МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫМОДЕЛИРОВАНИЯ
В ГЕОЛОГИИ
Часть II
Учебное пособие для студентов направления
ПРИКЛАДНАЯ ГЕОЛОГИЯ»
Астрахань
УДК 518: 55
ББК 26.3
Рецензент:
зав. каф. ГНГ АГТУ,
д.г.-м.н., проф. Н.Н. Гольчикова
Учебное пособие рассмотрено и рекомендовано к печати на заседании кафедры ____________ (протокол № от г.)
Мартьянова А.Е. Математические методы моделирования в геологии. Часть II: Учебное пособие для студентов направления 650100 «Прикладная геология». – Астрахань: АГТУ, 2008. – 190 с.
Настоящее учебное пособие подготовлено по материалам учебного курса, посвященного математическим методам в геологии, который читался автором для направления 650100 «Прикладная геология». В пособии рассмотрены сущность и условия применения одномерных, двумерных и многомерных статистических моделей, методы математического описания пространственных геологических закономерностей. В процессе освоения материала пособия предполагается выполнение рассматриваемых примеров и задач на компьютере в двух популярных программных пакетах: электронных таблицах Excel корпорации Microsoft и статистическом пакете STATISTICA фирмы StatSoft.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие. 4
Лабораторная работа № VI. Многомерные статистические модели. Многомерный корреляционный анализ. Множественная регрессия. 6
Лабораторная работа № VII. Многомерные статистические модели. Кластерный анализ. Факторный анализ. 29
Лабораторная работа № VIII. Многомерные статистические модели. Задачи распознавания образов в геологии. 95
Лабораторная работа № IX. Моделирование пространственных переменных. Аппроксимация поверхностей тренда полиномами. 105
Лабораторная работа № X. Оптимизация. 126
Контрольные вопросы.. 136
Литература. 138
Приложения. 140
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие подготовлено по материалам учебного курса, который читался автором для студентов направления 650100 «Прикладная геология» по дисциплине «Математические методы моделирования в геологии». Пособие является уже вторым изданием и в значительной мере расширено и дополнено.
Пособие состоит из введения, списка литературы, приложений и десяти разделов: Лабораторная работа № I. «Одномерные статистические модели. Сущность и условия применения. Простейшие преобразования количественной геологической информации». Лабораторная работа № II. «Одномерные статистические модели. Статистические характеристики, используемые в геологии. Законы распределения. Интервальные оценки свойств геологических объектов». Лабораторная работа № III. «Одномерные статистические модели. Статистическая проверка геологических гипотез». Лабораторная работа № IV. «Одномерные статистические модели. Однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ в геологии». Лабораторная работа № V. «Двумерные статистические модели. Корреляционный анализ. Регрессионный анализ». Лабораторная работа № VI. «Многомерные статистические модели. Многомерный корреляционный анализ. Множественная регрессия». Лабораторная работа № VII. «Многомерные статистические модели. Кластерный анализ. Факторный анализ». Лабораторная работа № VIII. «Многомерные статистические модели. Задачи распознавания образов в геологии». Лабораторная работа № IX. «Моделирование пространственных переменных. Аппроксимация поверхностей тренда полиномами». Лабораторная работа № X. «Оптимизация». Каждый раздел содержит примеры, решение которых подробно рассматривается в пособии и задачи, для решения которых, как правило, приводятся необходимые указания и теоретические сведения. В основу учебного пособия положены материалы, подобранные из источников [1, 9 – 11, 17]. Обращение этим к источникам определяет круг используемых в пособии примеров и задач, решение которых рассматривается на основе использования современного программного обеспечения: электронных таблиц Excel корпорации Microsoft и статистического пакета STATISTICA 6.0 фирмы StatSoft, Inc. При рассмотрении теоретических вопросов широко использовались источники [4 – 6, 10 – 12, 19].
Для дополнительного изучения возможностей рассматриваемого программного обеспечения по обработке статистических данных можно порекомендовать обращение к источникам [2, 3, 7, 8, 16, 18, 20].
В конце пособия приводится список контрольных вопросов.
Из источника [3] в приложении XIII приводится англо-русский словарь терминов пакета STATISTICA и статистических терминов.
В приложении XIV приводится краткий справочник по основным функциям Excel, используемым в вычислениях, составленный по справочным материалам программы.
В приложении XV приводится краткий справочник по использованию пакета анализа Excel.
Учебное пособие адресовано студентам-геологам, изучающим математические методы моделирования в геологии, но также может быть полезно преподавателям и специалистам.
