Хотя в кристалле может быть несколько разных элементов симметрии, их совокупность не может быть произвольной. Трехмерная периодичность структуры кристалла накладывает жесткие ограничения на возможные сочетания элементов симметрии. Дело в том, что элементы симметрии связаны друг с другом, взаимозависимы. Действительно, последовательное выполнение двух операций симметрии g1 и g2 само является операцией симметрии, так как оставляет фигуру неизменной: А(g1)→ А´(g2)→А´´ эквивалентно А(g3)→А´´. Эта третья операция g3называется равнодействующей двум первым g1и g2, а последовательное выполнение двух операций симметрии – умножением операций. Таким образом, если G –полный набор операций симметрии данной фигуры, аg1, g2 єG – операции из этого набора, тоg1◦g2 єG–операция из этого же набора. Поскольку это верно для любых операций симметрии из данного набора, то они составляют замкнутую группу (т.е. последовательным перемножением всех пар операций мы получим все операции из этой же группы, и ничего сверх этого).
В геометрической кристаллографии принято говорить не об умножении операций симметрии, а о сложении элементов симметрии. Правила, которые позволяют по двум элементам симметрии найти третий, им равнодействующий элемент симметрии, называются теоремами сложения. Рассмотрим эти теоремы.
Все элементы симметрии кристаллических многогранников являются осями симметрии – простыми или инверсионными (m и C сводятся к Li2 и Li1 соответственно). Поэтому все теоремы сложения для многогранников являются частными случаями общей теоремы Эйлера: поворот вокруг двух пересекающихся осей симметрии эквивалентен повороту вокруг третьей оси, им равнодействующей (и проходящей через точку их пересечения). При практическом определении элементов симметрии кристаллических многогранников теоремой Эйлера пользоваться неудобно. Поэтому используют более простые частные варианты этой теоремы.
Теорема 1. Две поворотные оси симметрии второго порядка, пересекающиеся под углом λ, дают в качестве равнодействующей поворотную ось симметрии порядка n с элементарным углом поворота α=2λ, перпендикулярную обеим исходным осям.
Следствие 1а. Если поворотной оси симметрии порядка n перпендикулярна поворотная ось симметрии второго порядка, таких осей второго порядка будет n (столько, каков порядок исходной оси).
Следствие 1б. Если инверсионной оси симметрии порядка nперпендикулярна поворотная ось симметрии второго порядка, таких осей второго порядка будет столько, каков порядок простой оси, совпадающей с инверсионной (3 для Li3, 2 для Li4, 3 для Li6).
Теорема 2. Две плоскости симметрии, пересекающиеся под углом λ, дают в качестве равнодействующей поворотную ось симметрии порядка n с элементарным углом поворота α=2λ, совпадающую с линией пересечения исходных плоскостей.
Следствие 2а. Если через поворотную ось симметрии порядка n проходит плоскость симметрии, таких плоскостей будетn (столько, каков порядок исходной оси).
Следствие 2б. Если через инверсионную ось симметрии порядка n проходит плоскость симметрии, таких плоскостей будет столько, каков порядок простой оси, совпадающей с инверсионной (3 для Li3, 2 для Li4, 3 для Li6).
Теорема 3. Поворотная ось симметрии второго порядка и плоскость симметрии, пересекающиеся под углом λ, дают в качестве равнодействующей инверсионную ось симметрии порядка nс элементарным углом поворота α=180○-2λ, лежащую в плоскости симметрии и перпендикулярную исходной оси второго порядка. (З амечание: если вместо плоскости симметрии рассмотреть перпендикулярную ей инверсионную ось второго порядка, пересекающуюся с исходной поворотной осью под углом λ´=90○-λ, получим α=2λ´, как и для предыдущих теорем).
Следствие 3а. Если через инверсионную ось симметрии с элементарным углом поворота α проходит плоскость симметрии, то имеется перпендикулярная инверсионной оси поворотная ось симметрии второго порядка под углом к плоскости симметрии λ=90○-α/2. Аналогично, ось L2,перпендикулярная инверсионной оси, дает плоскость симметрии, проходящую через инверсионную ось и делающую с осью L2угол λ=90○-α/2.
Следствие 3б. Если плоскость симметрии перпендикулярна поворотной оси симметрии второго порядка, то на их пересечении имеется центр инверсии. Справедливы и все перестановки в этом утверждении: центр инверсии и плоскость симметрии дают L2, перпендикулярную плоскости; центр инверсии и ось L2 дают плоскость симметрии, перпендикулярную оси (см. рис.2.10).
Поскольку любая ось симметрии четного порядка включает ось второго порядка (поворот на 180○ равен 2×90○ или 3×60○), то следствие 3б можно расширить: ось четного порядка и перпендикулярная ей плоскость симметрии дают на их пересечении центр инверсии. Удобно также следующее расширение: если есть центр инверсии, то плоскостей симметрии столько, сколько осей четного порядка (и наоборот).
Использование теорем сложения значительно облегчает определение элементов симметрии кристаллических многогранников.