Рассмотрим многоканальную СМО с ожиданием и неограниченной длиной очереди, на которую поступает поток заявок с интенсивностью 
и которая имеет интенсивность обслуживания каждого канала 
. Размеченный граф состояний представлен на рис. 6.7. Он имеет бесконечное число состояний:
Рис. 6.7. Размеченный граф состояний многоканальной СМО
с неограниченной очередью
Вероятности состояний получим из формул для многоканальной СМО с ограниченной очередью при переходе к пределу при 
. Следует заметить, что сумма геометрической прогрессии в выражении для 
расходится при уровне загрузки 
, очередь будет бесконечно возрастать, а при 
ряд сходится, что определяет установившийся стационарныйрежимработы СМО, для которого и определим выражения для предельных вероятностей состояний:
Поскольку отказа в обслуживании в таких системах не может быть, то характеристики пропускной способности равны:
среднее число заявок в очереди -
среднее время ожидания в очереди -
среднее число заявок в СМО -
Вероятность того, что СМО находится в состоянии 
, когда нет заявок и не занято ни одного канала, определяется выражением
Эта вероятность определяет среднюю долю времени простоя канала обслуживания.
Вероятность занятости обслуживанием 
заявок -
На этом основании можно определить вероятность, или долю времени занятости всех каналов обслуживанием.
Если же все каналы уже заняты обслуживанием, то вероятность состояния определяется выражением.
Вероятность оказаться в очереди равна вероятности застать все каналы уже занятыми обслуживанием.
Среднее число заявок, находящихся в очереди и ожидающих обслуживания, равно:
среднее время ожидания заявки в очереди начала обслуживания:
среднее время пребывания заявки в СМО -
среднее число занятых каналов обслуживанием равно -
среднее число свободных каналов –
коэффициент занятости каналов обслуживанием -
среднее число заявок в СМО -
Важно заметить, что параметр 
характеризует степень согласования входного потока, например, покупателей в магазине с интенсивностью потока обслуживания. Процесс обслуживания будет стабилен при 
. Если же 
, в системе будут возрастать средняя длина очереди и среднее время ожидания покупателями начала обслуживания, и, следовательно, СМО будет работать неустойчиво.
Рассмотрим применение моделей для анализа работы СМО с ожиданием на нескольких примерах.
Пример 1. В столовой к узлу расчета поступает пуассоновский поток посетителей с интенсивностью 
человек в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного посетителя составляет 
мин. Определим оптимальное число контролеров-кассиров 
, при котором общие издержки 
, определяемые затратами, с одной стороны, на содержание контролеров-кассиров 
, а с другой - пребыванием посетителей в очереди , были бы минимальны.
На этом основании целевую функцию можно записать так:
Издержки определяются числом каналов обслуживания 
, величиной затрат, связанных с содержанием в системе одной обслуживающей единицы в течение одной единицы времени 
(руб./ч) и интенсивностью входного потока .
Издержки потребления , определяются величиной удельных потерь , связанных с пребыванием в очереди одного покупателя в течение единицы времени и средним временем ожидания в очереди 
. Тогда целевую функцию затрат, связанную с пребыванием покупателей в системе в течение единицы времени, можно записать так:
Для удобства проведения вычислений предположим, что 
, что позволит определить соотношение стоимостей обслуживания для разных вариантов организации системы. Для наглядности решения задачи построим график целевой функции 
, по которому найдем минимум затрат, величина которого укажет на оптимальную численность контролеров-кассиров.
Следует заметить, что длина очереди - один из основных показателей эффективности СМО. Причем если длина очереди в системе может бесконечно возрастать, то рациональной организации системы нельзя получить. Только при условии 
очередь может быть конечна, т. е. число заявок, поступающих в СМО за промежуток времени, равный средней длительности обслуживания 
, меньше числа обслуживающих каналов. Это обусловлено вероятностным характером как потока заявок, так и временем их обслуживания. Поэтому о рациональности варианта организации СМО можно рассуждать лишь в том случае, если 
. Поскольку из условия задачи следует, что интенсивность нагрузки 
, то вычисления показателей системы следует начать с 
.
Сначала определяем долю времени простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня, т.е. при условии отсутствия покупателей.
Следовательно, 3 контролера-кассира будут простаивать 11% времени от всей продолжительности рабочего дня. Результаты вычислений запишем в табл. 6.2.
Таблица 6.2
Вероятность застать всех контролеров-кассиров занятыми определяется по формуле Эрланга.
Вероятность оказаться в очереди -
среднее число покупателей, находящихся в очереди, -
среднее время ожидания покупателями в очереди начала обслуживания -
относительная величина затрат для и 
составляет:
среднее время пребывания посетителя в узле расчета-
среднее число занятых обслуживанием контролеров-кассиров-
среднее число свободных контролеров-кассиров -
Коэффициент занятости контролеров-кассиров обслуживанием, т. е. нагрузка на одного контролера-кассира, или доля занятых обслуживанием каналов, составляет
Среднее число покупателей в узле расчета -
абсолютная пропускная способность узла расчета в столовой -
Затем проводим аналогичные вычисления по определению перечисленных показателей для других значений 
и результаты запишем в табл. 6.2 и представим в виде рис. 6.8. По данным таблицы следует, что оптимальное число контролеров-кассиров в узле расчета 
для соотношения 
, при этом общие затраты будут минимальными.
Рис. 6.8. Графическая модель связи относительно затрат СМО
и числа кассиров
Для целей расширения анализа проведены вычисления для разных вариантов соотношения 
, которое, по данным таблицы, влияет на оптимальную численность контролеров-кассиров.
Пример 2. В расчетном узле магазина самообслуживания работают 3 кассы. Интенсивность входного потока составляет 5 покупателей в минуту. Интенсивность обслуживания каждого контролера-кассира составляет 2 покупателя в минуту. Определим характеристики СМО и дадим оценку ее работы.
Решение.
Определяем характеристики системы массового обслуживания:
интенсивность нагрузки -
поскольку условие устойчивой работы выполнено 2,5 < 3, то можно определять предельные вероятности состояний;
доли времени простоя узла расчета -
вероятность того, что заявка окажется в очереди -
средняя длина очереди -
среднее время пребывания в очереди -
среднее число покупателей в магазине -
среднее количество занятых каналов -
коэффициент занятости каналов -
среднее время пребывания заявки в магазине -
Доля времени простоя расчетного узла в магазине самообслуживания составляет всего 4,5% от продолжительности рабочего дня, а вероятность оказаться в очереди велика - 58,6%, длина очереди небольшая - всего 3,5 покупателя, время ожидания в очереди — 0,7 мин, а коэффициент занятости каналов -83,3%, поэтому система работает удовлетворительно. Следует иметь в виду, что при увеличении интенсивности входного потока , может нарушиться стационарный режим работы СМО, и при 
очередь будет нарастать, и система не будет справляться с обслуживанием.
Пример 3. В магазине самообслуживания установлены два кассовых аппарата. Интенсивность входного потока в будние дни в среднем составляет 1,3 покупателя в минуту до обеда, 1,8 покупателя/мин - после обеда, а в субботу и воскресенье - в среднем 2,2 покупателя/мин. Среднее время обслуживания покупателя контролером-кассиром составляет 52 сек. Проведем анализ работы системы массового обслуживания магазина.
Решение.
Определяем характеристики СМО отдельно для каждого варианта значения интенсивности входного потока:
интенсивность нагрузки -
поскольку 
, то , и, следовательно, возможен стационарный режим работы, при котором
доля времени простоя кассиров -
вероятность оказаться в очереди -
среднее число покупателей в очереди -
среднее число покупателей в магазине -
среднее число занятых каналов -
среднее время пребывания заявки в очереди -
среднее время пребывания заявки в магазине -
коэффициент занятости каналов -
Интенсивность входного потока влияет на все характеристики СМО, доля времени простоя уменьшается до 2,5%, вероятность образования очереди увеличивается до 0,86, среднее число покупателей в очереди увеличивается до 17 человек, что уже недопустимо, поскольку потенциальные покупатели будут уходить к конкурентам, что в конечном итоге приведет к уменьшению длины очереди и снижению экономических показателей, поэтому необходимо ориентироваться на покупателей и стремиться обслужить всех путем введения дополнительного кассового аппарата после обеда и в субботние, и воскресные дни, ориентируясь на режим работы с длиной очереди в 3 покупателя.
Контрольные вопросы
1. 1. Зачем нужны характеристики СМО?
2. 2. Как пользоваться характеристиками СМО с отказами в коммерческой деятельности?
3. 3. Как применять характеристики СМО с ожиданием в коммерческой деятельности?
4. 4. Как аргументировать построение СМО с ограничением на длину очереди в коммерческой деятельности?
5. 5. Каким образом можно оценить свою деятельность с помощью характеристик СМО?
6. 6. Как можно провести оценку работы вашего руководителя на основе характеристик СМО?
7. 7. Проведите оценку работы характеристиками СМО мини-маркета, книжного киоска или любого другого торгового предприятия.
8. 8. Проведите оценку согласованности взаимодействия студентов в группе с помощью характеристик СМО в процессе выполнения фрагментов учебного процесса: выполнения курсовых работ, подготовки и сдачи зачетов, экзаменов.
9. 9. Дайте оценку взаимодействия членов вашей семьи утром характеристиками СМО.