Интегральное исчисление функций. Приложения определенных интегралов.

Неопределенные интегралы.

Основной задачей в интегральном исчислении является отыскание функции F(x) по заданной ее производной f(x) или дифференциалу f(x)dx, т.е. для данной функции f(x) надо найти такую функцию F(x), что

или

Такая функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x).

Общее выражение F(x)+С, где C=const, всех первообразных функции для данной непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается , где

Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением.

Примечание: основные свойства неопределенного интеграла и таблица основных интегралов даны в приложении к данному пособию.

 

Непосредственное интегрирование.

Пользуясь таблицей интегралов и свойствами неопределенного интеграла, можно вычислить многие интегралы. При проверке результата интегрирования надо помнить, что если , то , .

 

Примеры:

1.

Проверим это: .

2. = =

Замечание: постоянную интегрирования С можно записывать в различной форме, кроме того, несколько таких постоянных можно объединять в одну. Так, вместо С пишут tg С или ln C и т.д., вместо C₁ + C₂ +C₃ можно писать С.

 

3.

 

= .

Фактически мы здесь разделили числитель на знаменатель, т.е. из неправильной дроби выделили целую часть.

Примечание: любую неправильную рациональную дробь Можно (посредством деления числителя на знаменатель «уголком») представить в виде суммы алгебраического многочлена и правильной рациональной дроби, например:

, так как

x⁴-x³+1 ç x² + x + 2

-x⁴+x³+2x² x²-2x

-2x³-2x²+1

- -2x³+2x²-4x

1+4x – остаток

4.

Метод подстановки (замена переменной).

Пусть функция f(x) непрерывная. Полагая x=j(t) dx = j¢(t)dt, где производная j¢(t) есть функция непрерывная, получаем:

(1)

Если окажется, что интеграл в правой части этого равенства находится проще исходного, то цель замены переменной достигнута.

Для получения искомого результата в найденном интеграле с новой переменной t переходим обратно к переменной x.

Полезно запомнить частный случай: (1)¢

Примеры:

. Применим подстановку , откуда . Дифференцируя, получаем , следовательно:

 

. Полагаем . Тогда , т.е.

 

. Полагаем . Тогда .

.

 

. Полагаем , имеем

.

 

. Применим замену , т.е.

.

 

. Здесь числитель дроби равен дифференциалу знаменателя. Согласно формуле (1)¢ имеем: .

Замечание: Выражения, содержащие или , можно интегрировать с помощью тригонометрических подстановок. Так, если содержится , то удобно пользоваться заменой или , если содержится , то подстановка или , если , то подстановка или .

Формула интегрирования по частям имеет вид

, где

U(x) и V(x) – дифференцируемые функции.

Примечание: неудачное применение этой формулы приводит к более сложному интегралу , чем исходный . В этом случае надо принять за U и dV другие выражения или применить иной метод интегрирования.

Пример:

1.

Пусть , , тогда

, следовательно:

.

2. . Полагаем , , тогда .

Интеграл правой части найдем способом подстановки: 1-x² =t²; xdx = -tdt . Исходный интеграл равняется: .

Для вычисления интегралов вида ; ;

, содержащих квадратный трехчлен, применяют прием выделения полного квадрата из квадратного трехчлена и преобразовывают его в квадратный двучлен: . После этого применяют уже известные методы интегрирования.

Пример: 1. . Полагая , имеем , , тогда .

2. . Подынтегральная дробь неправильная. Выделим целую часть путем деления числителя на знаменатель: . . Найдем интеграл .

, , . Следовательно, .

3. . Интеграл в зависимости от знака коэффициента легко свести к интегралу или , каждый из которых можно вычислить с помощью тригонометрических подстановок либо методом интегрирования по частям. , где , . Последний интеграл вычислим способом интегрирования по частям, полагая , , откуда . Следовательно, , откуда или . Учитывая, что , получаем .

