Интегралы от основных элементарных функций

Пример 1. Найти неопределенный интеграл .

► ■

Пример 2. Найти неопределенный интеграл .

►

■

Задачи

1 Найти неопределённые интегралы, используя таблицу простейших интегралов. Результат проверить дифференцированием.

1.1 1.6

1.2 1.7

1.3 1.8

1.4 1.9

1.5 1.10

2 Найти неопределенные интегралы, предварительно преобразовав подынтегральную функцию

2.1 а) б)

2.2 а) б)

2.3 а) б)

2.4 a) б)

2.5 a) б)

2.6 a) б)

2.7 a) б)

2.8 a) б)

2.9 a) б)

2.10 a) б)

Тема 2

Метод введения нового аргумента

Необходимые понятия и теоремы

Теорема. Если дана функция , причем имеет первообразную, т. е. , и если дана функция , причем дифференцируема, тогда

или .

Пусть . Возьмем в качестве линейную функцию . Тогда . Отсюда .

Пример 1. Найти .

► Заметим, что , тогда

■

Пример 2. Найти .

► Заметим, что , тогда

■

Пример 3. Найти .

► Так как , то

■

Пример 4. Найти .

► Так как , то

■

Пример 5. Найти .

► Так как , то

■

Пример 6. Найти .

► ■

Пример 7. Найти .

► Выделив полный квадрат в знаменателе, получим

■

Задачи

1 Найти неопределённые интегралы, применяя метод введения нового аргумента. Результат проверить дифференцированием.

1.1 а) ; б) ; в)

1.2 а) ; б) ; в)

1.3 а) ; б) ; в)

1.4 а) ; б) ; в)

1.5 а) ; б) ; в)

1.6 а) ; б) ; в)

1.7 а) ; б) ; в)

1.8 а) ; б) ; в)

1.9 а) ; б) ; в)

1.10 а) ; б) ; в)

2 Найти неопределённые интегралы, применяя метод введения нового аргумента.

2.1 а) б) в)

г) д)

2.2 а) б) в) ;

г) ; д)

2.3 а) б) в)

г) д)

2.4 а) б) в)

г) д)

2.5 а) б) в)

г) д)

2.6 а) б) в) ;

г) д)

2.7 а) б) в)

г) д)

2.8 а) б) в)

г) д)

2.9 a) б) в)

г) д)

2.10 a) б) в)

г) д)

Тема 3

Метод интегрирования по частям

Необходимые понятия и теоремы

Теорема. Пусть функции и имеют непрерывные производные на некотором промежутке. Тогда функция также имеет непрерывную производную на этом промежутке, причем . Тогда . Отсюда или . Отсюда

Последняя формула называется формулой интегрирования по частям.

Пример 1. Найти .

► ■

Пример 2. Найти .

► ■

Пример 3. Вычислить возвратный интеграл .

► Обозначим исходный интеграл через . Тогда

Получили уравнение . Решив его относительно , получим:

■

Задачи

1 Найти интегралы, используя метод интегрирования по частям.

1.1 a) б)

1.2 a) б)

1.3 а) б)

1.4 а) б)

1.5 а) б)

1.6 а) б)

1.7 а) б)

1.8 а) б)

1.9 а) б)

1.10 а) б)

2 Вычислить возвратные интегралы.

2.1 2.6

2.2 2.7

2.3 2.8

2.4 2.9

2.5 2.10

Тема 4

Интегрирование рациональных функций

Необходимые понятия

В большинстве случаев при интегрировании рациональных функций следует придерживаться следующего алгоритма.

Если дробь является неправильной (т. е. ), то надо выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель. Получим представление , где некоторый многочлен, − правильная дробь.

Если дробь является правильной (т. е. ), то многочлен необходимо разложить на множители, а затем дробь разложить в сумму простейших дробей, т. е.

дробей вида:

N, N, . (1)

Например, дробь можно представить в виде суммы:

где , , , , , , , − некоторые числа, которые можно найти методом неопределенных коэффициентов.

Обратимся теперь к интегрированию дробей вида (1).

Если , то , а если , то

Обозначим . Для интегрирования такой дроби необходимо выделить в знаменателе полный квадрат: , . Далее обозначив , получим

Теперь

Если , то .

Если , то для вычисления интегралов используется рекуррентная формула:

Пример. Найти .

►

■

Задачи

1 Найти интегралы от рациональных функций, разложив данную функцию в сумму простейших дробей.

1.1 а) ; б) ;

в)

1.2 а) ; б) ;

в)

1.3 а) ; б) ;

в)

1.4 а) ; б) ;

в)

1.5 а) ; б) ;

в)

1.6 а) ; б) ;

в)

1.7 а) ; б) ;

в)

1.8 а) ; б) ;

в)

1.9 а) ; б) ;

в)

1.10 а) ; б) ;

в)

2 Найти интегралы от простейших дробей.

2.1 а) ; б)

2.2 а) ; б)

2.3 а) ; б)

2.4 а) ; б)

2.5 а) ; б)

2.6 а) ; б)

2.7 а) ; б)

2.8 а) ; б)

2.9 а) ; б)

2.10 а) ; б)

Тема 5

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Необходимые понятия

Многие интегралы от иррациональных функций удается преобразовать в интегралы от рациональных функций с помощью различных подстановок.

I. Интегралы вида ,

где Q, R, , некоторая рациональная функция, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки:

, где общий знаменатель чисел .

II. Интегралы вида ,

где R, Q, называются интегралами от дифференциального бинома. Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций подстановками в трех случаях:

1) если Z, то , где общий знаменатель чисел и ;

2) если Z, то , где знаменатель числа ;

3) если Z, то , где знаменатель числа .

III. Интегралы вида

, , (*)

можно свести к интегралам от рациональных функций с помощью подстановок Эйлера:

1) , если ;

2) если ;

3) , где один из корней квадратного трехчлена .

Подстановки Эйлера обычно приводят к громоздким вычислениям. Поэтому для интегралов вида (*) иногда применяют другие методы.

Например, интегралы вида

, (**)

где многочлен степени n, следует представить в виде:

где коэффициенты и находят методом неопределенных коэффициентов (сначала надо продифференцировать обе части последнего равенства, а затем умножить его на и приравнять коэффициенты при равных степенях ).

Интегралы подстановкой сводятся к интегралам вида (**).

Пример 1. Найти .

►

■

Пример 2. Найти .

►

■

Пример 3. Найти .

► Запишем данный интеграл в виде: . Вос-пользуемся одной из подстановок для интегралов от дифференциального бинома. В данном случае . Найдем . Получили целое число. Значит, надо использовать третью подстановку: