Центрально сжатый стержень при значительной длине и малом сечении может при определенной величине внешней осевой нагрузки утратить заданную прямолинейную форму, т.е. продольно изогнуться. Это явление называется потерей устойчивости (продольным изгибом), оно связано с возникновением в стержне недопустимо больших напряжений и перемещений; т.е. с выходом конструкции из строя.
Осевая сила, при которой происходит потеря устойчивости прямолинейной формы сжимаемого стержня, называется критической и обозначается Ркр.
Для определения критической силы можно применить формулу Эйлера
(48)
где 
минимальная жесткость поперечного сечения стержня;
l – длина стержня;
μ – коэф. приведения длины, зависящей от условий закрепления концов стержня.
Формула Эйлера применима лишь в том случае, когда потеря устойчивости стержня происходит при напряжениях, меньших предела пропорциональности.
(49)
или когда гибкость стержня 
больше предельной гибкости 
Когда известно значение критической силы, то допускаемая нагрузка определяется по требуемому (нормативному) запасу на устойчивость «К».
(50)
В случае неприменимости формулы Эйлера (для стержней с 
пред.) расчет можно вести по эмпирической формуле Ясинского Ф.С.
(51)
где а и в – коэффициенты, постоянные для каждого материала. Так, для стали 3 а=310МПа, в=1,14МПа; для дерева а=29,3МПа, в=0,19МПа или по практической формуле.
(52)
где φ 
1, коэффициент продольного изгиба, зависящий от свойств материала и гибкости стержня.
- допускаемое напряжение на сжатие.
При выполнении проектного расчета (подбора размеров поперечного сечения) 
(53)
Приходится использовать метод последовательных приближений (метод итераций):
|
|
1.Задаемся значением 
Вычисляем по (53) площадь сечения, минимальный радиус инерции iMIN= 
гибкость стержня и по ней определяем, например в табл. 47 [I] коэф. 
2.Сравниваем 
и , если разница 
более 5%, то делаем следующее приближение при коэф. 
и процесс вычислений повторяем до тех пор, пока 
. Обычно необходимо проделать 2-3, иногда 4 приближения.
Примеры решения задач.
Подобрать сечение стойки картофелеуборочного комбайна (рис. 74) состоящего из 2-х швеллеров расчетом на устойчивость, если Р=148кН, l=2,4м, =160МПа (сталь 3). Определить также расстояние «а» между швеллерами, чтобы обеспечить разноустойчивость во всех направлениях и запас по устойчивости Ку.
Рис. 74
Решение:
1.Расчет на устойчивость ведем по практической формуле (52) и (53) методом последовательных приближений.
2.Задаемся 
Тогда 
По сортаменту ГОСТ 8240 – 83 выбираем два швеллера №6,5 у которых F=7,51см2,
ix=imin=2,54см (потому, что iy мощно менять за счет раздвижения швеллеров).
3.Считаем гибкость стойки, учитывая, что для заданного вида закрепления концов стойки 
По таблице 47[1] для стали 3 этой гибкости соответствует коэф. 
Разница значительна.
4.Делаем второе приближение при 
По сортаменту выбираем швеллер №5, у которого F=6,16см2; ix=1,92см;
Таким образом, принимаем два швеллера №5 с F=6,16см2; iy =0,454см;
Z0=1,16см; в=32 мм.
5.Величину критического напряжения определяем по Ясинскому Ф.С. (формула 51), т.к. в нашем случае 
6.Тогда критическая сила равна
7.Запас по устойчивости будет равен
7. Равноустойчивость стойки во всех направлениях будет обеспечена если осевые моменты инерции будут равны, т.е Jx=Jy (рис. 75)
|
|
2 Jx=2Jy= Jy1+F*c2
Отсюда 
Тогда расстояние «а» будет равно
Рис. 75
а=2(с+z0-b)=2(1.67+1.16-3.2)=-0.74см
Следовательно, полки у швеллера надо подогнуть на 3,7 мм и оба швеллера сварить встык.
Варианты домашних заданий.
