Итак, мы решили СУШ. А что такое СУШ? – Это уравнение на собственные функции энергии 
. Поэтому, решив его, надо обязательно проверить, удовлетворяет ли найденная пси-функция стандартным условиям.
Во всех трёх областях: СО-1, СО-2 и в яме пси-функция – ограниченная, однозначная и непрерывная. Поэтому, казалось бы, стандартные условия выполняются. Но это не совсем так. Дело в том, что найденная пси-функция – кусочно-непрерывная. Это вполне естественно, так как кусочно-непрерывной является входящая в СУШ функция U (x). А может ли всё же пси-функция оказаться строго непрерывной?
В решение СУШ входят 4 произвольные постоянные A, B, C и D, поэтому можно попытаться подобрать их так, чтобы добиться строгой непрерывности пси-функции. Для этого надо, чтобы выполнялись равенства:
и 
.
Эти равенства называются граничными условиями или условиями сшивания.
Выясним, к чему они приводят.
, 
, 
.
Отсюда следует, что 
. Далее.
, 
;
, 
.
Тогда второе условие сшивания даёт: 
.
Итак, имеем систему двух уравнений:
Эта система – алгебраическая, неизвестные в ней – это числа A, B, C и D. Неизвестных больше, чем уравнений, поэтому для однозначного определения констант A, B, C и D нужны ещё два уравнения. Откуда их взять? – Мы ещё вернёмся к этому вопросу, а пока попытаемся его обойти.
Обратите внимание на параметр 𝜘. Его физический смысл – это коэффициент затухания пси-функциив классически недоступной области.
.
Если яма очень глубокая, то есть 
,то 𝜘 – очень большое число, и пси-функции Ψ 1(x) и Ψ 3(x) исчезающе малы.Для такой ямы можно считать, что пси-поле в классически недоступную область не проникает: 
и 
, и частица строго заперта в потенциальной яме.
Формально, то есть с математической точки зрения, это означает, что 
, и такую потенциальную яму можно назвать бесконечно глубокой. С физической точки зрения, данную ситуацию можно понимать, как исследование стационарных состояний, энергия которых много меньше глубины потенциальной ямы: 
.
Для бесконечно глубокой ямы условия сшивания проще:
, 
.
Из первого условия следует:
,
Тогда функция Ψ 2(x) равна:
.
Из второго граничного условия следует:
.
Это равенство может выполниться в двух случаях.
Первый случай: A = 0. Тогда получается, что 
для всех значений x, так что никакого пси-поля нет. А значит, нет и частицы. Это – тривиальный, то есть не интересный результат.
Второй случай: 
,где n – целое число. Этот результат означает квантование волнового числа k:
. 
Значение n не может быть равно нулю, так как при этом k обращается в нуль и пси-функция 
– тоже.
Волновое число частицы однозначносвязано с энергией частицы:
.
Поэтому квантование волнового числа означает квантование энергии:
,
Как уже говорилось ранее (в лекции о дискретности), целое число, входящее в формулу квантования любой динамической переменной, называется квантовым числом. Поэтому n – это квантовое число. Более того, принято квантовое число, определяющее дискретные значения энергии, называть главным квантовым числом. В данном случае главное квантовое число имеет простой смысл: это – номер энергетического уровня в порядке нарастания энергии.
Определение 1. Стационарное состояние частицы с минимально возможной энергией называется основным. Все остальные стационарные состояния называются возбуждёнными.
В соответствии с законом релаксации, основное состояние является устойчивым, а остальные состояния – неустойчивые. В устойчивом состоянии частица, естественно, пребывает основную часть времени.
Заметьте: то, что энергия частицы, находящейся в прямоугольной потенциальной яме, квантуется, то есть является дискретной динамической переменной, характерно вообще для любых потенциальных ям. Всякая яма локализует частицу и превращает её энергетический спектр в дискретный.
Закон связанных состояний.
Энергия частицы в связанных состояниях квантуется, то есть её спектр – дискретный.
А ещё квантуется длина стоячей пси-волны, которая устанавливается в яме.
.
В основном состоянии (n = 1) в яме устанавливается одинэлемент стоячей волны (два узла на границах ямы, где никаких колебаний не происходит, и одна пучность в центре ямы, где амплитуда колебаний максимальна): 
, в первом возбуждённом состоянии – два элемента: 
и так далее. Количество элементов стоячей волны в яме равно главному квантовому числу n.