Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
Имени Франциска Скорины»
Ж. Н. КУЛЬБАКОВА
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ:
ИНТЕГРАЛЫ
Сборник задач
Для студентов математических специальностей
Гомель
ГГУ им. Ф. Скорины
УДК 517.3(076.1)
ББК 22.161.12 я73
К 906
Рецензенты:
доктор физико-математических наук А. П. Старовойтов,
кандидат физико-математических наук Н.Г. Лопухова
Рекомендовано к изданию научно-методическим советом
учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»
Кульбакова, Ж.Н.
К 906 Математический анализ: Интегралы: сборник задач для
студентов математических специальностей / Ж. Н. Кульбакова;
М-во образования РБ, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины. –
Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2014. – 47 с.
ISBN
Предлагаемый сборник предназначен для проведения лабораторных и практических занятий, его можно использовать для самоконтроля при подготовке к экзамену, а также при составлении контрольных заданий для студентов заочного факультета. В сборнике представлены задачи по следующим разделам математического анализа: «Неопределенные интегралы», «Определенные интегралы», «Приложения определенных интегралов», «Несобственные интегралы». Содержит необходимые понятия и теоремы, основные типы задач и некоторые примеры их решения.
Адресован студентам математических специальностей.
УДК 517.3(076.1)
ББК 22.161.12 я73
ISBN © Кульбакова Ж.Н., 2014
© УО «Гомельский государственный
университет им. Ф. Скорины», 2014
Содержание
Введение…..................................................................................................4
1 Неопределенные интегралы…………………...………………………5
Тема 1. Первообразная. Неопределенный интеграл………………...5
Тема 2. Метод введения нового аргумента…………………………..8
Тема 3. Метод интегрирования по частям….………………………12
Тема 4. Интегрирование рациональных функций…….......……….14
Тема 5. Интегрирование некоторых иррациональных функций….18
Тема 6. Интегрирование тригонометрических функций………….23
2 Определенные интегралы……………………………………………26
Тема 1. Определенный интеграл Римана…………………………..26
Тема 2. Формула Ньютона-Лейбница………………………………29
Тема 3. Замена переменной в определенном интеграле…………..32
Тема 4. Вычисление площадей с помощью интегралов…………..35
Тема 5. Вычисление длин кривых, объемов, площадей поверхностей…………………………………………………………….39
Тема 6. Несобственные интегралы…………………………………44
Литература……………………………………………………………….47
Введение
Сборник задач «Интегралы» по дисциплине математический анализ составлен в соответствии с действующей программой по данной дисциплине для математических специальностей университетов. Сборник содержит задачи по следующим разделам: «Неопределенные интегралы», «Определенные интегралы», «Приложения определенных интегралов в геометрии», «Несобственные интегралы». Для каждой темы приводятся необходимые понятия и теоремы, используемые формулы. Также сборник содержит образцы решения некоторых типовых задач. При составлении издания использовалась литература, список которой приведен в конце сборника.
Сборник задач предназначен, прежде всего, для проведения лабораторных и практических занятий по математическому анализу у студентов дневного отделения. Также он может быть использован при формировании индивидуальных заданий, при составлении контрольных заданий для студентов заочного факультета. Использование сборника возможно при организации учебного процесса студентов математического факультета по специальностям 1-31 03 01 02 «Математика», 1-31 03 03-01 «Прикладная математика (научно-производственная деятельность)», 1-31 03 03-02 «Прикладная математика (научно-педагогическая деятельность)», 1-31 03 06 01 «Экономическая кибернетика (математические методы в экономике)», а также для студентов математических специальностей заочного факультета.
Неопределенные интегралы
Тема 1
Первообразная. Неопределенный интеграл
Необходимые понятия и теоремы
Определение 1. Функция 
называется первообразной для функции 
на интервале 
, если имеет производную на и для 
выполняется равенство:
.
Задача нахождения функции по заданной функции называется задачей неопределенного интегрирования или задачей нахождения первообразной.
Утверждение. Если 
первообразная для функции на интервале , то функция 
при 
R, 
тоже является первообразной для функции на интервале . Теорема. Если 
и 
две первообразные для функции на интервале , то для 
выполняется равенство:
, где 
.
Определение 2. Неопределенным интегралом от функции на некотором промежутке называется совокупность всех первообразных для функции на этом промежутке.
Обозначают символом 
и пишут 
, где 
одна из первообразных функции , .