Пример 1. Результаты наблюдения за потоком покупателей в секции универмага в течение 10 дней работы и проведения регистрации количества покупателей в течение каждого часа работы представлены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Определим интенсивность входящего потока покупателей за час работы магазина и, используя критерий Пирсона с уровнем значимости 
, обоснуем предположение, что поток описывается пуассоновским законом распределения.
Решение.
1. Сгруппируем данные по числу покупателей k, посетивших магазин в течение часа, а результаты представим в виде таблицы:
Вычислим интенсивность потока:
Найдем теоретические частоты по формуле
2. Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле
3. По заданному уравнению значимости и числу степеней свободы 
, где 
- число групп в ряду (в нашем случае 
) по таблице значений критических точек 
- распределения определим 
.
4. Поскольку 
, то можно считать, поскольку в нашем случае это условие выполняется: 12,51 < 14,1, то входящий поток покупателей описывается пуассоновским законом распределения с интенсивностью 
.
Пример 2. Результаты наблюдения за потоком покупателей в течение 7 дней работы универмага и проведения регистрации покупателей за каждый час представлены в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Определим интенсивность входящего потока покупателей в расчете на час работы и по критерию Пирсона с уровнем значимости и обоснуем предположение о том, что поток описывается пуассоновским законом распределения.
Решение. Используем модели алгоритма. Получим: 
покуп час; 
, что свидетельствует о правильном предположении о пуассоновском законе распределения входящего потока покупателей.
Анализ потока обслуживания заявок
Пример 3. Результаты регистрации продолжительности обслуживания покупателей в обувной секции универмага приведены в табл. 3.3.
Таблица 3.3
Определим среднее время 
и интенсивность 
обслуживания покупателей, затем по критерию Пирсона с уровнем значимости обоснуем предположение, что время обслуживания распределяется по показательному закону.
Решение.
1. Для каждого интервала 
вычислим его середину по формуле
2. Вычислим среднее время обслуживания ( и интенсивность обслуживания :
3. Найдем теоретические частоты по формуле
4. Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле
5. По заданному уровню значимости и числу степеней свободы 
, где 
- число групп в ряду (в нашем случае 
) по таблице значений критических точек 
- распределения определим 
.
6. Сравним, если , то можно считать, что время обслуживания покупателей распределено по показательному закону с интенсивностью 
, поскольку в нашем случае это условие выполняется: 10,7 < 12,59.
Пример 4. Результаты наблюдения за работой консультантов специализированного магазина аудио- и видеотехники по времени обслуживания покупателей представлены в табл. 3.4.
Таблица 3.4
Определим среднее время и интенсивность 
обслуживания покупателей и по критерию Пирсона с уровнем значимости 
обоснуем предположение о том, что время обслуживания распределено по показательному закону.
Пример 5. Результаты регистрации входного потока посетителей в течение дня и значения его характеристик приведены в табл. 3.5.
Таблица 3.5
По приведенным данным поток посетителей в течение дня не постоянен: в разные часы работы магазина в него заходит разное количество посетителей, причем разность между максимальным и минимальным количеством посетителей, зашедших в магазин в течение часа, весьма существенна (от 100 до 1000 человек).
Однако на ограниченном промежутке времени, например в течение часа, поток посетителей может считаться простейшим. Если к тому же длительности интервалов между двумя соседними событиями распределены по закону Пуассона, следовательно, можно вычислить интенсивность потока посетителей для каждого часа работы магазина, а также их среднее значение.
Интенсивность потока посетителей в течение дня, как и количество посетителей магазина, является величиной непостоянной и изменяется в пределах от 
пок/мин до 
пок/мин, однако эти значения можно усреднить, и тогда получаются следующие значения 
1 пок/мин до 
1 пок/мин. Среднее значение интенсивности потока посетителей в течение дня 
1 пок/мин.
Рассмотрим распределение потока посетителей того же магазина, но уже в течение недели. Динамика потока посетителей представлена в табл. 3.6, в которой значения интенсивности являются усредненными характеристиками потока для каждого дня недели.
Таблица 3.6
Следует отметить, что максимальные (минимальные) значения интенсивности потока, которые приведены в табл. 3.6 ( 
, 
), примерно совпадают со средними значениями интенсивности, приведенными в табл. 3.5 ( в 1 пок/мин, в 1 пок/мин).