Хочу поблагодарить студентов потока ДХГ-III Астраханского государственного технического университета, во многом благодаря которым состоялось данное учебное пособие.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № VI. МНОГОМЕРНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. МНОГОМЕРНЫЙ КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ. МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ
Любое геологическое явление может быть охарактеризовано множеством признаков, поддающихся наблюдению и измерению. Геологические объекты должны рассматриваться как системы, зависящие от большого числа факторов и требующие для своего описания многомерного признакового пространства. Так, например, магматические породы сходного минерального и химического составов могут обладать некоторыми петрохимическими особенностями, определяющими их специфическую рудоносность. Эти особенности не поддаются выявлению с первого взгляда, однако они могут быть установлены путем целенаправленной статистической обработки результатов химических анализов пород. При решении подобных задач необходимо совместное рассмотрение комплекса изучаемых признаков, то есть создание многомерной статистической модели.
В качестве математической модели значений комплекса признаков рассматривается многомерная случайная величина, которая часто называется случайным вектором. Многомерные модели подразумевают вероятность нормального статистического распределения рассматриваемых случайных величин или хотя бы возможности их нормализации. Однако статистические критерии для большинства процедур многомерного анализа разработаны при очень сильных ограничениях или основываются на логических соображениях. Некоторые многомерные модели и методы (например, метод главных компонент и многие методы распознавания образов) вообще не имеют статистического обоснования, а критерии значимости для них еще не созданы.
Вследствие сложных стохастических взаимосвязей между изучаемыми признаками (переменными) часто не удается принять правильного решения относительно каждой из них. В таких случаях очень эффективно всестороннее исследование системы с выделением наиболее важных факторов, объединяющих влияние нескольких переменных.
Многомерные методы статистических исследований сложны как с теоретических, так и с методологических позиций.
В большинстве многомерных геологических задач приходится иметь дело со сложными сочетаниями действующих факторов, которые не удается выделить в чистом виде и изучить изолированно. Тем не менее, многомерные методы являются весьма перспективными и многообещающими средствами геологических исследований, поскольку они позволяют геологу одновременно работать с большим числом переменных, чем он может осознать сам. Совместное изучение комплексов взаимосвязанных переменных (признаков) способствует выявлению дополнительной, часто весьма существенной, информации об изменчивости свойств изучаемых объектов и обеспечивает возможность прогнозирования их неизвестных свойств.
МНОГОМЕРНЫЙ КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
Многомерный корреляционный анализ применяется для выявления зависимостей между наблюденными значениями различных геологических характеристик и разделения множества признаков по характеру их внутренних связей.
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ МАТРИЦА
При большом числе наблюдений, когда коэффициенты корреляции необходимо последовательно вычислять из нескольких рядов числовых данных, для удобства получаемые коэффициенты сводят в таблицы, называемые корреляционными матрицами. Корреляционная матрица – это квадратная (или прямоугольная) таблица, в которой на пересечении соответствующих строки и столбца находится коэффициент корреляции между соответствующими параметрами. В Excel для вычисления корреляционных матриц используется процедура Корреляция. Процедура позволяет получить корреляционную матрицу, содержащую коэффициенты корреляции между различными параметрами. Реализация этой процедуры подробно рассмотрена в ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № V.
ПРИМЕР VI.1
В рудах полиметаллического месторождения, кроме основных полезных компонентов – цинка, свинца и меди, содержатся попутные полезные компоненты – золото, серебро, кадмий, сурьма, барий, извлекаемые из руд в процессе переработки. При наличии корреляционной связи между концентрациями основных и одного из попутных компонентов содержания последнего по отдельным участкам месторождения могут оцениваться по присутствию основных компонентов, что позволяет существенно уменьшить затраты на анализы. Для решения вопроса о возможности применения корреляционного метода подсчета запасов попутного компонента и расчета уравнения регрессии используются результаты анализов на основные и попутный компоненты по пробам (табл. VI.1 – VI.5).
Требуется
1) проверить гипотезу о наличии корреляционной связи между основными и одним из попутных компонентов;
2) определить, с каким из основных компонентов наиболее тесно связан попутный компонент;
3) получить корреляционную матрицу. Выделить значимые коэффициенты корреляции.