В задание №6 входит расчёт на устойчивость одной стойки заданного сечения, длинной l и нагруженной осевой ожимающей силой Р. (см. таб.7)
1) Подбор размеров сечения указанной формы;
2) Определение критической силы по Эйлеру или Ясинскому;
3) Установление критического запаса по устойчивости заданной стойки.
Исходные данные для задания №6
Таблица 7
| № варианта | Схема стойки | Форма сечения | Р, кН | l, м | 
МПа
|
| 
| 3,2 | |||
| 2,5 | |||||
| 3,0 | |||||
| 
| 2,5 | |||
| 3,0 | |||||
| 2,6 | |||||
| 
| 2,2 | |||
| 2,8 | |||||
| 2,0 | |||||
| 
| 2,4 | |||
| 3,0 | |||||
| 3,1 | |||||
| 
| 1,8 | |||
| 2,2 | |||||
| 2,0 | |||||
| 
| 2,2 | |||
| 2,5 | |||||
| 3,0 | |||||
| 
| 2,5 | |||
| 2,2 | |||||
| 2,0 | |||||
| 
| 2,7 | |||
| 2,4 | |||||
| 2,2 | |||||
| 
| 2,5 | |||
| 2,2 | |||||
| 2,5 | |||||
| 
| 2,5 | |||
| 2,8 | |||||
| 1,8 |
Литература:
1. Писаренко Г.С. и др. Справочник по сопротивлению материалов. Наукова Думка, Киев, 1988г.
2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. «Сопротивление материалов», М., Высшая школа, 1989 г.
3. Феодосьев В.И. «Сопротивление материалов», М., Высшая школа, 1986 г.
|
|
4. Костенко Н.А. и др. «Сопротивление материалов», М., Высшая школа, 2000 г.
5. Александров А.В. и др. «Сопротивление материалов», М., Высшая школа, 1995 г.
6. Ицкович Г.М. и др «Руководство к решению задач по сопротивлению материалов», М., Высшая школа, 1999 г.
7. Алмаметов Ф.З. и др. «Расчётные и курсовые работы по сопротивлению материалов», М., Высшая школа, 1992 г.
8. Баловнёв Г.Г., Чернов Ю.В. «Сборник задач по сопротивлению материалов», М., МСХА, 1993 г.
9. Миролюбов И.Н. и др. «Пособие к решению задач по сопротивлению материалов», изд. Высшая школа, М., 1985 г.
Приложения
Приложение 1
Физико-механические характеристики материалов
| Материал | Модуль упругости Е*10-5, МПа | Модуль сдвига G*10-4 МПа | Коэффициент поперечной деформации
| Удельный вес  ,кН/м3
|
| Сталь: | ||||
| углеродистая | 2,0...2,1 | 8,0...8,1 | 0,24...0,33 | 78,5 |
| легированная | 2,1...2, 2 | 8,0...8,1 | 0,25...0,30 | 77, 5...78, 5 |
| Серый чугун | 0,78...1,5 | 4,4 | 0,23...0,27 | 68... 76 |
| Оловянная | ||||
| бронза | 0,75…1,20 | - | 0,32...0,35 | 87,6... 88, 2 |
| Прокатная медь | 1,0...1,1 | 4,3 | 0,28...0,34 | 89,4 |
| Сплавы: | ||||
| алюминиевые | 0,69...0,71 | 2,7 | 0,33 | 26,4...28,0 |
| магниевые | 0,39... 0,44 | - | ,.. 0,34 | 17, 6...18,0 |
