Утверждение 1. Если кривая Г задана уравнением
,
где непрерывно-дифференцируемые функции на отрезке , то длина кривой Г вычисляется по формуле:
.
Утверждение 2. Если кривая Г задана уравнением
,
то ее длина вычисляется по формуле:
.
Утверждение 3. Если кривая Г задана в полярных координатах
,
то длина кривой вычисляется по формуле:
.
Утверждение 4. Пусть криволинейная трапеция вращается вокруг оси . Объем полученного тела вращения вычисляется по формуле:
.
Пусть тело заключено между плоскостями, перпендикулярными оси и пересекающими эту ось в точках и . Обозначим через фигуру, получаемую в сечении тела плоскостью, перпендикулярной оси и проходящей через точку . Пусть при известна площадь фигуры , причем функция непрерывна на .
Утверждение 5. При указанных выше условиях объем тела вычисляется по формуле:
.
Пример. Вычислить объем, ограниченный эллипсоидом
.
► Проведем плоскость, перпендикулярную оси , через точку . В сечении получим эллипс . Запишем его уравнение в стандартном виде:
.
Площадь эллипса, получаемого в сечении . Тогда искомый объем
■
Утверждение 6. Если функция имеет непрерывную производную на , то площадь поверхности вращения, образованной вращением графика функции вокруг оси , вычисляется по формуле:
.
Если поверхность получена вращением вокруг оси кривой, заданной параметрически: , то
.
Если вокруг оси вращается кривая, заданная в полярных координатах уравнением , то
.
Задачи
1 Вычислить длины дуг кривых, заданных следующими уравнениями.
1.1 а) ;
б)
1.2 а) ;
б)
1.3 а) ;
б)
1.4 а) ;
б)
1.5 а) ;
б)
1.6 а) ;
б)
1.7 а) ;
б)
1.8 а) ;
б)
1.9 а) ;
б)
1.10 а) ;
б)
2 Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрически.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9 , ,
2.10
3 Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
4 Вычислить объёмы тел, образованных вращением вокруг оси Ох фигур, ограниченных данными кривыми.
4.1
4.2 ,
4.3
4.4
4.5
4.6 ,
4.7
4.8 , ,
4.9
4.10
5 Вычислить объёмы тел, ограниченных данными поверхностями.
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
6 Вычислить площадь поверхности, образованной вращением данной кривой вокруг оси Ох.
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
Тема 6
Несобственные интегралы
Необходимые понятия и теоремы
Определение 1. Пусть функция интегрируема на отрезке . Несобственным интегралом от функции на промежутке называется величина
.
Если последний предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. В противном случае интеграл называется расходящимся.
Определение 2. Пусть функция определена на конечном промежутке и интегрируема на отрезке . Несобственным интегралом от функции на промежутке называется величина
.
Пример 1. Исследовать на сходимость .
► . Следовательно, интеграл расходится ■
Пример 2. Исследовать на сходимость .
► .
Следовательно, интеграл сходится ■
Пример 3. Используя признаки сравнения,исследовать на сходимость .
► Представим данный интеграл в виде:
.
Так как при , а интеграл сходится, то и интеграл сходится.
Так как , а при , то из расходимости последнего интеграла следует и расходимость . Итак, данный интеграл расходится (как сумма сходящегося и расходящегося интегралов).
Задачи
1 Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
1.1 а) ; б) ; в)
1.2 а) ; б) ; в)
1.3 а) б) ; в)
1.4 а) ; б) ; в)
1.5 а) ; б) ; в)
1.6 а) ; б) ; в)
1.7 а) ; б) ; в)
1.8 а) ; б) ; в)
1.9 а) ; б) ; в)
1.10 а) ; б) ; в)
2 Используя признаки сравнения, исследовать на сходимость несобственные интегралы.
2.1 а) ; б)
2.2 а) ; б)
2.3 а) ; б)
2.4 а) ; б)
2.5 а) ; б)
2.6 а) ; б)
2.7 а) ; б)
2.8 а) ; б)
2.9 а) ; б)
2.10 а) ; б)
Литература
1. Тер-Крикоров, А. М. Курс математического анализа: Учеб. пособ. для вузов / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. − М.: Наука, 1988. − 813 с.
2. Сборник задач по математическому анализу: Интегралы. Ряды: Учеб. пособие для вузов / Л. Д. Кудрявцев [и др.]; Под ред. Л. Д. Кудрявцева. − М.: Наука, 1986. − 528 с.
3. Справочное пособие по математическому анализу. Введение в анализ, производная, интеграл: Учеб. пособие для вузов / И. И. Ляшко [и др.]. − Киев.: «Вища школа», 1984. − 456 с.
4. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Учеб. пособие. В 3 ч. Ч. 2 / А. П. Рябушко [и др.]; Под общ. ред. А. П. Рябушко. − Мн.: Выш. шк., 1991. − 352 с.
5. Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты): Учеб. пособие для втузов. − М.; Высш. школа, 1983. − 175 с.
Учебное издание