Замечание: известны интегралы, как, например, , , , , , которые не являются элементарными функциями, т.е. эти интегралы не могут быть выражены никакой конечной комбинацией элементарных функций. Такие интегралы называются “ неберущимися”.

Интегрирование рациональных дробей.

 

1. Если подынтегральная рациональная дробь неправильная (степень числителя больше или равна степени знаменателя), то при помощи деления ее надо представить в виде суммы целой рациональной функции и правильной дроби , т.е. .

Целая рациональная функция интегрируется непосредственно: . Следовательно, задача интегрирования неправильной дроби сводится к задаче интегрирования правильной дроби.

2. Если знаменатель правильной рациональной дроби раскладывается на множители вида , где корни трехчлена комплексные, то правильная дробь раскладывается на сумму простых дробей: .

Для вычисления коэффициентов в этом разложении обычно применяют метод неопределенных коэффициентов. Этот метод состоит в следующем:

а) по виду дроби (по виду знаменателя этой дроби) выписываем разложение на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами,

б) в правой части этого разложения приводим простейшие дроби к общему знаменателю, которым будет , складываем их и получаем правильную дробь,

в) знаменатели в левой и правой частях отбрасываем и получаем тождество с неопределенными коэффициентами: ,

г) приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Х в левой и правой частях последнего тождества, получаем систему из уравнений с неизвестными, решив которую находим искомые коэффициенты.

Пример: 1. . Данный интеграл можно вычислить при помощи выделения полного квадрата из квадратного трехчлена.

Найдем интеграл при помощи разложения правильной дроби на простейшие. Знаменатель дроби имеет корни: . Следовательно, . Напишем разложение: .

Дроби приводим к общему знаменателю и, освободившись от него, находим: .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества, получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными

откуда: .

Подставляем найденные коэффициенты и получаем разложение: .

Следовательно, .

 

2. .

Разложим знаменатель дроби на множители:

.

Корни трехчлена есть –1 и 2, поэтому окончательно получаем: .

Напишем разложение: .

Корень имеет кратность, равную двум, поэтому ему в разложении и соответствуют два слагаемых. Теперь приведем это разложение к общему знаменателю, и, освободившись от него, получим: .

Из этого тождества определяем коэффициенты А, В, С. Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными: , откуда .

Окончательно получаем: . Следовательно,

Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Интегралы вида (1), где - рациональная функция; - целые числа, находятся с помощью подстановки:

(а), где - наименьшее общее кратное чисел .

 

Рассмотрим два частных случая:

1) если в интеграле (1) с=0, то он будет иметь вид: (2), где ;

2) если , , то интеграл (1) примет вид (3)

Интегралы вида (2) и (3) находятся с помощью подстановки (б) или (в).

Пример: 1. . Применим подстановку (в): , откуда

2.

Применим подстановку (б). Наименьшее общее кратное показателей корней подынтегрального выражения , поэтому , откуда и .

3. . Применим подстановку (а):

, откуда

Интегрирование тригонометрических функций.

 

1. Интегралы вида , где , находятся с помощью формул 2.8. Приложения 2.

2. Некоторые интегралы от выражений, содержащих тригонометрические функции, с помощью преобразований приводятся к интегралам вида , которые находятся соответственно с помощью подстановок:

 

(1)

(2)

(3)

(4)

3. Интегралы вида , где m и n – положительные четные числа, вычисляются с помощью формул: .

4. Интегралы вида , где R- рациональная функция, можно найти с помощью универсальной подстановки , (5)

откуда, .

Пример: 1. .

2. . Тут мы применили подстановку (1).

3. . Тут мы применили подстановку (2).

4. . Воспользуемся универсальной подстановкой , откуда .

.

 

Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид: , если и первообразная непрерывна на отрезке .

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции,

ограниченной прямыми x=a, x=b,y=0 и частью графика функции y=f(x), взятой со знаком «+», если f(x)³0, и со знаком «-», если f(x)£0.

Методы вычисления определенных интегралов такие же, как и у неопределенных.

Пример: .