Изучение потока посетителей магазина помогает рационально организовать работу СМО, а также работу продавцов и кассиров в течение рабочего дня, добиться более равномерной загрузки торговых работников, повысить эффективность их труда.
Рассмотрим характеристики потока обслуживания на примере работы секции по продаже радио- и телеаппаратуры. Результаты хронометража времени обслуживания покупателей разным числом продавцов в магазине представлены в табл. 3.7.
Таблица 3.7
По приведенным данным можно рассчитать интенсивность обслуживания покупателей при различной организации торгового процесса: все продавцы работают как одна бригада и тогда они образуют один канал обслуживания, каждый продавец работает самостоятельно и тогда число каналов обслуживания будет определяться количеством продавцов.
Для случая бригадной организации торгового процесса получили следующую интенсивность обслуживания (табл. 3.8).
Таблица 3.8
По данным табл. 3.8 с увеличением количества продавцов, образующих канал обслуживания, увеличивается интенсивность обслуживания 
.
Для случая, когда каждый продавец работает самостоятельно, получили значения интенсивности обслуживания, которые приведены в табл. 3.9.
Таблица 3.9
По данным табл. 3.9 видно, что независимо от количества продавцов интенсивности обслуживания для каждого канала примерно одинаковы, что свидетельствует, в свою очередь, о равномерной загрузке продавцов.
Таким образом, изучая входные потоки обслуживания, можно оценить производительность каналов обслуживания, степень их загрузки и разработать рекомендации по рациональной организации работы систем массового обслуживания.
Графы состояний СМО
При анализе случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем удобно пользоваться вариантом схематичного изображения возможных состояний СМО на рисунке в виде графа с разметкой его возможных фиксированных состояний. Состояния СМО изображаются обычно либо прямоугольниками, либо кружками, а возможные направления переходов из одного состояния в другое ориентированы стрелками, соединяющими эти состояния. Например, размеченный граф состояний одноканальной системы случайного процесса обслуживания в газетном киоске приведен на рис. 3.1.
Рис. 3.1. Размеченный граф состояний СМО
Система может находиться в одном из трех состояний: 
- канал свободен, простаивает, 
- канал занят обслуживанием, 
- канал занят обслуживанием и одна заявка в очереди. Переход системы из состояния 
в 
происходит под воздействием простейшего потока заявок интенсивностью 
а из состояния в состояние 
систему переводит поток обслуживания с интенсивностью 
. Граф состояний системы обслуживания с проставленными интенсивностями потоков у стрелок называется размеченным. Поскольку пребывание системы в том или ином состоянии носит вероятностный характер, то вероятность 
того, что система будет находиться в состоянии 
в момент времени t, называется вероятностью i-гo состояния СМО и определяется числом поступивших заявок k на обслуживание.
Случайный процесс, происходящий в системе, заключается в том, что в случайные моменты времени 
система оказывается в том или другом заранее известном дискретном состоянии последовательно. Такая случайная последовательность событий называется марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из одного состояния , в любое другое 
не зависит от того, когда и как система перешла в состояние Sj. Описывается марковская цепь с помощью вероятности состояний, причем они образуют полную группу событий, поэтому их сумма равна единице. Если вероятность перехода не зависит от номера k, то марковская цепь называется однородной. Зная начальное состояние системы обслуживания, можно найти вероятности состояний для любого значения k - числа заявок, поступивших на обслуживание.
Случайные процессы
Переход СМО из одного состояния в другое происходит случайным образом и представляет собой случайный процесс. Работа СМО - случайный процесс с дискретными состояниями, поскольку его возможные состояния во времени можно заранее перечислить. Причем переход из одного состояния в другое происходит скачкообразно, в случайные моменты времени, поэтому он называется процессом с непрерывным временем. Таким образом, работа СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Например, в процессе обслуживания оптовых покупателей на фирме "Кристалл" в Москве можно фиксировать заранее все возможные состояния простейших СМО, которые входят в весь цикл коммерческого обслуживания от момента заключения договора на поставку ликероводочной продукции, ее оплаты, оформления документов, отпуска и получения продукции, погрузки и вывоза со склада готовой продукции.
