Следовательно, доля времени простоя узла расчета, когда нет заявок, составляет 20,4% от всего рабочего времени, 34,1 и 45,5% - от всего времени работы в системе обслуживания находятся соответственно одна и две заявки. Рассмотренный граф является частным случаем непрерывной марковской цепи - так называемой "цепи размножения-гибели". Этот граф представляет собой одну цепочку, в которой каждое из состояний связано прямой и обратной связью с соседними состояниями. Во многих случаях задачи массового обслуживания могут быть решены путем построения и анализа соответствующей цепи «рождения-гибели».