Необходимые понятия и теоремы




Утверждение 1. Если кривая Г задана уравнением

,

где непрерывно-дифференцируемые функции на отрезке , то длина кривой Г вычисляется по формуле:

.

Утверждение 2. Если кривая Г задана уравнением

,

то ее длина вычисляется по формуле:

.

Утверждение 3. Если кривая Г задана в полярных координатах

,

то длина кривой вычисляется по формуле:

.

Утверждение 4. Пусть криволинейная трапеция вращается вокруг оси . Объем полученного тела вращения вычисляется по формуле:

.

Пусть тело заключено между плоскостями, перпендикулярными оси и пересекающими эту ось в точках и . Обозначим через фигуру, получаемую в сечении тела плоскостью, перпендикулярной оси и проходящей через точку . Пусть при известна площадь фигуры , причем функция непрерывна на .

Утверждение 5. При указанных выше условиях объем тела вычисляется по формуле:

.

Пример. Вычислить объем, ограниченный эллипсоидом

.

 

► Проведем плоскость, перпендикулярную оси , через точку . В сечении получим эллипс . Запишем его уравнение в стандартном виде:

.

Площадь эллипса, получаемого в сечении . Тогда искомый объем

 

Утверждение 6. Если функция имеет непрерывную производную на , то площадь поверхности вращения, образованной вращением графика функции вокруг оси , вычисляется по формуле:

.

Если поверхность получена вращением вокруг оси кривой, заданной параметрически: , то

.

Если вокруг оси вращается кривая, заданная в полярных координатах уравнением , то

.

 

 

Задачи

1 Вычислить длины дуг кривых, заданных следующими уравнениями.

1.1 а) ;

б)

1.2 а) ;

б)

1.3 а) ;

б)

1.4 а) ;

б)

1.5 а) ;

б)

1.6 а) ;

б)

1.7 а) ;

б)

1.8 а) ;

б)

1.9 а) ;

б)

1.10 а) ;

б)

 

2 Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрически.

 

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9 , ,

2.10

 

3 Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

 

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

 

4 Вычислить объёмы тел, образованных вращением вокруг оси Ох фигур, ограниченных данными кривыми.

 

4.1

4.2 ,

4.3

4.4

4.5

4.6 ,

4.7

4.8 , ,

4.9

4.10

 

5 Вычислить объёмы тел, ограниченных данными поверхностями.

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

 

6 Вычислить площадь поверхности, образованной вращением данной кривой вокруг оси Ох.

 

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

 

 

 

 


Тема 6

Несобственные интегралы

Необходимые понятия и теоремы

 

Определение 1. Пусть функция интегрируема на отрезке . Несобственным интегралом от функции на промежутке называется величина

.

Если последний предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. В противном случае интеграл называется расходящимся.

Определение 2. Пусть функция определена на конечном промежутке и интегрируема на отрезке . Несобственным интегралом от функции на промежутке называется величина

.

 

Пример 1. Исследовать на сходимость .

. Следовательно, интеграл расходится ■

 

Пример 2. Исследовать на сходимость .

.

Следовательно, интеграл сходится ■

 

Пример 3. Используя признаки сравнения,исследовать на сходимость .

 

► Представим данный интеграл в виде:

.

Так как при , а интеграл сходится, то и интеграл сходится.

Так как , а при , то из расходимости последнего интеграла следует и расходимость . Итак, данный интеграл расходится (как сумма сходящегося и расходящегося интегралов).

 

 

Задачи

1 Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

1.1 а) ; б) ; в)

1.2 а) ; б) ; в)

1.3 а) б) ; в)

1.4 а) ; б) ; в)

1.5 а) ; б) ; в)

1.6 а) ; б) ; в)

1.7 а) ; б) ; в)

1.8 а) ; б) ; в)

1.9 а) ; б) ; в)

1.10 а) ; б) ; в)

 

 

2 Используя признаки сравнения, исследовать на сходимость несобственные интегралы.

2.1 а) ; б)

2.2 а) ; б)

2.3 а) ; б)

2.4 а) ; б)

2.5 а) ; б)

2.6 а) ; б)

2.7 а) ; б)

2.8 а) ; б)

2.9 а) ; б)

2.10 а) ; б)

 

Литература

1. Тер-Крикоров, А. М. Курс математического анализа: Учеб. пособ. для вузов / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. − М.: Наука, 1988. − 813 с.

2. Сборник задач по математическому анализу: Интегралы. Ряды: Учеб. пособие для вузов / Л. Д. Кудрявцев [и др.]; Под ред. Л. Д. Кудрявцева. − М.: Наука, 1986. − 528 с.

3. Справочное пособие по математическому анализу. Введение в анализ, производная, интеграл: Учеб. пособие для вузов / И. И. Ляшко [и др.]. − Киев.: «Вища школа», 1984. − 456 с.

4. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Учеб. пособие. В 3 ч. Ч. 2 / А. П. Рябушко [и др.]; Под общ. ред. А. П. Рябушко. − Мн.: Выш. шк., 1991. − 352 с.

5. Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты): Учеб. пособие для втузов. − М.; Высш. школа, 1983. − 175 с.


Учебное издание



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-12-21 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: