Рассмотрим многоканальную СМО ( 
), на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью 
, a интенсивность обслуживания каждого канала составляет 
, максимально возможное число мест в очереди ограничено величиной 
. Дискретные состояния СМО определяются количеством заявок, поступивших в систему, которые можно записать.
Пока СМО находится в любом из этих состояний - очереди нет. После того как заняты все каналы обслуживания, последующие заявки образуют очередь, тем самым определяя дальнейшее состояние системы:
Граф состояний 
-канальной СМО с очередью, ограниченной местами, представлен на рис. 6.6.
Рис. 6.6. Граф состояний -канальной СМО
с ограничением на длину очереди
Переход СМО в состояние с большими номерами определяется потоком поступающих заявок с интенсивностью , тогда как по условию в обслуживании этих заявок принимают участие одинаковых каналов с интенсивностью потока обслуживания равного для каждого канала. При этом полная интенсивность потока обслуживания возрастает с подключением новых каналов вплоть до такого состояния 
, когда все каналов окажутся занятыми. С появлением очереди интенсивность обслуживания более не увеличивается, так как она уже достигла максимального значения, равного 
.
Запишем выражения для предельных вероятностей состояний:
Выражение для 
можно преобразовать, используя формулу геометрической прогрессии для суммы членов со знаменателем 
:
Образование очереди возможно, когда вновь поступившая заявка застанет в системе не менее требований, т.е. когда в системе будет находиться , 
, 
,…, 
требований. Эти события независимы, поэтому вероятность того, что все каналы заняты, равна сумме соответствующих вероятностей 
, 
, 
, …, 
. Поэтому вероятность образования очереди равна:
Вероятность отказа в обслуживании наступает тогда, когда все каналов и все мест в очереди заняты:
Относительная пропускная способность будет равна:
абсолютная пропускная способность -
среднее число занятых каналов -
среднее число простаивающих каналов -
коэффициент занятости (использования) каналов -
коэффициент простоя каналов -
среднее число заявок, находящихся в очередях, -
в случае, если 
эта формула принимает другой вид -
среднее время ожидания в очереди определяется выражениями, называемыми формулами Литтла -
Среднее время пребывания заявки в СМО, как и для одноканальной СМО, больше среднего времени ожидания в очереди на среднее время обслуживания, равное 
, поскольку заявка всегда обслуживается только одним каналом:
Пример 1. В мини-маркет поступает поток покупателей с интенсивностью 6 покупателей в 1 мин, которых обслуживают три контролера-кассира с интенсивностью 2 покупателя в 1 мин. Длина очереди ограничена 5 покупателями. Определим характеристики СМО и дадим оценку ее работы.
Решение.
находим предельные вероятности состояний СМО:
доля времени простоя контролеров-кассиров -
вероятность того, что занят обслуживанием только один канал-
вероятность того, что заняты обслуживанием два канала -
вероятность того, что заняты обслуживанием все три канала -
вероятность того, что заняты обслуживанием все три канала и пять мест в очереди -
Очевидно, что 
. Вероятность отказа наступает при 
и составляет 
.
Относительная и абсолютная пропускные способности СМО соответственно равны 
и 
(покупателя в 1 мин).
Среднее число занятых каналов и средняя длина очереди равны:
Среднее время ожидания в очереди и пребывания в СМО соответственно равно: 
мин, 
мин.
Таким образом, увеличение числа касс с трех до четырех позволяет существенно улучшить эффективность работы СМО: отказа в обслуживании не получает ни один покупатель, уменьшаются средняя длина очереди и среднее время пребывания покупателей в СМО.
Пример 2. На плодоовощную базу в среднем через 30 мин прибывают автомашины с плодоовощной продукцией. Среднее время разгрузки одной машины составляет 1,5 ч. Разгрузку производят две бригады грузчиков. На территории базы у дебаркадера могут находиться в очереди в ожидании разгрузки не более 4 автомашин. Определим показатели и дадим оценку работы СМО.
Решение.
СМО двухканальная, 
с ограниченным числом мест в очереди 
, интенсивность входящего потока 
авт/ч, интенсивность обслуживания 
авт/ч, интенсивность нагрузки 
, 
.
