Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Производной первого порядка (первой производной) непрерывной функции в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю:

Если такой конечный предел в точке х существует, то функция называется дифференцируемой в точке х.

Обозначения производной: (Лагранж), (Лейбниц), (Ньютон).

В тех случаях, когда неясно, по какому аргументу (х, t и т.п.) происходит дифференцирование функции у, для соответствующих производных употребляются обозначения , и т.п. Нахождение производной называют дифференцированием функции.

Значение производной функции в точке обозначают .

Дифференциалом dx независимой переменной х называют её приращение .

Дифференциалом называется .

Примечание: производная функции есть некоторая функция , произведенная (т.е. полученная по определенным правилам) из данной функции.

Касательной к графику функции y=f(x) в точке М(x_0,y₀) называют предельное положение секущей ММ₁ при произвольном стремлении точки М₁ к точке М (иначе: ).

Уравнение касательной имеет вид: y-y₀ = k(x-x₀), где угловой коэффициент касательной , т.е. .

Угол a между положительным направлением оси Ох и касательной отсчитывают против часовой стрелки.

Если , то касательная к графику непрерывной функции f(x) будет перпендикулярна оси Ох, уравнение такой касательной имеет вид х = х₀.

Если , то касательная параллельна оси Ох.

Уравнение нормали (перпендикуляр к касательной в точке М(х₀,у₀) имеет вид: .

Если , то уравнение нормали имеет вид у=у₀.

Если , то будет перпендикулярна оси Ох и ее уравнение будет у=х₀.

Под углом между кривыми и в их общей точке М(х₀,у₀) понимается угол , между касательными М₀А и М₀В к этим кривым в точке М₀.

По известной формуле аналитической геометрии получаем: .

Замечание: если в точке х₀ существует конечная производная, то функция непрерывна в этой точке. Обратное предложение не всегда справедливо.

Например, функция в точке х=0 непрерывна, т.к. приращение функции и в точке х=0 , стало быть, при и , а производной в этой точке функция не имеет. Убедимся в этом:

,

, , т.е. и производной в этой точке функция не имеет.

Если существуют односторонние пределы

и ,

не равные между собой, то говорят, что существуют односторонние производные функции в точке х₀, а точку х₀ называют угловой точкой графика функции. В приведенном примере односторонние производные (справа и слева) в точке х = 0 существуют.

Предположим, что точка М движется по некоторой прямой, которую примем за ось Ох. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние ОМ = х.

 

Следовательно, можно сказать, что абсцисса х движущейся точки есть функция времени t: х = f(t) – это уравнение называется уравнением движения, оно выражает закон движения точки.

Отношение выражает среднюю скорость изменения абсциссы х за промежуток времени t.

Скорость движения (мгновенная скорость) в данный момент времени t вычисляется непосредственно:

.

Примеры:

1.Если s = s(t) – закон движения материальной точки, определяющий зависимость пути s от времени t, то производная определяет мгновенную скорость материальной точки в момент времени t. Дифференциал определяет путь, который прошла бы материальная точка, двигаясь равномерно с мгновенной скоростью в момент времени t, за промежуток времени от момента t до (t + dt).

2.Если q = q(t) – закон, определяющий зависимость количества электричества, протекающего через поперечное сечение проводника, от времени t, то производная определяет силу тока в момент времени t. Дифференциал dq = I × dt определяет количество электричества, которое могло бы пройти через поперечное сечение проводника при постоянной силе тока I в момент времени t за промежуток времени dt.

Замечание: именно рассмотрение задач о касательной и скорости движения исторически привело к понятию производной, являющейся одним из основных понятий высшей математики.

3.Пусть х = f(x) – закон, определяющий количество вещества, образовавшегося при химической реакции за промежуток времени t, тогда - скорость химической реакции в данный момент времени t.

Непосредственное нахождение производной можно осуществить, пользуясь определением, по следующей схеме:

1.дать аргументу х произвольное приращение и найти соответствующее новое значение функции ;

2.определить приращение функции ;

3.составить отношение ;

4.найти предел

Пример: Точка движется по прямой, согласно закону s = 3t² + 2t, где t – время в секундах, s – путь в метрах. Найти скорость точки в момент t = 3.

Решение:

1. ;

2. ;

3. (средняя скорость за промежуток времени от t до );

4. теперь найдем скорость в момент времени t = 3: ., при t = 3 (м/сек).

Таблица основных элементарных функций, а также основные правила дифференцирования даны в Приложении 6.

