Известно, что ламинарное течение является строго упорядоченным слоистым течением без перемешивания жидкости; оно подчиняется закону трения Ньютона и вполне определяется этим законом. Поэтому теория ламинарного течения жидкости основывается на законе трения Ньютона.
Рис. 4.7. Ламинарное течение жидкости в трубе
Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости в прямой круглой цилиндричеокой трубе с внутренним диаметром d=2r. Чтобы исключить влияние силы тяжести и этим упростить вывод, воспользуемся трубой, расположенной горизонтально. Достаточно далеко от входа в нее выделим отрезок потока длиной l между сечениями 1 - 1 и 2 - 2 (рис. 4.7).
Пусть в первом сечении давление равно р1 а во втором р2. Ввиду постоянства диаметра трубы скорость и коэффициент a будут неизменными вдоль потока, поэтому уравнение Бернулли для выбранных сечений примет вид
| (4.10) |
где hТР - потеря напора на трение.
В потоке жидкости выделим цилиндрический объем радиуса r, соосный с трубой и имеющий основания в выбранных сечениях.
Запишем уравнение равномерного движения выделенного объема жидкости в трубе, т.е. равенство нулю суммы двух сил, действующих на объем: силы давления и силы сопротивления. Обозначая касательное напряжение на боковой поверхности цилиндра через t, получим
откуда
Из формулы видно, что касательные напряжения в поперечном сечении трубы изменяются по линейному закону в функции радиуса. Эпюра касательного напряжения показана на том же рис. 4.7 слева.
Выразим касательное напряжение t по закону трения Ньютона через коэффициент вязкости и поперечный градиент скорости; при этом заменим переменное у (расстояние от стенки) текущим радиусом r:
Знак минус обусловлен тем, что направление отсчета r (от оси к стенке) противоположно направлению отсчета у (от стенки). Подставляя значения t в предыдущее уравнение, получим
Найдем отсюда приращение скорости dv;
Положительному приращению радиуса соответствует отрицательное приращение (т.е. уменьшение) скорости, что соответствует профилю скоростей, показанному на рис. 4.7.
Выполнив интегрирование, получим
Постоянную интегрирования С найдем из условий, заданных на стенке, трубы, где при r=r0, v=0:
Значение скорости на окружности радиуса r таково:
| (4.11) |
Это есть закон распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном течении. Кривая, изображающая эпюру скоростей, оказывается параболой второй степени.
Максимальная скорость в центре сечения (при r=0) равна
| (4.12) |
Входящее в формулу (6.1) отношение рТР/l, как видно из рис. 4.7, представляет собой гидравлический (пьезометрический) уклон, умноженный на g. Эта величина является постоянной вдоль прямой трубы постоянного диаметра.
Применим полученный нами закон распределения скоростей (4.11) для подсчета расхода. Для этого выразим сначала элементарный расход через бесконечно малую площадь dS
Здесь v есть функция радиуса, определяемая формулой (4.11), а площадку dS целесообразно взять в виде кольца радиусом r и шириной dr, тогда
После интегрирования по всей площади поперечного сечения, т.е. от r=0 до r=r0, будем иметь
| (4.13) |
Найдем среднюю по сечению скорость делением расхода на площадь:
| (4.14) |
Сравнивая (4.14) с (4.12), получим следующую зависимость
Для получения закона сопротивления, т.е. выражения потери напора на трение hТР через расход и размеры трубы, определим рТР из формулы (4.13):
Разделив уравнение на g, получим потерю напора:
Заменяя (m через nr и g через gr, а также переходя от r0 k d=2 r0, окончательно получим
| (4.15) |
| Полученный закон сопротивления показывает, что при ламинарном течении в круглой трубе потеря напора на трение пропорциональна расходу (скорости) и вязкости в первой степени и обратно пропорциональна диаметру в четвертой степени. Этот закон, часто называемый законом Пуазейля-Гагена, используется для расчета трубопроводов с ламинарным режимом течения. |
Выше мы условились потери напора на трение выражать через среднюю скорость.
Приведем закон сопротивления (4.15) к виду
Для этого в формуле (4.15) заменим расход через произведение pd2 vср/4; после сокращений
Умножив и разделив правую часть уравнения на 2vср после перегруппировки множителей получим
или, окончательно найдем
| (4.16) |
где
| (4.17) |
Индекс " л " при l поставлен для того, чтобы подчеркнуть, что здесь речь идет о ламинарном течении.
Следует иметь в виду, что потеря напора на трение при ламинарном течении пропорциональна скорости в первой степени. Не следует забывать, что квадрат скорости в формуле (4.16) для ламинарного течения получен искусственно умножением и делением на vср и что коэффициент lл обратно пропорционален числу Re и, следовательно, скорости vср.
Зная закон распределения скоростей по сечению трубы (4.11) и связь средней скорости с потерей напора (4.14), легко определить значение коэффициента a, учитывающего неравномерность распределения скоростей в уравнении Бернулли, для случая стабилизированного ламинарного течения жидкости в круглой трубе.
Коэффициент a можно получить с учетом следующих выражений
и
После сокращений будем иметь
Заменив переменную:
получим
| (4.18) |
| Итак, истинная кинетическая энергия ламинарного потока с параболическим распределением скоростей в два раза превосходит кинетическую энергию того же потока, но при равномерном распределении скоростей. |
| Таким же образом, можно показать, что секундное количество движения ламинарного потока с параболическим распределением скоростей в b раз больше количества движения того же потока, но при равномерном распределении скоростей, |
причем; коэффициент b равен постоянной величине:
Изложенная теория ламинарного течения жидкости в круглой трубе в общем хорошо подтверждается опытом, и выведенные законы сопротивления и распределения скоростей обычно не нуждаются в каких-либо поправках, за исключением следующих случаев.
1. При течении в начальном участке трубы, где происходит постепенное установление параболического профиля скоростей. Сопротивление на этом участке получается больше, чем на последующих участках трубы. Однако это обстоятельство учитывают лишь при расчете очень коротких труб. Более подробно этот вопрос рассмотрен в следующем параграфе.
2. При течении со значительным теплообменом, т.е. в том случае, когда движение жидкости сопровождается ее нагреванием или охлаждением.
3. При очень высоких перепадах давления.