Определяем характеристики СМО:
вероятность того, что все бригады не загружены, когда нет автомашин -
вероятность отказа, когда под разгрузкой два автомобиля, а в очереди четыре автомобиля -
относительная пропускная способность или вероятность обслуживания -
абсолютная пропускная способность -
среднее число занятых бригад -
коэффициент занятости работой бригад грузчиков -
среднее число автомашин в очереди -
Доля времени простоя грузчиков очень мала и составляет всего 1,58% рабочего времени, а вероятность отказа велика: 36% заявок из числа поступивших получают отказ в разгрузке, обе бригады практически заняты полностью, коэффициент занятости близок к единице и равен 0,96, относительная пропускная способность мала - всего 64% из числа поступивших заявок будут обслужены, средняя длина очереди 2,6 автомашины, следовательно, СМО не справляется с выполнением заявок на обслуживание и необходимо увеличить число бригад грузчиков и шире использовать возможности дебаркадера.
Пример 3. Коммерческая фирма получает по кольцевому завозу ранние овощи из теплиц пригородного совхоза в случайные моменты времени с интенсивностью 6 единиц в день. Подсобные помещения, оборудование и трудовые ресурсы позволяют обработать и хранить продукцию в объеме двух единиц. На фирме работают 4 человека, каждый из которых в среднем может обработать продукцию одного завоза в течение 4 ч. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 ч. Какова должна быть емкость складского помещения, чтобы полная обработка продукции была бы не менее 97% из числа осуществляемых поставок?
Решение.
Решим задачу путем последовательного определения показателей СМО для различных значений емкости складского помещения 
и т.д. и сравнения на каждом этапе расчетов вероятности обслуживания с заданной величиной 
.
Определяем интенсивность нагрузки:
Находим вероятность или долю времени простоя для
Вероятность отказа в обслуживании, или доля потерянных заявок, -
Вероятность обслуживания, или доля обслуженных заявок из числа поступивших, составляет:
Поскольку полученная величина меньше заданной величины 0,97, то продолжаем вычисления для 
. Для этой величины показатели состояний СМО имеют значения:
Вероятность обслуживания и в этом случае меньше заданной величины, поэтому продолжаем вычисления для следующего , для которого показатели состояния имеют такие значения: 
; 
; 
. Теперь полученная величина вероятности обслуживания удовлетворяет условию задачи, поскольку 0,972 > 0,97, следовательно, емкость складского помещения необходимо увеличить до объема 4 единиц.
Для достижения заданной вероятности обслуживания можно подобрать таким же образом оптимальное количество человек на обработке овощей, проводя последовательно вычисления показателей СМО для 
и т.д. Компромиссный вариант решения можно найти путем сравнения и сопоставления для разных вариантов организаций СМО затрат, связанных как с увеличением числа работающих, так и созданием специального технологического оборудования по обработке овощей на коммерческом предприятии.
Такими образом, модели массового обслуживания в сочетании с экономическими методами постановки задач позволяют проводить анализ существующих СМО, разрабатывать рекомендации по их реорганизации для повышения эффективности работы, а также определять оптимальные показатели вновь создаваемых СМО.
Пример 4. На автомойку в среднем за час приезжают 9 автомобилей, но если в очереди уже находятся 4 автомобиля, вновь подъезжающие клиенты, как правило, не встают в очередь, а проезжают мимо. Среднее время мойки автомобиля составляет 20 мин, а мест для мойки всего два. Средняя стоимость мойки автомобиля составляет 70 руб. Определите среднюю величину потери выручки автомойки в течение дня.
Решение.
Находим интенсивность нагрузки:
Определяем долю времени простоя автомойки:
вероятность отказа -
Относительная пропускная способность равна:
Абсолютная пропускная способность:
Среднее число автомобилей в очереди:
Среднее число заявок, находящихся в обслуживании:
Среднее время ожидания в очереди:
Среднее время пребывания автомашины на мойке:
Таким образом, из числа поступивших заявок 34% не будут обслужены, следовательно, за 12 ч работы одного дня потеря выручки автомойки составит в среднем 
.
Многоканальная СМО