Человечество в ходе своего развития придумало различные способы кодирования информации. Следы древних систем счета и кодирования чисел встречаются и сегодня в культуре и обычаях многих народов. К древнему Вавилону восходит деление часа на 60 минут и угла на 360 градусов. К древнему Риму восходит традиция записывать числа в римской записи небольшие числа. Римскими цифрами, например, мы привыкли записывать номер века. Часто с их помощью нумеруются главы книг, записываются числа на циферблатах часов. К англосаксам - жителям Британских островов - восходит традиция счета дюжинами: в году 12 месяцев, в футе 12 дюймов, в сутках 24 часа (два периода по 12 часов). Особую роль числа 40 помнит русский язык: сохранилось выражение “сорок сороков”, да и само число сорок выбивается из принципа образования ряда числительных, основанных на десятке (двадцать, тридцать, пятьдесят, шестьдесят, семьдесят, восемьдесят).
По современным данным, развитые системы нумерации впервые появились в Древнем Египте и Месопотамии. Для записи чисел египтяне применяли иероглифы, обозначающие числа один, десять, сто и т.д. до десяти миллионов. Числа, конечно, было записывать не очень удобно, запись многих чисел получалась очень громоздкой, например, число девять приходилось записывать девятью одинаковыми иероглифами, число девяносто - другими девятью одинаковыми иероглифами. Чтобы записать число 99, требовалось 18 иероглифов!
Этого недостатка лишены системы записи чисел, принятые в свое время у ионийцев, древних евреев, финикийцев, армян, грузин, а также и у славян. Славянская нумерация напоминала современную позиционную. В ней числа были закодированы буквами, а над этими буквами, чтобы избежать путаницы, ставился специальный знак - титло. Первая буква латинского алфавита с титлом обозначала 1(г), вторая - два и т.д. до 9, десятая буква с титлом обозначала 10, одиннадцатая - двадцать, двенадцатая - тридцать и т.д. Таким образом, каждой из чисел 1,10,20,…,90,100,200,…,900 соответствовала своя буква. Для больших чисел использовались те же самые буквы с добавленными к ним специальными значками.
Системой счисления называется способ записи (кодирования) чисел. Все системы счисления можно разделить на две группы: позиционные и непозиционные.
Позиционной называется такая система счисления, в которой величина цифры зависит от позиции (места), занимаемой этой цифрой в записи числа. Примером позиционной системы счисления служит арабская система счисления, которой мы обычно пользуемся. Если взять два числа 102 и 21, то цифра 1 в первом числе в 100 раз "тяжелее" той же цифры во втором числе. А вот цифра 2 в первом числе в 10 раз "легче" этой же цифры во втором числе.
Если же величина цифры не зависит от места, занимаемого этой цифрой, то такая система счисления называется непозиционной. Непозиционные системы счисления первичны по своему происхождению; но поскольку они имеют ряд недостатков по сравнению с позиционными системами счисления, то постепенно они потеряли свое значение. Хотя до настоящего времени еще используется римская система счисления, где для обозначения цифр используются латинские буквы: I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
Числа в римской системе счисления записываются по определенным правилам. Вот они:
1) если большая цифра стоит перед меньшей, они складываются, например: VI=6;
2) если меньшая цифра стоит перед большей, то из большей вычитается меньшая, причем в этом случае меньшая цифра уже повторяться не может, например: XL=40, XXL-нельзя;
3) цифры M,C,X,I могут повторяться в записи числа не более трех раз подряд;
4) цифры L,D, V могут использоваться в записи числа только по одному разу.
Например число 1996 будет записано в римской система счисления как MCMXCVI.
Самое большое число, которое можно записать в этой системе счисления, это число 3999 (MMMCMXCIX). Для записи еще больших чисел пришлось бы вводить еще новые обозначения.
А теперь попробуйте выполнить простую арифметическую операцию, не переводя числа в привычную систему счисления: умножить число CLVI на число LXXIV. Вряд ли вам это удастся.
Таким образом, можно констатировать следующие основные недостатки непозиционных система счисления:
а) в них нельзя записывать сколь угодно большие числа;
б) запись чисел обычно громоздка и неудобна;
в) математические операции над ними крайне затруднены.
Именно поэтому, хотя римская и очень "красивая" система счисления, она не получила широкого распространения.
Можно рассматривать системы счисления и с другими основаниями. Если р - основание системы счисления, то любое число Nв этой системе счисления может быть представлено в виде
N =а(n)*р^n + a(n-1)*p^(n-1) +... + a(1)*p + a(0), (1)
где коэффициенты - цифры р-ичной системы счисления.
Как мы уже говорили, использование двух символьного алфавита оказалось очень удобным в различных технических средствах связи, т.к. технически двух символьный алфавит легко реализуется. Поэтому самое широкое распространение получила двоичная система счисления.
Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами - конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в XVII - XIX веках. Великий немецкий ученый Лейбниц (1646 - 1716) считал:
“Вычисление с помощью двоек … является для науки основным и порождает новые открытия При сведении чисел к простым началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок”.
Позже двоичная система была забыта, и только в 1936-1938 гг. американский инженер и математик Клод Шеннон нашел замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем.
Вопросы и упражнения.
1. Что такое система счисления?
2. В чем отличие позиционной системы счисления от непозиционной?
3. Во сколько раз цифра 5 "тяжелее" в первом числе по сравнению с этой же цифрой второго числа: 15243 и 750?
4. Во сколько раз первая цифра 3, встречающаяся в числе "тяжелее" второй такой же цифры а) 33765; б) 37653?
5. Перемножьте числа 23 и 17. Запишите все три числа в римской системе счисления.
6. Почему непозиционные системы счисления потеряли свое значение?
7. Приведите примеры, где римские цифры используются в наше время.
8. Почему двоичная система счисления получила широкое распространение?