Примеры:

1. Вычислить производные следующих функций:

, .

Решение:

2. Вычислить значение производной функции

в точке с абсциссой х₀ = 1.

.

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀ = -1.

Ищем ординату точки касания: .

Угловой коэффициент касательной:

.

Подставив х₀, у₀ и k в уравнение касательной, получаем:

(у – 3) = 0(х + 1), откуда

у = 3

4. Какой угол образует с осью Ох касательная к кривой у = х – х² в точке с абсциссой х = 0?

Найдем угловой коэффициент касательной: , следовательно .

Пример: найти производные следующих функций:

1. ;

2. ;

3. .

Решение: 1. Функция имеет вид у = u², где , значит или

2.Функция имеет вид , где u = x³ – 1, следовательно, ;

3. Функция имеет вид: у = u², где , т.е.

Пример: Вычислить производную функции в точке .

Решение: Здесь целесообразно сначала преобразовать функцию в правой части. Получим. .

Теперь вычислим производную: .

Полагая , найдем: .

Логарифмической производной функции у = f(х) называется производная от логарифма этой функции, т.е.

Нахождение производных от функций, которые допускают операцию логарифмирования (произведение, частное, возведение в степень и извлечение корня), значительно упрощается, если функции предварительно прологарифмировать.

Пример: Найти , если .

Решение: ;

, отсюда

.

 

Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение продифференцировать, считая у функцией от х, и вновь полученное уравнение решить относительно производной .

Пример:

1.

Дифференцируем обе части по х, считая у функцией от х: , отсюда .

2.

Дифференцируем обе части по х, считая у функцией от х: , отсюда

Если для функции у = f(x) производная , то производная обратной функции (см. § 2) есть

Пример: Найти , если у = х + lnх.

Имеем , следовательно, .

Если зависимость функции у и аргумента х задана посредством параметра t (параметрически) , то .

Пример:

.

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Пусть функции f(x) и дифференцируемы в окрестности точки а, причем производная .

Если обе функции бесконечно малые или бесконечно большие при , т.е. если частное в точке а представляет неопределенность вида или , то , при условии, что предел отношения производных существует (конечный или бесконечный).

Правило применимо и для случая, когда . Раскрытие неопределенностей вида , , , , при помощи алгебраических преобразований и логарифмирования сводится к раскрытию неопределенностей вида и .

Примеры:

1. .

Здесь мы имеем неопределенность вида и правило Лопиталя применяли дважды.

2. .

Здесь мы имеем неопределенность вида и правило Лопиталя применяли трижды.

3. .

4. .

Полагаем у = х^х и логарифмируем обе части этого равенства: . Найдем . Из примера 3 видно: . Отсюда .

5. .

Положим и прологарифмируем обе части полученного равенства: .

Найдем предел : .

Полученную неопределенность вида преобразуем к неопределенности вида , а затем применим правило Лопиталя: .

Отсюда получаем .

6. .

Положим . При помощи логарифмирования получаем: .

, отсюда , т.е. , т.е. .

Замечание: правило Лопиталя применимо тогда, когда существует предел отношения производных. Если предел отношения функций существует, а предел отношения производных не существует, надо раскрывать неопределенности другим способом, например, , а отношение производных при предела не имеет. Кроме того, производная знаменателя обращается в нуль в точках , что является нарушением условия правила Лопиталя.

Производную от у = f(x) будем называть производной первого порядка; производную от первой производной называют второй производной (или производной второго порядка) от функции у = f(x) и обозначают или ; производную от производной второго порядка называют третьей производной и обозначают или и т.д.

Производная от производной (n – 1)-го порядка называется производной n-го порядка от функции у = f(x) и обозначается или .

Пример: найти производные указанного порядка от данных функций:

1. ; =?

2. ; =?

Решение:

1. найдем первую производную: , теперь найдем вторую производную: .

Продифференцируем еще два раза и получим производную четвертого порядка: ; .

2. Аналогично предыдущему примеру ищем сначала производную первого порядка, а затем более высоких:

, ; ; ;

При найдем .

Пример: Показать, что функция у = cos2х удовлетворяет дифференциальному уравнению .

Решение: определяем и : ; .

Подставив и в данное уравнение, получим тождество: , т.е. 0 = 0.

Если функция у = f(x) дифференцируема в интервале (a,b) и имеет положительную (отрицательную) производную , то функция f(x) возрастает (убывает) в этом интервале.

