При изучении симплексного метода линейного программирования и практического его применения в землеустройстве важно знать, что каждой первоначальной задаче, постановка и решение которых рассмотрены в параграфах 3.1 и 3.2, соответствует другая линейная задача, называемая двойственной. Первоначальную задачу принято называть исходной задачей.
Решение двойственной задачи может быть получено из исходной задачи и наоборот.
Так, если в исходной задаче функция цели ориентирована на максимум:
при условиях:
(3.25)
то в её двойственной задаче, сформулированной на этих же исходных данных, функция цели будет ориентирована на минимум и математически условия будут представлены следующим образом:
при условиях:
(3.26)
При формулировке двойственной задачи будут иметь место следующие особенности:
- число ограничений в двойственной задаче будет равно числу неизвестных в исходной задаче;
- коэффициенты при неизвестных по столбцам в двойственной задаче равны коэффициентам при неизвестных по строкам в исходной задаче;
- функция цели в двойственной задаче ориентирована на минимум, если в исходной задаче – на максимум;
- коэффициентами функции цели в двойственной задаче являются свободные члены исходной задачи;
- если в исходной задаче все условия ограничены сверху, то в двойственной – снизу. Если в исходной задаче в качестве ограничения имеется равенство, то на соответствующую переменную двойственной ей задачи условие неотрицательности не накладывается.
Характер постановки исходной и двойственной ей задачи также имеют отличия. Если, например, исходная задача заключается в определении оптимальных размеров посевных площадей сельскохозяйственных культур при заданных ограниченных ресурсах, обеспечивающих максимальный выход продукции в кормовых единицах, то двойственная задача заключается в определении оценок единицы каждого из ресурсов, при условии, что будет использован минимум ресурсов, выраженных в кормовых единицах.
Принцип двойственности используется для облегчения решения задач, в которых число ограничений значительно больше числа переменных.
В двойственных задачах переменные выступают как оценки ресурсов, которые показывают максимальные возможности их использования при отыскании оптимального решения задачи. Такие двойственные оценки ресурсов содержатся и в индексной строке последней симплексной таблицы исходной задачи.
Экономический смысл двойственных оценок ресурсов в индексной строке исходной задачи заключается в том, что они показывают насколько изменится значение функции цели при увеличении значения соответствующей переменной на единицу её величины. Двойственные оценки позволяют выбрать наиболее эффективное направление корректировки оптимального решения исходной задачи.