Утверждение 1. Если кривая Г задана уравнением
,
где 
непрерывно-дифференцируемые функции на отрезке 
, то длина кривой Г вычисляется по формуле:
.
Утверждение 2. Если кривая Г задана уравнением
,
то ее длина вычисляется по формуле:
.
Утверждение 3. Если кривая Г задана в полярных координатах
,
то длина кривой вычисляется по формуле:
.
Утверждение 4. Пусть криволинейная трапеция 
вращается вокруг оси 
. Объем полученного тела вращения вычисляется по формуле:
.
Пусть тело 
заключено между плоскостями, перпендикулярными оси 
и пересекающими эту ось в точках 
и 
. Обозначим через 
фигуру, получаемую в сечении тела 
плоскостью, перпендикулярной оси 
и проходящей через точку 
. Пусть при 
известна площадь 
фигуры 
, причем функция 
непрерывна на 
.
Утверждение 5. При указанных выше условиях объем тела 
вычисляется по формуле:
.
Пример. Вычислить объем, ограниченный эллипсоидом
.
► Проведем плоскость, перпендикулярную оси , через точку 
. В сечении получим эллипс 
. Запишем его уравнение в стандартном виде:
.
Площадь эллипса, получаемого в сечении 
. Тогда искомый объем 
■
Утверждение 6. Если функция 
имеет непрерывную производную на , то площадь поверхности вращения, образованной вращением графика функции 
вокруг оси , вычисляется по формуле:
.
Если поверхность получена вращением вокруг оси кривой, заданной параметрически: 
, то
.
Если вокруг оси вращается кривая, заданная в полярных координатах уравнением 
, то
.
Задачи
1 Вычислить длины дуг кривых, заданных следующими уравнениями.
1.1 а) 
;
б) 
1.2 а) 
;
б) 
1.3 а) 
;
б) 
1.4 а) 
;
б) 
1.5 а) 
;
б) 
1.6 а) 
;
б) 
1.7 а) 
;
б) 
1.8 а) 
;
б) 
1.9 а) 
;
б) 
1.10 а) 
;
б) 
2 Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрически.
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
2.6 
2.7 
2.8 
2.9 
, 
, 
2.10 
3 Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.
3.1 
3.2 
3.3 
3.4 
3.5 
3.6 
3.7 
3.8 
3.9 
3.10 
4 Вычислить объёмы тел, образованных вращением вокруг оси Ох фигур, ограниченных данными кривыми.
4.1 
4.2 
, 
4.3 
4.4 
4.5 
4.6 
, 
4.7 
4.8 
, 
, 
4.9 
4.10 
5 Вычислить объёмы тел, ограниченных данными поверхностями.
5.1 
5.2 
5.3 
5.4 
5.5 
5.6 
5.7 
5.8 
5.9 
5.10 
6 Вычислить площадь поверхности, образованной вращением данной кривой вокруг оси Ох.
6.1 
6.2 
6.3 
6.4 
6.5 
6.6 
6.7 
6.8 
6.9 
6.10 
Тема 6
Несобственные интегралы
Необходимые понятия и теоремы
Определение 1. Пусть функция интегрируема на отрезке 
. Несобственным интегралом от функции на промежутке 
называется величина
.
Если последний предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. В противном случае интеграл называется расходящимся.
Определение 2. Пусть функция определена на конечном промежутке 
и интегрируема на отрезке 
. Несобственным интегралом от функции на промежутке 
называется величина
.
Пример 1. Исследовать на сходимость 
.
► 
. Следовательно, интеграл расходится ■
Пример 2. Исследовать на сходимость 
.
► 
.
Следовательно, интеграл сходится ■
Пример 3. Используя признаки сравнения,исследовать на сходимость 
.
► Представим данный интеграл в виде:
.
Так как при 
, а интеграл 
сходится, то и интеграл 
сходится.
Так как 
, а при 
, то из расходимости последнего интеграла следует и расходимость 
. Итак, данный интеграл расходится (как сумма сходящегося и расходящегося интегралов).
Задачи
1 Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
1.1 а) 
; б) 
; в) 
1.2 а) 
; б) 
; в) 
1.3 а) 
б) 
; в) 
1.4 а) 
; б) 
; в) 
1.5 а) 
; б) 
; в) 
1.6 а) 
; б) 
; в) 
1.7 а) 
; б) 
; в) 
1.8 а) 
; б) 
; в) 
1.9 а) 
; б) 
; в) 
1.10 а) 
; б) 
; в) 
2 Используя признаки сравнения, исследовать на сходимость несобственные интегралы.
2.1 а) 
; б) 
2.2 а) 
; б) 
2.3 а) 
; б) 
2.4 а) 
; б) 
2.5 а) 
; б) 
2.6 а) 
; б) 
2.7 а) 
; б) 
2.8 а) 
; б) 
2.9 а) 
; б) 
2.10 а) 
; б) 
Литература
1. Тер-Крикоров, А. М. Курс математического анализа: Учеб. пособ. для вузов / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. − М.: Наука, 1988. − 813 с.
2. Сборник задач по математическому анализу: Интегралы. Ряды: Учеб. пособие для вузов / Л. Д. Кудрявцев [и др.]; Под ред. Л. Д. Кудрявцева. − М.: Наука, 1986. − 528 с.
3. Справочное пособие по математическому анализу. Введение в анализ, производная, интеграл: Учеб. пособие для вузов / И. И. Ляшко [и др.]. − Киев.: «Вища школа», 1984. − 456 с.
4. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Учеб. пособие. В 3 ч. Ч. 2 / А. П. Рябушко [и др.]; Под общ. ред. А. П. Рябушко. − Мн.: Выш. шк., 1991. − 352 с.
5. Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты): Учеб. пособие для втузов. − М.; Высш. школа, 1983. − 175 с.
Учебное издание