Матричные игры
Общие понятия теории игр и использование её в конфликтных ситуациях
В практической деятельности человека часто возникают ситуации, когда нужно принимать решение наряду с решениями, которые принимают другие люди. При этом принимаемые решения другими людьми, могут, как способствовать благоприятной ситуации для конкретного человека, так и могут создать неблагоприятные условия для принятия решения. Возникает ситуация, когда решения принимаются в условиях, которые заранее предопределить нельзя. Для таких ситуаций используются методы, которые применяются в теории игр. Так как часто принимаемые решения создают условия менее благоприятные для остальных участников, то теорию игр связывают с теорией, исследующей конфликтные ситуации.
Под игрой мы будем понимать математическую модель ситуации, в которой участники принимают решения независимо друг от друга, а результатом принятых решений будут количественные оценки приобретений либо потерь, которые получают участники в зависимости от выбранных всеми решений. Участники ситуации, принимающие решения, называются игроками, а их приобретения или потери – выигрышами или проигрышами соответственно. Участников игры мы будем называть игроками.
Для матричной игры как для математической модели ситуации задаётся система условий, которая формулируется в виде правил игры. Правила игры предполагают: 1. Для каждого игрока задаются варианты действий, которые мы будем называть стратегиями. 2. Информация о поведении остальных игроков. 3. Выигрыш или проигрыш, который получит каждый игрок при выборах всеми игроками своих стратегий.
Целью теории игр является определение оптимальных стратегий каждого из игроков при их стремлении получить наибольший выигрыш.
|
|
Игра называется парной, если в ней участвует два участника и множественной, если число участников три и более. Игра называется антагонистической, если для одних участников игры определяются выигрыши, а для других проигрыши. Игра называется с нулевой суммой, если при любой совокупности принятых решений, суммарный выигрыш игроков равняется нулю.
С точки зрения практического применения теории игр выигрыш и проигрыш игроков являются значением заданного показателя эффективности.
Игра называется конечной, если у каждого из игроков конечное количество стратегий, которые он может выбирать. Если же, хотя бы у одного игрока бесконечное число стратегий, то игра называется бесконечной. Мы будем рассматривать только конечные игры.
Игрок в игре может выбирать стратегии осознанно, основываясь на информацию о возможных решениях других игроков, или случайным образом, выбирая свои стратегии наугад. Во втором случае игра будет считаться неопределённой с точки зрения выбора стратегий игроками, играющими неосознанно. Неосознанный выбор стратегий игроками рассматривается в играх с природой, теория которых является одной из теорий в теории игр.
Так как выигрыши и проигрыши игроков могут определяться с помощью матриц, то такие игры называются матричными.
Парные антагонистические матричные игры с нулевой суммой
Из всего многообразия матричных игр мы будем рассматривать только антагонистические парные игры с нулевой суммой, предполагая, что оба игрока играют осознанно. В такой игре полагается, что первый игрок, игрок А, в результате игры выигрывает, а второй игрок, игрок В, проигрывает. При этом проигрыш игрока В равняется выигрышу игрока А. В дальнейшем эту игру мы просто будем называть матричной игрой, если не будет дополнительно оговорено о какой игре идёт речь.
|
|
Будем полагать в этой игре, что у игрока А имеются стратегии А1, А2, …, Аm, одну из которых он может использовать в матричной игре, у игрока В имеются стратегии В1, В2, …, Вn, из которых он выбирает для игры в матричной игре. Выигрыши игрока А, проигрыши игрока В, определяются матрицей С, элемент которой 
равен выигрышу игрока А, если он выберет стратегию Аi, а игрок В стратегию ВjЭтот выигрыш также будем обозначать 
. То есть = . Матрицу С будем называть платёжной и записывать в виде: 
.
Целью игрока А в этой матричной игре будет выбор такой стратегии, при которой он получит как можно больший выигрыш, а у игрока В – выбор такой стратегии, при которой он получит как можно меньший проигрыш.
Таким образом, задача в матричной игре ставится так. Для заданной платёжной матрицы С определить такие стратегии игрока А и игрока В, при которых они получают наибольший выигрыш и наименьший проигрыш соответственно.
Однозначно решить эту задачу нельзя, так как выбор стратегий игроками определяется ими в независимости друг от друга и исход игры не определён. Поэтому в матричной игре задаётся некоторый показатель, критерий для него, с помощью которых определяется эффективность действий игроков.