Простейшие свойства определенных интегралов приведены в Приложении № 7

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид: .

При замене переменной в определенном интеграле меняются пределы интегрирования!

Пример: .

Решение: применим подстановку . Определим новый промежуток интегрирования. Если , если . Следовательно, .

Пример:

Найти площадь, ограниченную параболой и окружностью .

 

 

Решение: преобразуем уравнение окружности , откуда следует, что центр окружности лежит в точке и ее радиус R=2.

Решив систему уравнений , получим следующие точки пересечения данных кривых: O(0,0), A(2,2), B(2,-2). Из рисунка видно, что искомая площадь ,

Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной линией: .

Решение: Функция четная относительно переменной y, следовательно, фигура, ограниченная этой линией расположена симметрично относительно оси Ох (см. рисунок). Найдем промежуток интегрирования. Пусть y=0, тогда x₁=0, x₂=1.

 

 

1 x

.

Знак «-» означает, что фигура, площадь которой найдена, расположена ниже оси Ох. Это можно было и предвидеть, т.к. . Таким образом, искомая площадь .

Если дуга кривой задана уравнением в промежутке и функция имеет непрерывную производную в указанном промежутке, то длина дуги кривой, содержащейся между двумя точками и , определяется по формуле: (6)

Если кривая задана уравнением в промежутке и функция имеет непрерывную производную в этом промежутке, то длина дуги будет определяться по формуле:

(7)

Пример: Вычислить длину окружности .

Решение: Дифференцируя данное уравнение, находим . Отсюда .

Воспользуемся формулой (6), найдем часть окружности:

 

, откуда .
Примечание: можно было применить и формулу (7).

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной прямыми и , непрерывной

y=f(x)

кривой и отрезком оси Ох, определяется по формуле: .

 

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оy криволинейной трапеции, ограниченной прямыми непрерывной кривой и отрезком оси Оy, определяется по формуле: .

Примечание: студенты часто забывают, что криволинейная трапеция обязательно ограничена отрезком одной из осей. Не забывайте это!

Пример. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной параболами и .

Решение. Решив систему уравнений , получим , откуда точки пересечения кривых О(0,0) и В(1,1).

Как видно из рисунка, объем тела вращения равен разности двух объемов, образованных вращением вокруг оси Ох криволинейных трапеций ОСВА и ODBA: .

Несобственный интеграл.

Рассмотрим интегралы с бесконечными пределами.

Пусть функция непрерывна в промежутке , тогда полагают

Если существует такой конечный предел, то говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае интеграл расходится. Аналогично: и

Исследуем интегралы от неограниченных функций. Если функция не ограничена в любой окрестности точки С промежутка и непрерывна в этом промежутке за исключением точки , то полагают:

Если в правой части последнего равенства существуют конечные пределы, то несобственный интеграл сходится, в противном случае – расходится.

При или имеем: ; .

Пример: 1. .

Геометрический смысл сходящегося несобственного интеграла такой же, что и у определенного интеграла. Так, вычислив данный несобственный сходящийся интеграл, мы получили значение площади

плоской фигуры, ограниченной графиком функции , прямой х=0 и осью Ох.

2. , т.е. интеграл расходится.

3. . Подынтегральная функция терпит разрыв в точке х=1, во всех остальных точках промежутка [0,1] она непрерывна, следовательно . Т.е. данный интеграл сходится (в точке х=1 имеет вертикальную асимптоту).

Приложения интегралов.

Статическим моментом относительно оси материальной точки А, имеющей массу m и отстоящей от оси на расстоянии , называется величина .

Статическим моментом относительно оси системы материальных точек с массами , лежащих в одной плоскости с осью и удаленных от нее на расстояния называется сумма

причем расстояния точек, лежащих по одну сторону оси берутся со знаком «+», а по другую – со знаком «-». Аналогично определяется статический момент системы точек относительно плоскости.

