Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Пусть –объемы валового продукта ой отрасли, объемы конечно продукта этой отрасли, то есть объемы продукта, идущие на потребление вне производства. Если обозначить через объем продукции ой отрасли, потребляемый -ой отраслью в процессе производства (), то должна выполняться следующие соотношения

(1)

Уравнения (1) называются соотношениями баланса.

Соотношения баланса можно записать в несколько другом виде, если ввести в рассмотрение коэффициенты прямых затрат

, (2)

которые показывают затраты продукции ой отрасли на производство единицы продукции -ой отрасли.

В этом случае они будут выглядеть так

, (3)

Уравнения (3) можно записать в матричной форме

, (4)

или , (5)

где , , .

Здесь –вектор валового выпуска, –матрица коэффициентов прямых затрат, – вектор конечного продукта.

Основная задача межотраслевого баланса заключается в том, чтобы найти такой вектор валового выпуска , который при заданной матрице коэффициентов прямых затрат обеспечивает вектор конечного продукта.

Из матричного уравнения (5) вектор находится по формуле

.

Матрица называется матрицей полных затрат. Ее элементы

показывают величину валового выпуска продукции ой отрасли, необходимойдля обеспечения выпуска единицы конечного продукта - ой отрасли.

Заметим, что конечный продукт в каждой отрасли производства называют также чистой продукцией. Чистая продукция – это разность между валовой продукцией этой отрасли и затратами продукции всех отраслей на производство этой отрасли.

Задачи.

15. Производство состоит из двух отраслей. Известна матрица коэффициентов прямых затрат и вектор конечной продукции этого производства на плановый период (в усл. ден. ед.):

, . Найдите а) плановые объемы валовой продукции отраслей и межотраслевые поставки; б) Приращение вектора для увеличения выпуска конечной продукции на вектор .

Решение. а) выпишем матрицу . Тогда матрица полных затрат . Вектор валового продукта найдем по формуле : .

Межотраслевые поставки находятся по формулам . Поэтому , , , .

б) Векторконечного продукта после увеличения на будет равен . Для этого вектора вектор валового выпуска будет равен . Таким образом, производство валового продукта по отраслям должно вырасти на 184 и 132 ед.

16. В таблице приведены коэффициенты прямых затрат и конечная продукция отраслей на плановый период (в усл. ден. ед.)

Найдите:

а) плановые объемы валовой продукции отраслей, межотраслевые поставки, чистую продукцию отраслей;

б) необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление продукции сельского хозяйства увеличится на 20%, а промышленности на 10%.

17. Работа системы, состоящей из двух отраслей, в течение некоторого периода характеризуется следующими данными (усл. ден. ед.)

Вычислите матрицу прямых затрат.

18. Имеются данные о работе системы из двух отраслей в прошлом периоде и план выпуска конечной продукции в будущем периоде.

О т р а с л ь	П о т р е б л е н и е	Чистая продукция	План

Найдите матрицы прямых и полных затрат, а также выпуск валовой продукции в плановом периоде, обеспечивающей выпуск конечного продукта .

19. Дана матрица коэффициентов полных затрати вектор конечногопродукта . Найдите вектор валового выпуска.