Замечание: производная в отдельных точках интервала может равняться нулю.

Пример: Найти промежутки возрастания и убывания следующих функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Решение:

1. Функция определена в интервале . Найдем производную .

Производная (обращается в нуль только в одной точке х = 0), следовательно, функция возрастает в интервале (см. рисунок).

2. Функция определена в интервале . Находим производную . Знаменатель дроби при любых значениях х (т.к. корни трехчлена комплексные), следовательно, знак производной совпадает со знаком числителя: , если , т.е.

, если , т.е. .

Функция убывает в интервале и возрастает в интервале . В точке х = -1 убывание сменяется возрастанием.

3. Данная функция определена при . Найдем производную: .

Функция возрастает, если , т.е. , или , т.е. , или .

Функция убывает, если , т.е. , или , т.е. .

Итак, в интервале функция убывает, в интервале возрастает. В точке убывание сменяется возрастанием.

4. Точка х = 2 есть точка разрыва второго рода: , при .

Следовательно, функция убывает в интервалах и .

Функция у = f(x) имеет в точке х₀ максимум (минимум) f(x₀), если в некоторой окрестности этой точки (при ) выполняется неравенство f(x) < f(x₀) (f(x) > f(x₀)).

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Точка, в которой функция имеет минимум или максимум, называется точкой экстремума функции.

Если функция f(x) в точке х₀ имеет экстремум, то производная в этой точке равна нулю, либо не существует (необходимое условие существования экстремума).

Точки возможного экстремума функции f(x) называются критическими точками для f(x).

Замечание: если х₀ – критическая точка, то касательная в соответствующей точке М₀ (х₀,у₀) графика функции параллельна оси Ох () или Оу (), либо вовсе не существует, также заметим, что критические точки лежат внутри области определения функции.

Сформулируем достаточные признаки существования экстремума:

1. Если при переходе (слева направо) через критическую точку х₀ производная меняет знак с плюса на минус, то в точке х₀ функция f(x) имеет максимум; если с минуса на плюс, то минимум; если знака не меняет, то экстремума нет.

Для определения экстремума функции удобно использовать следующую схему:

- определить критические точки, т.е. найти действительные корни уравнения , а затем найти и те точки из области определения функции, в которых производная не существует;

- исследовать на экстремум каждую критическую точку по первому достаточному признаку существования экстремума.

2. Пусть и в окрестности точки х₀ существует конечная первая производная, а в самой точке х₀ – вторая производная , тогда:

- если , то в точке х₀ имеется минимум;

- если , то имеем максимум;

- если , то этот признак ничего не дает и для решения вопроса надо применять первый достаточный признак.

Пример: Исследовать на максимум и минимум функцию .

Решение: Функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Найдем производную, приравняем ее к нулю и определим действительные корни: ; =0.

Следовательно, х₁ = 0, х₂ = 2, х₃ = -2 – критические точки. Теперь исследуем знак производной в окрестности каждой из этих точек:

Так как левее точки х = -2 критических точек нет, то можно взять любое значение х и слева от точки –2, например, х = -3. Производная в этой точке имеет знак минус

, справа, при х = -1, – знак плюс , следовательно, в точке х = -2 будет минимум (min).

Слева от точки х = 0, как уже установлено, производная имеет знак плюс, справа можно брать любое значение х между 0 и 2, например, при х = 1 знак производной будет минус, т.е. в точке 0 мы имеем максимум (max).

Слева от точки 2, как уже известно, знак производной минус, т.е. нужно взять любое значение х правее точки 3, т.к. справа больше нет других критических точек, например, х = 3. , следовательно, в точке х = 2 имеем минимум.

Найдем точки пересечения графика функции с осью Ох, пусть у = 0, тогда , . Решая это уравнение, получаем: ; ; ; . С осью Оу имеем одну точку пересечения у = 3 (при х = 0).

Воспользовавшись результатами, записанными в следующей таблице:

 

х		-2	(-2;0)		(0;2)
у		-1				-1
	<0		>0		<0		>0
вывод		min		max		min

 

Примечание: стрелки () обозначают убывание (возрастание) функции на некотором данном интервале.

А так же найденными точками пересечения кривой с осью Ох и Оу, построим график функции:

Примечание: ординаты точек экстремума находятся при помощи подстановки их абсцисс в уравнение кривой, например:

 

 

3.12. График дифференцируемой функции у = f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a,b), если дуга кривой у = f(x) (a < x < b) расположена ниже (соответственно выше) касательной, проведенной в любой точке этой дуги.