Из множества разновидностей случайных процессов наибольшее распространение в коммерческой деятельности получили такие процессы, для которых в любой момент времени характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в настоящий момент и не зависят от предыстории - от прошлого. Например, возможность получения с завода "Кристалл" ликероводочной продукции зависит от наличия ее на складе готовой продукции, т.е. его состояния в данный момент, и не зависит от того, когда и как получали и увозили в прошлом эту продукцию другие покупатели.
Такие случайные процессы называются процессами без последствия, или марковскими, в которых при фиксированном настоящем будущее состояние СМО не зависит от прошлого. Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским случайным процессом, или "процессом без последствия", если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени 
вероятность любого состояния 
системы в будущем ( ) зависит только от ее состояния в настоящем (при 
) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние, т.е. от того, как развивался процесс в прошлом.
Марковские случайные процессы делятся на два класса: процессы с дискретными и непрерывными состояниями. Процесс с дискретными состояниями возникает в системах, обладающих только некоторыми фиксированными состояниями, между которыми возможны скачкообразные переходы в некоторые, заранее не известные моменты времени. Рассмотрим пример процесса с дискретными состояниями. В офисе фирмы имеются два телефона. Возможны следующие состояния у этой системы обслуживания: 
- телефоны свободны; 
- одинизтелефонов занят; 
- оба телефона заняты.
Процесс, протекающий в этой системе, состоит в том, что система случайным образом переходит скачком из одного дискретного состояния в другое.
Процессы с непрерывными состояниями отличаются непрерывным плавным переходом из одного состояния в другое состояние. Эти процессы более характерны для технических устройств, нежели для экономических объектов, где обычно лишь приближенно можно говорить о непрерывности процесса (например, непрерывном расходовании запаса товара), тогда как фактически всегда процесс имеет дискретный характер. Поэтому далее мы будем рассматривать только процессы с дискретными состояниями.
Марковские случайные процессы с дискретными состояниями, в свою очередь, подразделяются на процессы с дискретным временем и процессы с непрерывным временем. В первом случае переходы из одного состояния в другое происходят только в определенные, заранее фиксированные моменты времени, тогда как в промежутки между этими моментами система сохраняет свое состояние. Во втором случае переход системы из состояния в состояние может происходить в любой случайный момент времени.
На практике процессы с непрерывным временем встречаются значительно чаще, поскольку переходы системы из одного состояния в другое обычно происходят не в какие-то фиксированные моменты времени, а в любые случайные моменты времени.
Для описания процессов с непрерывным временем используется модель в виде так называемой марковской цепи с дискретными состояниями системы, или непрерывной марковской цепью.
Уравнения Колмогорова
Рассмотрим математическое описание марковского случайного процесса с дискретными состояниями системы 
, , 
(рис. 3.1) и непрерывным временем. Полагаем, что все переходы системы массового обслуживания из состояния 
в состояние 
происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями 
, а обратный переход - под воздействием другого потока 
. Введем обозначение 
как вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии . Для любого момента времени t справедливо записать нормировочное условие - сумма вероятностей всех состояний равна единице
Проведем анализ системы в момент времени t, задав малое приращение времени 
, и найдем вероятность 
того, что система в момент времени ( 
) будет находиться в состоянии 
, которое достигается разными вариантами:
а) система в момент t с вероятностью 
находилась в состоянии и за малое приращение времени 
так и не перешла в другое соседнее состояние - ни в 
, ни в 
. Вывести систему из состояния можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью ( 
), поскольку суперпозиция простейших потоков также является простейшим потоком. На этом основании вероятность выхода из состояния за малый промежуток времени приближенно равна 
. Тогда вероятность невыхода из этого состояния равна 
. В соответствии с этим вероятность того, что система останется в состоянии 
на основании теоремы умножения вероятностей равна:
б) система находилась в соседнем состоянии 
и за малое время 
перешла в состояние . Переход системы происходит под воздействием потока 
с вероятностью, приближенно равной 
. Вероятность того, что система будет находиться в состоянии , в этом варианте равна 
;
в) система находилась в состоянии и за время 
перешла в состояние 
под воздействием потока интенсивностью 
с вероятностью, приближенно равной 
. Вероятность того, что система будет находиться в состоянии 
, равна 
.