| титановые | 1,1...1,2 | 4,0 | 0,30 | 4,5 |
| Дерево вдоль | ||||
| волокон | 0,09...0,15 | 0,055 | - | 4, 8...5, 4 (сосна) |
| Текстолит | 0,04...0,06 | - | - | 13... 14, 5 |
| Винипласт | 0,03...0,04 | - | 0,35...0,37 | 13, 8...14,3 |
| Капрон | 0,014... 0,020 | 0,045... 0,048 | 0,35...0,38 | 11,0... 11,4 |
| Стекловолокнит | 0,35 | - | 0,29 | 17;0...18,0 |
| Полиэтилен НД | 0,005...0,008 | - | 0,39 | 9, 2...9, 7 |
Приложение 2
Механические характеристики материалов
| Материал | Предел прочности 
| Предел текучести
| Относительное удлинение,  %
| Предел выносливости, МПа | |||
| 
| ||||||
| Углеродистые стали обыкновенного качества | |||||||
| Ст2кп | 330…420 | 200…220 | 30…33 | 170…220 | 80…130 | ||
| Ст2пс(сп) | 340…440 | 210…230 | 29…32 | ||||
| Ст3кп | 370…470 | 220…240 | 24…27 | 170…220 | 100…130 | ||
| Ст3пс(СП) | 380…490 | 230…250 | 23…26 | ||||
| Ст4кп | 410…520 | 240…260 | 22…25 | 190…250 | - | ||
| Ст4пс(СП) | 420…540 | 250…270 | 21…24 | ||||
| Ст5пс(СП) | 500…640 | 270…290 | 17…20 | 220…300 | 130…180 | ||
| Ст6пс(сп) | 300…320 | 12…15 | 250…340 | 150…200 | |||
| Углеродистые качественные стали (нормализированные) | |||||||
| 340...420 | 160…220 | 80…120 | |||||
| 420…500 | 170…220 | 100…130 | |||||
| 500…600 | 200…270 | 110…140 | |||||
| 580…700 | 230…320 | 140…190 | |||||
| 610…750 | 250…340 | 150…200 | |||||
| 640…800 | 270…350 | 160…210 | |||||
| 690…900 | 310…380 | 180…220 | |||||
| Легированные стали | |||||||
| 20Х | 720…850 | 400…650 | 310…380 | 170…230 | |||
| 40Х | 730…1050 | 650…900 | 15,5 | 320…480 | 210…260 | ||
| 45Х | 850…1060 | 700…950 | 400…500 | - | |||
| 40ХН | 1000…1450 | 800…1300 | - | 460…600 | - | ||
| 30ХГСА | 1100…1700 | 850…1500 | 480…700 | 280…400 | |||
| 60Г | - | - | |||||
| Серые и высокопрочные чугуны | |||||||
| СЧ18 | 180(700) | - | - | - | |||
| СЧ24 | 240(1000) | - | - | ||||
| ВЧ45 | 450…550 (1800…2000) | 180…200 | - | ||||
| ВЧ50 | 500…600 (1700…1800) | 200…220 | 170…210 | ||||
| Алюминиевые деформируемые сплавы | |||||||
| АМЦ | - | ||||||
| АД-31 | - | ||||||
| АМг5 | - | ||||||
| АМг6 | - | ||||||
| Д16Т | 400…430 | 280…300 | - | ||||
| Медные сплавы | |||||||
| Латунь, Л68: | |||||||
| Мягкая | 300…380 | - | - | ||||
| Твёрдая | 440…550 | - | - | ||||
| Бронза: | |||||||
| Бр.АМц | |||||||
| 9-2 | 480…550 | - | 20-12 | - | - | ||
| Титановые сплавы | |||||||
| ОТ-4 | 700…850 | 550…600 | 10…40 | - | |||
