Логарифмом числа при основании называют показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить : , следовательно .
При любых любых и любом имеют место следующие равенства:
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
Логарифмы по основанию 10 называются десятичными (обозначение: ), а по основанию - натуральными (обозначение ). При этом .
Приложение 2.
Тригонометрические формулы
» 3, 14159…, где l - длина окружности, d- диаметр.
1. Знаки тригонометрических функций
sina cosa tga, ctga
2. Основные формулы тригонометрии
2.1 Основные соотношения
sin2a+cos2a=1, tga= , ctga= , tga×ctga=1; =1+tg2a, =1+ctga.
2.2 Выражение одних тригонометрических функций через другие:
2.3 Свойства дополнительных углов:
2.4 Формулы суммы и разности углов:
2.5 Формулы двойных углов:
2.6 Формулы половинных углов:
Примечание: знаки «+» или «-» определяются по п.1.
2.7 Формулы преобразования суммы в произведение:
2.8 Формулы преобразования произведений в суммы
Приложение 3
3.1 Арифметическая прогрессия есть последовательность чисел () в которой разность (q) двух любых последовательных чисел («последующее» минус «предыдущее») есть величина постоянная. Эта величина называется разностью прогрессии.
3.2 Геометрическая прогрессия есть последовательность чисел () в которой отношение (d) двух последовательных чисел есть величина постоянная. Эта величина q называется знаменателем прогрессии.
(если прогрессия возрастающая)
(если прогрессия убывающая)
(если прогрессия является бесконечно убывающей)
Приложение 4
4.1 Формулы сокращённого умножения и разложения на множители.
4.2 Формулы решений квадратных уравнений
1) где
2)
3)
4)
5) Теорема Виета для уравнения
4.3 Разложение трёхчлена 2-ой степени на множители:
, где - корни квадратного уравнения.
Приложение 5
Некоторые замечательные пределы
1. ; | 2. ; | 3. |
4. ; | 5. | 6. |
7. | 8. | 9. |
Приложение 6
6.1 Основные правила дифференцирования
а)
б)
в)
г)
д)
Здесь с=const, u, v и w- дифференцируемые функции.
6.2 Таблица производных.
Пусть - дифференцируемая функция от переменной х.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Приложение 7
7.1 Свойства неопределённого интеграла
1.
2.
3. или
4. или
7.2 Таблица основных интегралов
1. ; | 8. ; |
2. ; | 9. ; |
3. ; | 10. ; |
4. ; | 11. = ; |
5. ; | 12. ; |
6. ; | 13. ; |
7. ; | 14. . |
7.3 Простейшие свойства определённого интеграла
1.
2.
3.
4.
5.
Задания для контрольной работы
I. Найти указанные пределы, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.
1. а) ; б) ; в) ;
г) .
2. а) ; б) ; в) ;
г) .
3. а) ; б) ; в) ;
г) .
4. а) ; б) ; в) ; г) .
5. а) ; б) ; в) ;
г) .
6. а) ; б) ; в) ; г) .
7. а) ; б) ; в) ;
г) .
8. а) ; б) ; в) ;
г) .
9. а) ; б) ; в) ; г) .
10. а) ; б) ; в) ;
г) .
II. Исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.
1. 2. 3.
4. 5. 6. 7. 8. 9.
10.
III. Требуется построить по точкам график функции в полярной системе координат. Найти уравнение этой кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось - с полярной осью. Если не указано название кривой, то, по возможности, определить его.
1. - логарифмическая спираль |
2. - гиперболическая спираль |
3. |
4. |
5. - трехлепестковая роза |
6. - кардиоида |
7. - лемниската |
8. |
9. |
10. |
IV. Найти производные первого порядка данных функций, используя в п. в) логарифмическую производную, в задании д) найти производную обратной функции или функции заданной параметрами.
1. а) ; б) y = sin(3x + 1);
в) ; г) 2х – 3у + 1 = 0;
д) найти , если у = 3х + х2.
2. а) ; б) у = (1 + 2х8);
в) ; г) ;
д) .
3. а) ; б) у = sin(x + sinx);
в) ; г) ;
д) найти , если у = 2х2 + х.
4. а) ; б) у = 5cos(2 – 3x);
в) ; г) ;
д) .
5. а) ; б) у = ctg(xsinx);
в) ; г) ;
д) найти , если .
6. а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) .
7. а) ; б) y = tg(3x + 1)3;
в) ; г) х2 + у2 = 1;
д) найти , если .
8. а) б) ;
в) ; г) у2 = 4х;
д) .
9. а) ; б) ;
в) у = хх; г) х = у + siny;
д) найти , если .
10.а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) .
V. Даны функция z = f(x,y), точка и вектор . Найти:
- gradZ в точке А;
- производную в точке А по направлению вектора А.
1. ; А (1,1), а (2,-1).
2. ; А (2,1), а (3,-4).
3. ; А (1,1), а (3,2).
4. ; А (1,1), а (2,-1).
5. ; А (2,1), а (1,2).
6. ; А (2,3), а (4,-3).
7. ; А (1,2), а (5,-12).
8. ; А (1,3), а (2,-1).
9. ; А (-1,2), а (4,-3).
10. ; А (1,1), а (2,1).
VI. Вычислить следующие неопределённые интегралы:
1. | |||
2. | |||
3. | |||
4. | |||
5. | |||
6. | |||
7. | |||
8. | |||
9. | |||
10. |