Если на (a,b) существует , то достаточным условием выпуклости (вогнутости) является выполнение неравенства при a < x < b.

 

Точки, в которых выпуклость изменяется на вогнутость или наоборот, называется точками перегиба.

Если М(х₀,у₀) – точка перегиба графика функции у = f(x), то вторая производная или не существует.

Пример: Найти точки перегиба следующих функций:

1. ;

2. .

Решение:

1. Найдем вторую производную: ; .

Решим уравнение ; .

Исследуем знак второй производной в окрестности точек , х₂ = 1.

При , и при , . (Знаки производных определяются аналогично примеру из п. 3.11. данного раздела).

При , и при , . Следовательно, точки перегиба: М₁(-1;0) и М₂(1;0). Результаты исследования удобнее сразу заносить в таблицу:

х		-1	(-1;1)
	>0		<0		>0
вывод	вогнутость	перегиб	выпуклость	перегиб	вогнутость

 

т.е. в интервале , где , кривая вогнута; в интервале (-1;1), где , кривая выпукла; в интервале , где , вогнута.

 

2. ; .

Производная нигде не обращается в нуль. Приравнивая к нулю ее знаменатель, получаем, что в точке х = 0 вторая производная не существует. Исследуем знак второй производной в окрестности этой точки: , , где - некоторое положительное число.

Точек перегиба нет. На интервале вогнутость кривой направлена вверх.

Пусть функция у = f(x) определена при всех х > х₀, (х < x₀). Если существуют числа k и b такие, что функция при (), то прямую линию называют асимптотой графика функции у = f(x) при ().

При этом если , то асимптоту называют наклонной, если k = 0 (тогда y = b), то горизонтальной.

Условие f(x) – kx – b = 0 означает , и, следовательно, функция f(x) при () неограниченно

приближается к прямой y = kx + b (ведет себя почти как линейная функция).

Например, на рисунке изображен график функции, имеющий наклонную асимптоту у = х – 1 при (правая наклонная асимптота) и горизонтальную асимптоту у = 1, при (левая горизонтальная асимптота).

Если существуют пределы и , то прямая является наклонной асимптотой (при k₁ = 0 – горизонтальной) графика функции y = f(x).

Если существуют пределы и ,то прямая является левой наклонной асимптотой (при k₂ = 0 – горизонтальной) асимптотой графика функции y = f(x).

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки x = x₀. Если или , то прямая х = х₀ является вертикальной асимптотой графика функции у = f(x).

Пример: Найти асимптоты кривой .

Решение: Приравнивая знаменатель к нулю, получаем две вертикальные асимптоты: х = -1, х = 1.

= 1

Ищем наклонные асимптоты. При получаем:

, следовательно, правой асимптотой является прямая у = х, аналогично при имеем: , .

Таким образом, левая асимптота у = -х.

Замечание: исследование на асимптоты данной кривой упрощается, если учесть симметрию этой кривой.

3.13. Схема исследования функции и построения ее графика выглядит следующим образом:

1. область определения функции;

2. исследование на симметричность (четность, нечетность) и периодичность;

3. точки пересечения с осями координат (если это не вызывает особых осложнений);

4. точки экстремума и экстремальные значения;

5. точки разрыва;

6. интервалы возрастания и убывания;

7. точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости;

8. асимптоты;

9. предельные значения функции при х, стремящемся к граничным точкам области определения.

В ходе построения графика по мере необходимости можно получить дополнительно ряд значений функции при некоторых частных значениях аргумента х, т.е. еще ряд точек графика. Строго придерживаться этой схемы не всегда обязательно. Часто бывает удобно изменить ее порядок.

Наименьшее (наибольшее) значение непрерывной функции f(x) на данном отрезке [a,b] достигается или в критических точках функции, или на концах отрезка [a,b].

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение: Так как , то критическими точками функции являются х₁=-1 и х₂ = 1.

Сравнивая значения функции в этих точках и значения функции на концах отрезка ; ; ; , заключаем, что наименьшее значение функции m = 1 достигается в точке х = 1 (в точке минимума), а наибольшее достигается в точке х = 2,5 (на правом конце отрезка).

Примечание: студенты часто путают минимум (максимум) функции и наименьшее (наибольшее) значение функции. Это не одно и то же! Они очень часто не совпадают.

Пример: Проволокой длин