(23)
(24)
Здесь 
и 
- прогиб и угол поворота в начале системы координат, начало координат всегда располагается в левом крайнем сечении балки;
Z – расстояние от начала координат до сечения, где определяется прогиб и угол поворота;
а, в, с, d – расстояние от начала координат до места приложения соответствующих внешних сил m, p, q.
МЕТОДОМ МОРА – ВЕРЕЩАГИНА
Для этого строятся эпюры изгибающих моментов от заданной внешней нагрузки 
(рис. 43, а), от единичной силы 
(рис. 43б) при определении прогиба и единичного момента - 
(рис. 43в) при вычислении угла поворота, и производится “перемножение” соответствующих эпюр, т.е. с одной эпюры берем ее площадь 
, а с другой – ординату 
, расположенную под центром тяжести взятой площади.
(26)
(27)
Рис. 43
Основные правила перемножения эпюр:
- результат положителен, если эпюры расположены по одну сторон от оси балки, если по разные стороны – результат отрицательный;
- положительный результат перемножения эпюр свидетельствует о том, что направление перемещения (линейного и углового) совпадает с направлением единичных сил, при отрицательном результате – противоположны направлению единичных сил;
- если обе эпюры ( и 
) линейны, то не имеет принципиального значения с какой эпюры брать площадь 
, с какой ординату ;
- если одна из эпюр криволинейна (это ), то площадь обязательно берется с нее;
- если сложно вычислять площадь эпюры, определить координаты центра тяжести ее и ординату , то при перемножении эпюр и используется прием Симсона (формула 28) (рис. 44).
(28)
А, В, С – ординаты с грузовой эпюры
а, b, с – тоже с единичной эпюры
- спина i-го участка балки
Рис. 44.
4.1. ПРИМЕРЫРЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
ЗАДАЧА № 32.
Для заданного вала (рис. 45) построить эпюру крутящих моментов и определить из условия прочности и жесткости требуемый диаметр. Вал изготовлен из стали 45, имеющей 
= 320 МПа, а запас по прочности К = 2,5. Допускаемый относительный угол закручивания 
. На валу расположены 4 шкива, передающие мощность 
= 15 КВт, 
=45 КВт, 
=20 КВт, 
=10 КВт при оборотах вала n = 955 об/мин.
Рис.45
РЕШЕНИЕ
1. Определяем величину внешних скручивающих моментов, перед каждым шкивом (через мощность и обороты вала)
(кнм) (29)
где N – мощность, КВт; n – число оборотов в минуту.
кнм; 
кнм;
кнм; 
кнм
2. Строим эпюру крутящих моментов, разбив вал на участки I, II, III, применяя метод сечения и приняв следующее правило знаков для крутящего момента 
если смотреть на оставленную часть вала со стороны сечения, то
; 
На эпюре видно, что в сечениях, где приложены внешние моменты получаются скачки, равные по величине этим моментам. Максимальная величина
= 0,30 кнм.
3. Определяем диаметр вала по условиям прочности и жесткости, применяя формулы (20), предварительно определив допускаемое касательное напряжение
Мпа
здесь 
переведен в 
Из полученных 
значений принимаем диаметр вала d = 35 мм, обеспечивая тем самым требования и жесткости и прочности.
ЗАДАЧА № 33. Для заданного ступенчатого кронштейна, нагруженного внешними окручивающими моментами m1 = 10 кНм и m2 = 30 кНм и защемленного с обоих концов, требуется построить эпюру крутящих моментов Мк и при допускаемом касательном напряжении [ 
] = 80. Определить диаметры сплошной и кольцевой частей (рис. 46). В кольцевой части D = 2d, d0 = 0,8d, т. е. c = 
= 0,4
Рис.46.
Решение.
1. Обозначив опорные моменты через m 
и m 
, и составив уравнение равновесия в виде 
(рис. 47а) (-mA+m1-m2+mB = 0) мы убеждаемся, что заданная система является статически неопределимой.
Превратим ее в статически определимую, отбросив например опору "В", заменив ее действие опорным моментом " m ". Отбросив опору "В", мы дали возможность сечению В поворачиваться под действием всех внешних моментов, но ведь в заданной системе сечение В жестко защемлено, поворота не имеет. Отразим этот факт, составив уравнение перемещений:
=0 (30)
Рис. 47
Используя закон Гука при кручении 
запишем
Сократив на “a” и жесткость “ 
”, получим
(31)
Здесь 
и 
- полярные моменты инерции сплошной и кольцевой частей кронштейна. Их соотношение равно
Решив уравнение (31), получим значение опорного момента 
Тогда из уравнения равновесия определяем величину опорного момента
Полученные положительные значения опорных моментов 
и говорит о том, что их направление было выбрано верно.
2. Разбиваем заданную систему на участки I, II, III, IV (рис. 47б). Границами участков являются сечения, где приложены внешние моменты и меняется сечение. Строим эпюры крутящих моментов (рис. 47в) применяя метод сечений
3. Из условия прочности при кручении определяем диаметры сплошной и кольцевой частей кронштейна, предварительно определив, как действуют наибольшие касательные напряжения
Таким образом, наибольшие касательные напряжения действуют в значениях 2 
участка, их и сравниваем с допускаемыми 
Отсюда диаметр сплошной части d равен 
Тогда размеры кольцевой части кронштейна составят 
, 
ЗАДАЧА № 34
Для заданной балки построить эпюру поперечных сил 
и изгибающих моментов 
и подобрать размеры поперечного сечения в виде швеллера при допускаемом напряжении 
=150 Мпа.
