Тема: 17. Математическое моделирование в экологии.

Цель занятия: Способствовать формированию системы теоретических знаний по математическому моделированию.

Задачи: 1. Раскрыть задачи моделирования в экологии человека.

2. Изучить принципы создания баз данных.

3. Изучить типы математических моделей для антропоэкологических исследований.

4. Раскрыть будущее человечества: глобальный антропоэкологический прогноз.

Студент должен знать:

1) до изучения темы: некоторые понятия математического моделирования.

2) после изучения темы: типы математических моделей для антропоэкологических исследований, принципы создания баз данных.

Студент должен уметь: составлять простейшую модель эпидемии.

Содержание занятия:

1. Вводный контроль. нет.

2. Беседа по теме занятия.

Задачи моделирования в экологии человека. Принципы создания баз данных.

Типы математических моделей для антропоэкологических исследований.

Будущее человечества: глобальный антропоэкологический прогноз. Динамика популяций простейшая модель эпидемии.

3. Практическая работа.

«Составление простейшей модели эпидемии».

Цель работы: Ознакомиться с составлением математических моделей.

Ход работы:

За многие годы существования человечества огромное число людей погибло от разных эпидемий. Для того чтобы уметь бо­роться с эпидемиями, т.е. своевременно проводить тот или иной комплекс мероприятий (прививки, вакцины, карантин и т.д.), необходимо уметь оценивать эффективность каждого та­кого комплекса и выбрать наиболее оптимальный для данного вида эпидемии (холера, чума, грипп, СПИД и т.д.). Оценка эф­фективности базируется, как правило, на прогнозе о протекании эпидемий. Отсюда вытекает задача построения модели, которая могла бы служить целям прогноза. Самой простой моделью яв­ляется описание естественного хода эпидемии без применения каких-либо профилактических мероприятий.

Итак, пусть имеется N здоровых людей, и в момент времени t = 0 в эту группу попадает один заболевший человек (источник инфекции). Предположим, что удаления заболевших из группы не происходит и человек становится источником инфекции сра­зу же, как заразился сам.

Обозначим через х (t) число источников инфекции в момент времени t, а через y(t) — число еще не заболевших, (часть из них, естественно, может заболеть с течением времени).

Очевидно, что x(t) +y(t) = N +1 в любой момент времени t, причём при t = 0 выполняется условие х (0) = 1.

Рассмотрим интервал времени t, t + ∆t, где ∆t достаточно мало.

Естественно, что число больных ∆ х, появившихся за этот интервал, пропорционально ∆t (∆х≈ ∆t). Естественно также предположить, что это число пропорционально числу контактов между больными и здоровы­ми, т.е. произведению х (t)у(t).

Таким образом, ∆ х ≈α х (t)y(t)dt, где α — коэффициент пропорциональности. Устремляя ∆t к нулю из последнего соотношения, получим дифференциальное уравнение:

dх

— = α х (t) (N +1 - x(t)), (9.14)

dt

которое вместе с начальным условием

х(0) = 1 (9.15)

определяет функцию x(t). Уравнение (9.14) по виду является логистическим. По­этому сразу можно записать решение x(t) задачи Коши (9.14), (9.15) в удобном виде:

х (t)= N + 1______ t > 0 (9.16)

N_е^-a(N+1)t+1 '

Итак, число заболевших — функция времени. Проанализи­руем эту функцию. Из уравнения (9.16) вытекает, что с течени­ем времени число заболевших может только увеличиваться, а все здоровые люди заболеют, так как lim х (t) = N +1, t→∞

Конечно, это грубая модель, не учитывающая естественного иммунитета у здоровых людей к данному заболеванию.

Интересно выяснить, как меняется скорость увеличения чис­ла больных, т. е. величина

dх = α(N +1 )² _е^-a(N+1)t t> 0 (9.17)

(N_е^-a(N+1)t+1)²

dt

Для решения этого вопроса нужно изучить величину — d²х

dt²

Дифференцируя уравнение (9.17), получаем

d²х = α² ( N +1)³е^{- a(N+1)t} [ N_е^-a(N+1)t-1 ] t > 0 (9.18)

dt² (N _е ^{- a(N+1)t}+1)³

Из этого уравнения вытекает, что — d²х > 0 при t ≡{0, ln N }

dt² { α (N+1) }

d²х < 0 при t ≡{ ln N, +∞}

dt² { α (N+1) }

Следовательно, скорость возрастания заболевших — функция d²х растет до момента t = ln N___

dt² α (N+1)

а затем убывает. Несмотря на грубость модели, этот результат совпадает с экспериментальными данными: в начале эпидемии число заболевших резко возрастает, а впоследствии скорость распространения инфекции снижается.

Для сравнения приведем результаты использования более сложных моделей развития гриппозной эпидемии в Москве, где население составляет 8,5 млн человек. Это позволит нам также определить численные значения параметров N и α, при которых наша модель более реалистична.

Началу эпидемии соответствует число заболевших 79,1 тыс. человек, откуда

N = 8,5 млн / 79,1 тыс. ≈ 1100 человек. Пик заболеваемости приходится на 46-й день, т. е.

46 α = ln 1100, откуда α≈__ 7 ____≈10^-4

1101 46*1101

По формуле (9.16) находим число больных

х (46)= 1101 __=125.

1101е^-5+1

По отношению к 1100 чел. это составляет 11%, что согласуется с экспериментальными данными, где чис­ло больных равно 981 тыс. человек и составляет 11,5%. Конечно, применение соответствующих профилактических мер дает значи­тельный положительный эффект, пик числа больных снижается с 981 тыс. до 122 тыс. человек, однако создание соответствующей ма­тематической модели — существенно более трудная задача.

Результаты: Оформляются в тетради.

Выводы: Подводится итог о возможности моделирования в экологии.