Проведем анализ простой одноканальной СМО с отказами в обслуживании, на которую поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью 
, а обслуживание происходит под действием пуассоновского потока с интенсивностью 
. Работу одноканальной СМО 
можно представить в виде размеченного графа состояний рис. 6.1.
- канал обслуживания свободен; 
- канал занят обслуживанием.
Рис. 6.1. Размеченный граф состояний одноканальной СМО
Переходы СМО из одного состояния в другое 
происходят под действием входного потока заявок с интенсивностью , а обратный переход - под действием потока обслуживания с интенсивностью .
Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояния по изложенным выше правилам:
Откуда получим дифференциальное уравнение для определения вероятности 
состояния 
:
Это уравнение можно решить при начальных условиях в предположении, что система в момент 
находилась в состоянии , тогда 
, 
. В этом случае решение дифференциального уравнения позволяет определить вероятность того, что канал свободен и не занят обслуживанием:
Тогда нетрудно получить выражение для определения вероятности занятости канала:
Вероятность 
уменьшается с течением времени и в пределе при 
стремится к величине
а вероятность 
в то же время увеличивается от 0, стремясь в пределе при к величине
Эти пределы вероятностей могут быть получены непосредственно из уравнений Колмогорова при условии
Функции 
и 
определяют переходный процесс в одноканальной СМО и описывают процесс экспоненциального приближения СМО к своему предельному состоянию с постоянной времени 
, характерной для рассматриваемой системы. С достаточной для практики точностью можно считать, что переходный процесс в СМО заканчивается в течение времени, равного 
.
Вероятность определяет относительную пропускную способность СМО, которая определяет долю обслуживаемых заявок по отношению к полному числу поступающих заявок, в единицу времени. Действительно, 
есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент 
, будет принята к обслуживанию. Всего в единицу времени приходит в среднем заявок и из них обслуживается 
заявок. Тогда доля обслуживаемых заявок по отношению ко всему потоку заявок определяется величиной
В пределе при практически уже при 
значение
относительной пропускной способности будет равно 
Абсолютная пропускная способность, определяющая число заявок, обслуживаемых в единицу времени в пределе при 
, равна:
Соответственно доля заявок, получивших отказ, составляет в этих же предельных условиях
а общее число необслуженных заявок равно 
Примерами одноканальных СМО с отказами в обслуживании являются: стол заказов в магазине, диспетчерская автотранспортного предприятия, контора склада, офис управления коммерческой фирмы, с которыми устанавливается связь по телефону.
Пример 1. Статистическими исследованиями в результате наблюдения установлено, что интенсивность потока телефонных звонков коммерческому директору 
вызова в минуту, средняя продолжительность разговора (обслуживания заявки) 
мин и все потоки событий (вызовов и обслуживания) имеют характер простейших пуассоновских потоков.
Определим предельную (относительную и абсолютную) пропускную способность СМО, вероятность отказа, а также полное число обслуженных и необслуженных (получивших отказ) заявок в течение 1 ч работы СМО. Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, т.е. с пропускной, способностью, которой обладала бы система в том случае, если бы каждая заявка обслуживалась ровно 2,5 мин и все заявки следовали бы одна за другой без перерыва.
Решение.
Размеченный граф состояний этой СМО приведен на рис. 6.1. Целевая функция может быть записана в общем виде следующим образом:
Определяем:
интенсивность потока обслуживания (заявок в минуту) -
Следует заметить, что постоянная времени 
мин, тогда переходный процесс в СМО завершается через 
мин;
относительную пропускную способность или вероятность того, что канал свободен —
абсолютную пропускную способность
(заявки в минуту);
вероятность занятости канала -
Число заявок, обслуженных в течение часа, составляет: 
заявок, а получивших отказ - 
заявки.
В этих же условиях номинальная производительность равна 
заявкам в час, т.е. фактическая производительность, учитывающая случайный характер процесса, происходящего в СМО, составляет только 75%=18:24*100% от номинальной. Таким образом, СМО может обслуживать только 25% всех поступивших заявок. Очевидно, что работу такой СМО вряд ли можно считать удовлетворительной. Что же нужно сделать, чтобы повысить относительную пропускную способность одноканальной СМО. Этого можно добиться либо снижением интенсивности потока заявок , что по условию невозможно, либо увеличением интенсивности обслуживания , либо увеличением каналов обслуживания. При этом уменьшится отношение фактической производительности СМО к номинальной 
, что можно записать так:
что свидетельствует о том, что это есть величина 
.
Из приведенных выражений видно, что с ростом производительности канала обслуживания относительная пропускная способность СМО довольно медленно приближается к 100%. При этом величина уменьшается, стремясь к 0. Это значит, что влияние случайного процесса в СМО увеличивается с ростом отношения 
. Действительно, из интуитивных соображений, казалось бы, превышение интенсивности обслуживания над интенсивностью поступления заявок, например, в три раза должно приводить к полному обслуживанию всех поступающих заявок. Практически необслуженными все еще будут оставаться в среднем 25% из числа поступивших заявок. Соответственно фактическая производительность СМО составляет только 25% от номинальной. Все это есть прямое следствие вероятностного характера протекающего в СМО процесса.
Пример 2. В Одессе на Дерибасовской, угол Ришельевской, сидит сапожник и выполняет заказы по ремонту обуви. В среднем он выполняет заказ в течение 30 мин. Рядом с сапожником расположено одно кресло, в котором заказчик ожидает выполнение заказа. Сапожник не имеет постоянных заказчиков, и клиенты приходят к нему независимо друг от друга в среднем каждые 40 мин. Клиенты - народ нетерпеливый, поэтому в случае занятости сапожника они уходят к другому.
Определим долю потери клиентов, долю времени простоя и отношение - «заработанные деньги / потерянные деньги», если средняя стоимость ремонта составляет 55 руб.
Решение.
Одноканальная СМО (см. рис. 6.1) может находиться в одном из двух возможных состояний: 
- свободен, 
- занят, вероятности состояний которых обозначим соответственно 
и 
. Очевидно, для любого момента времени справедливо записать:
Из состояния в систему переводит поток заявок с интенсивностью 
, а обратно из состояния в поток обслуживания с интенсивностью 
.
Система дифференциальных уравнений Колмогорова может быть записана следующим образом:
Составим систему уравнений для финальных вероятностей:
Решая эту систему, находим среднюю долю обслуживаемых заявок 
, следовательно, 57% клиентов из числа поступивших будут обслужены.
Средняя доля необслуженных клиентов составляет 
, следовательно, 43% клиентов из числа поступивших получат отказ.
Средний доход, получаемый сапожником от обслуживания клиентов, определяется умножением среднего количества обслуженных клиентов ( 
) от общего числа поступивших 
на величину средней стоимости ремонта 55 руб., а средняя величина потерянного дохода определяется умножением среднего числа необслуженных клиентов ( 
) на величину средней стоимости ремонта. На этом основании отношение «заработанные деньги/потерянные деньги» для сапожника равно:
следовательно, это выражение не зависит от величины средней стоимости ремонта и равно:
Обратная величина, определяющая отношение «потерянные деньги/ заработанные деньги» равна:
что свидетельствует о том, что потери составляют ощутимую долю.
Многоканальная СМО