Если массы непрерывно заполняют линию или фигуру плоскости хОу, то статистические моменты М_х и М_у относительно координатных осей Ох и Оу вместо сумм (1) выражается соответствующими интегралами. Для случая геометрических фигур плотность считается равной единице.

В частности: 1) для кривой , где параметр есть длина дуги, имеем: (2)

- дифференциал дуги, - длина всей кривой.

2) для плоской фигуры, ограниченной кривой , осью Ох и двумя вертикалями , получаем:

Пример: Найти статистические моменты относительно осей Ох и Оу треугольника, ограниченного прямыми: .

Решение: Здесь .

Моментом инерции относительно оси материальной точки массы m, отстоящей от оси на расстоянии d, называется число .

Моментом инерции относительно оси системы n материальных точек с массами называется сумма , где - расстояния точек от оси . В случае сплошной массы получаем соответствующий интеграл.

Пример: Найти момент инерции треугольника с основанием b и высотой h, относительно его основания.

 

Решение. Основание треугольника примем за ось Ох, а его высоту – за ось Оу. Разобьем треугольник на бесконечно тонкие горизонтальные полоски толщиной , играющие роль элементарных масс , используя подобие треугольников, получаем: и .

Отсюда .

Координаты центра тяжести дуги плоской кривой (или фигуры) массы М вычисляются по формулам , где Мх и Му – статические моменты. В случае геометрических фигур масса М численно равна соответствующей длине дуги или площади.

Для координат центра тяжести дуги плоской кривой , соединяющей точки имеем: . Координаты центра тяжести криволинейной трапеции могут быть вычислены по формулам: - площадь фигуры.

Аналогичные формулы имеют место для центра тяжести тела.

Пример: Найти центр тяжести дуги полуокружности .

Решение:

Имеем

 

Отсюда . Следовательно, .

 

 

Приложение определенных интегралов

к решению физических задач.

1. Если точка движется по некоторой кривой и абсолютная величина

ее скорости есть известная функция времени t, то путь, пройденный точкой, за промежуток времени , равен .

Пример: Скорость точки равна м/с. Найти путь s,

пройденный точкой за промежуток времени t=10 сек, протекший от начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот промежуток?

Решение: Имеем: и м/сек.

2. Работа силы. Если переменная сила действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке равна .

Пример. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6

см., если сила 1кГ растягивает ее на 1 см?

Решение. Согласно закону Гука, сила ХкГ, растягивающая пружину на хм равна - коэффициент пропорциональности.

Полагая х=0,01м и Х=1кГ, получим =100 и, следовательно, Х=100х.

Отсюда искомая работа есть .

3. Кинетической энергией материальной точки, имеющей массу m и обладающей скоростью v называется выражение . Кинетическая энергия системы n , обладающих соответственно скоростями равна:

Для подсчета кинетической энергии тела его надлежащим образом разбивают на элементарные частицы (играющие роль материальных точек), а затем, суммируя кинетические энергии этих частиц, в пределе, вместо суммы К получают интеграл.

Пример: Найти кинетическую энергию однородного кругового цилиндра плотности s с радиусом основания R и высотой h, вращающегося с угловой скоростью w вокруг своей оси.

Решение:

За элементарную массу dm принимаем массу полого цилиндра высоты h, с внутренним радиусом r и толщиной стенок dr. Имеем:

Так как линейная скорость массы равна , то элементарная кинетическая энергия есть . Отсюда .

 

 

4. Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на площадку S с глубиной погружения h равна: , где - удельный вес жидкости.

Пример: Найти силу давления, испытываемую полукругом радиуса r, погруженным вертикально в воду так, что его диаметр совпадает с поверхностью воды.

Решение:

Разбиваем площадь полукруга на элементы – полоски, параллельные поверхности воды. Площадь одного такого элемента (если отбросить бесконечно малые высшего порядка), находящегося на расстоянии h от поверхности, равна .

Сила давления, испытываемая этим элементом, равна: - удельный вес воды, равный единице.

Отсюда вся сила давления есть .

Приложение 1.