Необходимые понятия
Интеграл вида , где некоторая рациональная функция переменных и , можно свести к интегралу от рациональной функций с помощью подстановки:
.
Тогда .
Эта подстановка называется универсальной тригонометрической подстановкой.
Поскольку универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к громоздким вычислениям, то в частных случаях удобнее пользоваться следующими подстановками:
если , то ;
если , то ;
если , то или .
Пример 1. Найти .
►
■
Пример 2. Найти .
►
, где ■
Задачи
1 Найти интегралы от тригонометрических функций, выполнив необходимое преобразование подынтегрального выражения.
1.1 a) ; б)
1.2 а) ; б)
1.3 а) ; б)
1.4 а) ; б)
1.5 а) ; б)
1.6 а) ; б)
1.7 а) ; б)
1.8 а) ; б)
1.9 а) ; б)
1.10 а) ; б)
2 Найти интегралы от тригонометрических функций, выбрав необходимую подстановку.
2.1 а) ; б) ; в) ; г)
2.2 а) ; б) ; в) ; г)
2.3 а) ; б) ; в) ; г)
2.4 а) ; б) ; в) ; г)
2.5 а) ; б) ; в) ; г)
2.6 а) ; б) ; в) ; г)
2.7 а) ; б) ; в) ; г)
2.8 а) ; б) ; в) ; г)
2.9 а) ; б) ; в) ; г)
2.10 а) ; б) ; в) ; г)
3 Найти данные интегралы с помощью универсальной тригонометрической подстановки.
3.1 а) ; б)
3.2 а) ; б)
3.3 а) ; б)
3.4 а) ; б)
3.5 а) ; б)
3.6 а) ; б)
3.7 а) ; б)
3.8 а) ; б)
3.9 а) ; б)
3.10 а) ; б)
Определенные интегралы
Тема 1
Определение интеграла Римана
Необходимые понятия и определения
Пусть функция определена на отрезке . Разбиением Т отрезка называется множество точек , таких, что .
Обозначим – i-тый частичный отрезок разбиения, – длину этого отрезка.
Величину назовем мелкостью разбиения Т. Возьмем на каждом отрезке разбиения произвольную точку . Получим разбиение с отмеченными точками.
Сумма называется интегральной суммой для функции при заданном разбиении Т и фиксированных отмеченных точках .
Определение. Число I называется определенным интегралом от функции по отрезку , если для такое, что для любого разбиения Т, мелкость которого меньше , и при любом выборе отмеченных точек выполняется неравенство:
.
Обозначается определенный интеграл .
Данное определение интеграла означает, что число I является пределом интегральных сумм при мелкости разбиения , стремящейся к нулю, т. е. , причем этот предел не зависит от выбора отмеченных точек .
Если для функции существует число I, то функцию называют интегрируемой (по Риману) на отрезке , и говорят, что существует интеграл от функции на отрезке .
Пример. Вычислить интеграл как предел интегральных сумм, разбивая отрезок интегрирования на n равных частей и выбирая отмеченные точки в серединах отрезков интегрирования.
► Так как длина отрезка интегрирования равна 7, то .
Тогда .
Найдем координаты середин отрезков разбиения:
.
Составим интегральную сумму и вычислим её:
.
Заметим, что подынтегральная функция является интегрируемой (как непрерывная функция), а значит, величина интеграла не зависит ни от способа разбиения отрезка интегрирования, ни от выбора отмеченных точек. Значит, ■
Задачи
1 Вычислить интеграл как предел интегральных сумм, разбивая отрезок на n равных частей и выбирая точки в серединах отрезков разбиения.
1.1 , ,
1.2 , ,
1.3 , ,
1.4 , ,
1.5 , ,
1.6 , ,
1.7 , ,
1.8 , ,
1.9 , ,
1.10 , ,
2 Вычислить интеграл как предел интегральных сумм, выбирая точки разбиения так, чтобы их координаты образовывали геометрическую прогрессию.
2.1 , ,
2.2 , ,
2.3 , ,
2.4 , ,
2.5 , ,
2.6 , ,
2.7 , ,
2.8 , ,
2.9 , ,
2.10 , ,
Тема 2
Формула Ньютона-Лейбница