Теорема 1. Если функция 
непрерывна на отрезке 
и если 
– какая-нибудь первообразная для функции на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона-Лейбница:
.
Теорема 2. Если функции 
и 
имеют на отрезке 
непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:
.
Пример 1. Вычислить интеграл 
.
► 
■
Пример 2. Вычислить интеграл 
.
► 
■
Задачи
1 Вычислить интегралы с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
1.1 а) 
; б) 
; в) 
; г) 
1.2 а) 
; б) 
; в) 
; г) 
1.3 а) 
; б) 
; в) 
; г) 
1.4 а) 
; б) 
; в) 
; г) 
1.5 а) 
; б) 
; в) 
; г) 
1.6 а) 
; б) 
; в) 
; г) 
1.7 а) 
; б) 
; в) 
; г) 
1.8 а) 
; б) 
; в) 
; г) 
1.9 а) 
; б) 
; в) 
; г) 
1.10 а) 
; б) 
; в) 
; г) 
2 Вычислить определенные интегралы.
2.1 а) 
; б) 
2.2 а) 
; б) 
2.3 а) 
; б) 
2.4 а) 
; б) 
2.5 а) 
; б) 
2.6 а) 
; б) 
2.7 а) 
; б) 
2.8 а) 
; б) 
2.9 а) 
; б) 
2.10 а) 
; б) 
3 Вычислить интегралы, используя метод интегрирования по частям.
3.1 а) 
; б) 
3.2 а) 
; б) 
3.3 а) 
; б) 
3.4 а) 
; б) 
3.5 а) 
; б) 
3.6 а) 
; б) 
3.7 а) 
; б) 
3.8 а) 
; б) 
3.9 а) 
; б) 
3.10 а) 
; б) 
Тема 3
Замена переменной в определенном интеграле
Необходимые понятия и теоремы
Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке , функция 
имеет непрерывную производную на интервале 
, 
отображает отрезок 
на отрезок 
так, что 
, 
. Тогда справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:
.
Пример 1. Вычислить интеграл 
.
► 
■
Пример 2. Вычислить интеграл 
.
► 
■
Задачи
1 Вычислить интегралы, выполнив необходимую замену переменной.
1.1 а) 
; б) 
1.2 а) 
; б) 
1.3 а) 
; б) 
1.4 а) 
; б) 
1.5 а) 
; б) 
1.6 а) 
; б) 
1.7 а) 
; б) 
1.8 а) 
; б) 
1.9 а) 
; б) 
1.10 а) 
; б) 
2 Вычислить интегралы, используя тригонометрические подстановки.
2.1 а) 
; б) 
2.2 а) 
; б) 
2.3 а) 
; б) 
2.4 а) 
; б) 
2.5 а) 
; б) 
2.6 а) 
; б) 
2.7 а) 
; б) 
2.8 а) 
; б) 
2.9 а) 
; б) 
2.10 а) 
; б) 
3 Вычислить интегралы, используя универсальную тригонометрическую подстановку.
3.1 
3.6 
3.2 
3.7 
3.3 
3.8 
3.4 
3.9 
3.5 
3.10 
Тема 4
Вычисление площадей с помощью интегралов
Необходимые понятия и теоремы
Утверждение 1. Площадь 
криволинейной трапеции (рисунок 1) вычисляется по формуле:
.
Рисунок 1 − Криволинейная трапеция
Рассмотрим фигуру 
, ограниченную отрезками прямых 
и графиками непрерывных функций 
и 
, где 
при 
(рисунок 2).
Утверждение 2. Площадь фигуры (рисунок 2) вычисляется по формуле:
.
Рисунок 2 − Фигура 
Утверждение 3. Площадь криволинейного сектора (рисунок 3) вычисляется по формуле:
.
Рисунок 3 − Криволинейный сектор
Задачи
1 Вычислить площадь фигур, ограниченных графиками данных функций.
1.1 а) 
;
б) 
1.2 а) 
;
б) 
1.3 а) 
;
б) 
1.4 а) 
;
б) 
1.5 а) 
;
б) 
1.6 а) 
;
б) 
1.7 а) 
;
б) 
1.8 а) 
;
б) 
1.9 а) 
;
б) 
1.10 а) 
;
б) 
2 Решить задачу.
2.1 Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и линиями 
и 
.
2.2 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
.
2.3 Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
, и отрезком оси абсцисс, соединяющим две последовательные точки пересечения этого графика с осью абсцисс.
2.4 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
.
2.5 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией 
, осью ординат и прямыми 
и 
.
2.6 Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией 
и осью абсцисс.
2.7 Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией 
.
2.8 Круг 
разделен параболой 
на две части. Найти площадь меньшей части.
2.9 Парабола 
делит круг 
на две части. Найти площадь меньшей части.
2.10 Вычислить площади фигур, образованных пересечением эллипса 
и гиперболы 
3 Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданны-ми уравнениями в полярных координатах. Сделать чертёж.
3.1 а) 
;
б) 
, 
3.2 а) 
;
б) 
, 
3.3 а) 
;
б) 
, 
3.4 а) 
;
б) 
3.5 а) 
;
б) 
, 
3.6 а) 
;
б) 
3.7 а) 
;
б) 
, 
3.8 а) 
;
б) 
3.9 а) 
;
б) 
, 
3.10 а) 
;
б) 
, 
Тема 5
Вычисление длин кривых, объемов, площадей поверхностей