Применяя теорему сложения вероятностей для этих вариантов, получим выражение:
которое можно записать иначе:
Переходя к пределу при 
, приближенные равенства перейдут в точные, и тогда получим производную первого порядка
что является дифференциальным уравнением.
Проводя рассуждения аналогичным образом для всех других состояний системы, получим систему дифференциальных уравнений, которые называются уравнениями А.Н. Колмогорова:
Для составления уравнений Колмогорова существуют общие правила.
Уравнения Колмогорова позволяют вычислить все вероятности состояний СМО в функции времени 
. В теории случайных процессов показано, что если число состояний системы конечно, а из каждого из них можно перейти в любое другое состояние, то существуют предельные (финальные) вероятности состояний, которые показывают на среднюю относительную величину времени пребывания системы в этом состоянии. Если предельная вероятность состояния равна 
, то, следовательно, в среднем 20% времени, или одну пятую часть рабочего времени, система находится в состоянии . Например, при отсутствии заявок на обслуживание k = 0, 
, следовательно, в среднем 2 ч в день система находится в состоянии и простаивает, если продолжительность рабочего дня составляет 10 ч.
Поскольку предельные вероятности системы постоянны, то, заменив в уравнениях Колмогорова соответствующие производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим СМО. Такую систему уравнений составляют по размеченному графу состояний СМО по следующим правилам: слева от знака равенства в уравнении стоит предельная вероятность , рассматриваемого состояния , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, выводящих (выходящие стрелки) из данного состояния 
систему, а справа от знака равенства - сумма произведений интенсивности всех потоков, входящих (входящие стрелки) в состояние 
систему, на вероятность тех состояний, из которых эти потоки исходят. Для решения подобной системы необходимо добавить еще одно уравнение, определяющее нормировочное условие, поскольку сумма вероятностей всех состояний СМО равна единице:
Например, для СМО, имеющей размеченный граф из трех состояний , , 
рис. 3.1, система уравнений Колмогорова, составленная на основе изложенного правила, имеет следующий вид:
Пример 1. Составим систему уравнений Колмогорова в общем виде для случая, когда граф состояний имеет вид (рис. 3.2):
Рис. 3.2. Размеченный граф состояний СМО
Плотность вероятностей этих переходов указана рядом с соответствующими стрелками. Пользуясь приведенными выше правилами, получаем систему уравнений в виде:
К этим уравнениям надо добавить еще начальные условия. Например, если при t = 0 система 
находится в состоянии 
, то начальные условия можно записать так:
Переходы между состояниями СМО происходят под воздействием поступления заявок иих обслуживания. Вероятность перехода в случае, если поток событий простейший, определяется вероятностью появления события в течение времени , т.е. величиной элемента вероятности перехода 
, где 
- интенсивность потока событий, переводящих систему из состояния 
в состояние 
(по соответствующей стрелке на графе состояний).
Если все потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет марковским случайным процессом, т.е. процессом без последствия. В этом случае поведение системы достаточно просто определяется, если известны интенсивность всех этих простейших потоков событий. Например, если в системе протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем, то, записав систему уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эту систему при заданных начальных условиях, получим все вероятности состояний как функции времени:
Во многих случаях на практике оказывается, что вероятности состояний, как функции времени, ведут себя таким образом, что существует
независимо от вида начальных условий. В этом случае говорят, что существуют предельные вероятности состояний системы при 
, и в системе устанавливается некоторый предельный стационарный режим. При этом система случайным образом меняет свои состояния, но каждое из этих состояний осуществляется с некоторой постоянной вероятностью, определяемой средним временем пребывания системы в каждом из состояний.
Вычислить предельные вероятности состояния можно, если в системе положить все производные равными 0, поскольку в уравнениях Колмогорова при 
зависимость от времени пропадает. Тогда система дифференциальных уравнений превращается в систему обычных линейных алгебраических уравнений, которая совместно с нормировочным условием позволяет вычислить все предельные вероятности состояний.
Пример 2. Запишем систему алгебраических уравнений для вычисления предельных вероятностей состояний системы, изображенной на рис. 3.2.
Для этого допустим, что
тогда из записанной ранее в примере 1 системы уравнений Колмогорова получаем:
и, кроме того, мы должны учесть нормировочное условие:
Любое из уравнений записанной системы можно исключить, использовав вместо него нормировочное условие.