| ВТ-8 | 1050…1800 | 950…1100 | 9…15 | - | |||
Приложение 3
Сталь горячекатаная
Балки двутавровые ГОСТ 8239 - 89
| № балки | h, мм | b, мм | s, мм | t, мм | Площадь сечения F,см2 | Масса 1м, кг | Справочные величины для осей | ||||||
| х -х | У - У | ||||||||||||
| Jx, см4 | Wx, cм3 | Lx, см | Sx, см3 | Jy, см4 | Wy, см3 | Ly, см | |||||||
| 4,5 | 7,2 | 12,0 | 9,46 | 39,7 | 4,06 | 23,0 | 17,9 | 6,49 | 2,22 | ||||
| 4,8 | 7,3 | 14,7 | 11,50 | 58,4 | 4,88 | 33,7 | 27,9 | 8,72 | 1,38 | ||||
| 4,9 | 7,5 | 17,4 | 13,70 | 81,7 | 5,73 | 46,8 | 41,9 | 11,50 | 1,55 | ||||
| 5,0 | 7,8 | 20,2 | 15,90 | 109,0 | 6,57 | 62,3 | 58,6 | 14,50 | 1,70 | ||||
| 5,1 | 8,1 | 23,4 | 18,40 | 143,0 | 7,42 | 81,4 | 82,6 | 18,40 | 1,88 | ||||
| 18а | 5,1 | 8,3 | 25,4 | 19,90 | 159,0 | 7,51 | 89,8 | 114,0 | 22,80 | 2,12 | |||
| 5,2 | 8,4 | 26,8 | 21,00 | 184,0 | 8,28 | 104,0 | 115,0 | 23,10 | 2,07 | ||||
| 20а | 5,2 | 8,6 | 26,9 | 22,70 | 203,0 | :8,37 | 114,0 | 155,0 | 28,20 | 2,32 | |||
| 5,4 | 8,7 | 30,6 | 24,00 | 232,0 | 9,13 | 131,0 | 157,0 | 28,60 | 2,27 | ||||
| 22а | 5,4 | 8,9 | 32,8 | 25,80 | 254,0 | 9,22 | 143,0 | 206,0 | 34,30 | 2,50 | |||
| 5,6 | 9,5 | 34,8 | 27,30 | 289,0 | 9,97 | 163,0 | 198,0 | 34,50 | 2,37 | ||||
| 24а | 5,6 | 9,8 | 37,5 | 29,40 | 317,0 | 10,1 | 178,0 | 260,0 | 41,60 | 2,63 | |||
| 6,0 | 9,8 | 40,2 | 31,50 | 371,0 | 11,2 | 210,0 | 260,0 | 41,50 | 2,54 | ||||
| 27а | 6,0 | 10,2 | 43,2 | 33,90 | 407,0 | 11,3 | 229,0 | 337,0 | 50,00 | 2,80 | |||
| 6,5 | 10,2 | 46,5 | 36,50 | 472,0 | 12,3 | 268,0 | 337,0 | 49,90 | 2,69 | ||||
| 30а | 6,5 | 10,7 | 49,9 | 39,20 | 518,0 | 12,50 | 292,0 | 436,0 | 60,10 | 2,95 | |||
| 7,0 | 11,2 | 53,8 | 42,20 | 597,0 | 13,50 | 339,0 | 419,0 | 59,90 | 2,79 | ||||
| 7,5 | 12,3 | 61,9 | 48,60 | 743,0 | 14,70 | 423,0 | 516,0 | 71,10 | 2,89 | ||||
| 8,3 | 13,0 | 72,6 | 57,0 | 953,0 | 16,20 | 545,0 | 667,0 | 86,10 | 3,03 | ||||
| 9,0 | 14,2 | 84,7 | 66,50 | 1231,0 | 18,10 | 708,0 | 808,0 | 101,00 | 3,09 | ||||
| 10,0 | 15,2 | 100,0 | 78,50 | 1589,0 | 19,90 | 919,0 | 1043,0 | 123,00 | 3,23 | ||||
| 11,0 | 16,5 | 118,0 | 92,60 | 2035,0 | 21,80 | 1181,0 | 1356,0 | 151,00 | 3,39 | ||||
| 12,0 | 17,8 | 138,0 | 108,00 | 2560,0 | 23,60 | 1491,0 | 1725,0 | 182,00 | 3,54 |
Приложение 4
Сталь горячекатаная. Швеллеры с уклоном внутренних граней полок ГОСТ 8240 - 72
| № балки | h, мм | B, мм | s, мм | t, мм | Площадь сечения F,см2 | Масса 1м, кг | Справочные величины для осей | |||||||