Рис.48
РЕШЕНИЕ
1. Введем построение эпюр и М по участкам справа, со стороны свободного конца (рис 48а и б)
первый участок 
, 
второй участок 
, 
третий участок 
;
, 
Определим координату 
сечения, где поперечная сила проходит через нуль, в этом сечении изгибающий момент 
имеет экстремальное значение
, 
2. Из условия прочности на прямом изгибе определяем размеры (номер швеллера) сечения балки 
, 
ПО сортаменту на швеллера Гост 8240 – 82[1] и учитывая, что сечение состоит из швеллеров, принимаем швеллер № 10, которого 
.
ЗАДАЧА № 35
Для заданно шарнирно опертой балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и определим с каким запасом прочности она будет работать (рис. 49), если 
b=60мм, h=140мм, а=35мм.
Рис. 49
РЕШЕНИЕ
1. Определяем сначала опорные реакции из условия равновесия балки
; 
; 
Проверка 
Следовательно реакции определены верно.
2. Разбиваем балку на участки I, II, III, IV, границами участков являются сечения, где приложены внешние силы. С помощью метода сечения строим эпюры 
и (рис. 49а и б)
первый участок 
, 
второй участок 
, 
третий участок (рассматриваем правую часть); 
четвертый участок 
3. По эпюре видим, что наибольший изгибающий момент равен 20 кНм.
4. Вычисляем величину максимальных нормальных напряжений, действующих в балке, по формуле (22), предварительно определив осевой момент сопротивления заданного сечения через осевой момент инерции
Тогда при 
, а напряжение 
5. Запас прочности балки определяем из условия прочности
; 
, что вполне достаточно.
ЗАДАЧА № 36
Для заданной двутавровой балки (рис. 50) построить эпюры и , подобрать сечение при =160 МПа и проверить его на прочность по касательным напряжениям, а так же определить прогиб в точке “C” и угол поворота сечения “K” двумя способами: методом начальных параметров и методом Море – Верещагина.
РЕШЕНИЕ.
1. Определяем сначала опорные реакции из условия равновесия
; 
;
Рис. 50
2. Строим эпюры и , по участкам (рис 50а и б)
первый участок 
, 
второй участок 
координата сечения, где 
третий участок 
; 
3. Подбираем двутавровое сечение балки из условия прочности по нормальным напряжениям , отсюда 
.
По сортаменту ГОСТ 8239 – 89 принимаем двутавр № 22а, у которого 
, 
, 
, 
4. Применяем выбранное сечение на прочность по касательным напряжениям, применяя формулу Д.И. Жуковского.
Допускаемое касательное напряжение обычно равно 
Следовательно, прочность по касательным напряжениям вполне обеспечена, ибо 
5. Определяем прогиб “ 
” в, т “C” и угол поворота 
сечения “K” (в нашем примере они совпадают) методом начальных параметров. Для этого помещаем начало координат в левое крайнее сечение и записываем
В этом уравнении оба начальных параметра и неизвестны. Для их определения составляем уравнения прогибов для сечений над опорами А и В, где ясно, что они равны 0.
Подставив значения координат и внешних сил, получим два уравнения
Решив их, получим 
Тогда прогиб сечения “C” будет равен
Угол поворота этого же сечения
6. Определяем прогиб сечения “C” и угол поворота сечения ”K” методом Мора – Верещагина, для этого дополнительно к эпюре изгибающих моментов от заданной нагрузки (рис. 51а) строим эпюры 
и 
от единичных сил (51 б и в) и производим перемножение соответствующих эпюр. В результате получим (см. выражение 28) прогиб
Рис. 51
т. е. практически получили одинаковое с методом начальных параметров значение прогиба.
Угол поворота
тоже практически совпало со значением, полученным по методу начальных параметров.
Положительное значение результатов перемножения эпюр свидетельствует, что линейные и угловые перемещения сечений “C” и “K” совпадают с направлениями единичных сил (прогиб вниз, а поворот по часовой стрелке).
ВАРИАНТЫДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ
В домашнее задание № 3 входит решение 2 
задач на кручение и одной задачи на прямой изгиб. Номер задач, расчетные схемы и исходные данные в соответствии со своим вариантом принимаются по таблицам № 3 (1 – ая задача), № 4 (2 – ая задача) и № 5 (3 – ая задача).
При выполнении домашней работы требуется!
В 1 – ой задаче:
- построить эпюру крутящих моментов;
- определить диаметры круглого сплошного или кольцевого сечения из условий прочности и жесткости или максимальное касательное напряжение и запас прочности “K”;
Во 2 – ой задаче:
- раскрыть статическую неопределимость заданной системы, составить необходимое число уравнений перемещений;
- построить эпюру крутящих моментов;
- из условий прочности определить требуемые диаметры заданного сечения стержня.
В 3 – ей задаче:
- построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов М для указанной балки;
- подобрать из условий прочности размеры поперечного сечения заданной формы;
- определить прогиб в сечении “C” и угол поворота сечения “K” методом начальных параметров и методом Мора – Верещагина.
Таблица 3