| х -х | У - У | Z0, см | ||||||||||||
| Jx, см4 | Wx, cм3 | Lx, см | Sx, см3 | Jy, см4 | Wy, см3 | Ly, см | ||||||||
| 4,4 | 7,0 | 6,16 | 4,84 | 22,8 | 9,1 | 1,92 | 5,59 | 5,61 | 2,75 | 0,954 | 1,16 | |||
| 6,5 | 4,4 | 7,2 | 7,51 | 5,90 | 48,6 | 15,0 | 2,54 | 9,00 | 8,70 | 3,68 | 1,080 | 1,24 | ||
| 4,5 | 7,4 | 8,98 | 7,05 | 89,4 | 22,4 | 3,16 | 13,30 | 12,80 | 4,75 | 1,190 | 1,31 | |||
| 4,5 | 7,6 | 10,90 | 8,59 | 174,0 | 34,8 | 3,99 | 20,40 | 20,40 | 6,46 | 1,370 | 1,44 | |||
| 4,8 | 7,8 | 13,30 | 10,40 | 304,0 | 50,6 | 4,78 | 29,60 | 31,20 | 8,52 | 1,530 | 1,54 | |||
| 4,9 | 8,1 | 15,60 | 12,30 | 491,0 | 70,2 | 5,60 | 40,80 | 45,40 | 1,700 | 1,67 | ||||
| 14а | 4,9 | 8,7 | 17,00 | 13,30 | 545,0 | 77,8 | 5,66 | 45,10 | 57,50 | 13,30 | 1,840 | 1,87 | ||
| 5,0 | 8,4 | 18,10 | 14,20 | 747,0 | 93,4 | 6,42 | 54,10 | 63,30 | 13,80 | 1,870 | 1,80 | |||
| 16а | 5,0 | 9,0 | 19,50 | 15,30 | 823,0 | 103,0 | 6,49 | 59,40 | 78,80 | 16,40 | 2,010 | 2,00 | ||
| 5,1 | 8,7 | 20,70 | 16,30 | 1090,0 | 121,0 | 7,24 | 69,80 | 86,00 | 17,00 | 2,040 | 1,94 | |||
| 18а | 5,1 | 9,3 | 22,20 | 17,40 | 1190,0 | 132,0 | 7,32 | 76,10 | 105,00 | 20,00 | 2,180 | 2,13 | ||
| 5,2 | 9,0 | 23.40 | 18,40 | 1520,0 | 152,0 | 8,07 | 87,80 | 113,00 | 20,50 | 2,200 | 2,07 | |||
| 20а | 5,2 | 9,7 | 25,20 | 19,80 | 1670,0 | 167,0 | 8,15 | 95,90 | 139,00 | 24,20 | 2,350 | 2,28 | ||
| 5,4 | 9,5 | 26,70 | 21,00 | 2110,0 | 192,0 | 8,89 | 110,00 | 151,00 | 25,10 | 2,370 | 2,21 | |||
| 22а | 5,4 | 10,2 | 28,80 | 22,60 | 2330,0 | 212,0 | 8,99 | 121,00 | 187,00 | 30,00 | 2,550 | 2,46 | ||
| 5,6 | 10,0 | 30,60 | 24,00 | 2900,0 | 242,0 | 9,73 | 139,00 | 208,00 | 31,60 | 2,600 | 2,42 | |||
| 24а | 5,6 | 10,7 | 32,90 | 25,80 | 3180,0 | 265,0 | 9,84 | 151,00 | 254,00 | 37,20 | 2,780 | 2,67 | ||
| 6,0 | 10,5 | 32,20 | 27,70 | 4160,0 | 308,0 | 10,90 | 178,00 | 262,00 | 37,30 | 2,730 | 2,47 | |||
| 6,5 | 11,0 | 40,50 | 31,80 | 5810,0 | 387,0 | 12,00 | 224.00 | 327,00 | 43,60 | 2,840 | 2,52 | |||
| 7,0 | 11,7 | 46,50 | 36,50 | 7980,0 | 484,0 | 13,10 | 281,00 | 410,00 | 51,80 | 2,940 | 2,59 | |||
| 7,5 | 12,6 | 53,40 | 41,90 | 10820,0 | 601,0 | 14,20 | 350,00 | 513,00 | 61,70 | 3,100 | 2,68 | |||
| 8,0 | 13,5 | 61,50 | 48,30 | 15220,0 | 761,0 | 15,70 | 444,00 | 642,00 | 73,40 | 3,230 | 2,75 |
Приложение 5
Сталь прокатная угловая равнополочная ГОСТ 8509 - 86