Таблица VI.1. Содержание основных и попутного полезных компонентов в рудах полиметаллического месторождения
| № п/п | Cu, % | Pb, % | Zn, % | Au, г/т | № п/п | Cu, % | Pb, % | Zn, % | Au, г/т |
| 0,26 | 1,73 | 8,67 | 0,2 | 0,02 | 0,39 | 1,18 | 0,1 | ||
| 0,20 | 1,66 | 4,47 | 0,1 | 0,15 | 0,08 | 2,90 | 0,1 | ||
| 1,26 | 3,29 | 2,02 | 0,6 | 0,25 | 0,06 | 2,90 | 0,1 | ||
| 0,34 | 3,08 | 8,46 | 0,4 | 1,17 | 0,12 | 9,25 | 0,1 | ||
| 0,06 | 0,21 | 0,42 | 0,2 | 0,06 | 0,06 | 1,00 | 0,1 | ||
| 0,11 | 1,50 | 3,20 | 0,4 | 0,05 | 0,02 | 1,58 | 0,1 | ||
| 0,14 | 1,60 | 3,49 | 0,1 | 0,23 | 0,09 | 3,12 | 0,1 | ||
| 0,09 | 0,65 | 1,70 | 0,2 | 0,09 | 0,05 | 0,63 | 0,1 | ||
| 0,26 | 2,05 | 3,82 | 0,2 | 0,15 | 0,12 | 0,90 | 0,1 | ||
| 0,29 | 2,05 | 4,66 | 0,1 | 0,06 | 0,75 | 1,71 | 0,1 | ||
| 0,12 | 1,43 | 3,30 | 0,1 | 0,10 | 0,10 | 3,20 | 0,1 | ||
| 0,02 | 0,55 | 1,85 | 0,1 | 0,44 | 2,32 | 8,20 | 0,1 | ||
| 0,12 | 0,25 | 2,60 | 0,1 | 0,08 | 0,49 | 1,05 | 0,1 | ||
| 0,38 | 0,08 | 5,53 | 0,4 | 0,02 | 0,22 | 0,65 | 0,4 | ||
| 0,30 | 0,14 | 8,41 | 0,4 | 0,02 | 0,46 | 1,30 | 0,1 | ||
| 0,02 | 0,46 | 1,76 | 0,2 | 0,02 | 0,47 | 0,94 | 0,1 | ||
| 0,34 | 3,08 | 8,46 | 0,4 | 1,06 | 5,61 | 29,30 | 0,8 | ||
| 1,26 | 3,29 | 22,82 | 0,6 | 0,58 | 4,51 | 18,28 | 2,2 | ||
| 2,22 | 0,66 | 15,88 | 0,1 | 0,54 | 3,41 | 6,15 | 0,4 | ||
| 0,75 | 0,78 | 4,20 | 0,1 | 0,11 | 0,83 | 1,92 | 0,1 | ||
| 4,64 | 0,37 | 13,48 | 0,4 | 0,08 | 3,21 | 7,44 | 0,4 | ||
| 3,64 | 0,85 | 35,97 | 0,8 | 0,52 | 1,69 | 3,30 | 0,2 | ||
| 0,95 | 0,56 | 8,02 | 0,2 | 0,30 | 7,02 | 24,37 | 0,2 | ||
| 0,09 | 0,66 | 1,47 | 0,1 | 0,26 | 1,69 | 2,60 | 0,4 | ||
| 0,02 | 0,46 | 0,85 | 0,1 | 0,37 | 5,61 | 11,34 | 0,4 |
Таблица VI.2. Содержание основных и попутного полезных компонентов в рудах полиметаллического месторождения
| № п/п | Cu, % | Pb, % | Zn, % | Ag, г/т | № п/п | Cu, % | Pb, % | Zn, % | Ag, г/т |
| 0,26 | 1,73 | 8,67 | 32,8 | 0,02 | 0,39 | 1,18 | 5,0 | ||
| 0,20 | 1,66 | 4,47 | 28,8 | 0,15 | 0,08 | 2,90 | 10,0 | ||
| 1,26 | 3,29 | 2,02 | 126,8 | 0,25 | 0,06 | 2,90 | 12,4 | ||
| 0,34 | 3,08 | 8,46 | 28,8 | 1,17 | 0,12 | 9,25 | 112,8 | ||
| 0,06 | 0,21 | 0,42 | 16,8 | 0,06 | 0,06 | 1,00 | 7,0 | ||
| 0,11 | 1,50 | 3,20 | 39,6 | 0,05 | 0,02 | 1,58 | 8,4 | ||
| 0,14 | 1,60 | 3,49 | 19,6 | 0,23 | 0,09 | 3,12 | 26,0 | ||
| 0,09 | 0,65 | 1,70 | 35,2 | 0,09 | 0,05 | 0,63 | 11,0 | ||
| 0,26 | 2,05 | 3,82 | 35,7 | 0,15 | 0,12 | 0,90 | 12,8 | ||
| 0,29 | 2,05 | 4,66 | 12,4 | 0,06 | 0,75 | 1,71 | 16,8 | ||
| 0,12 | 1,43 | 3,30 | 24,8 | 0,10 | 0,10 | 3,20 | 4,2 | ||
| 0,02 | 0,55 | 1,85 | 11,6 | 0,44 | 2,32 | 8,20 | 68,8 | ||
| 0,12 | 0,25 | 2,60 | 11,6 | 0,08 | 0,49 | 1,05 | 27,0 | ||
| 0,38 | 0,08 | 5,53 | 52,8 | 0,02 | 0,22 | 0,65 | 10,2 | ||
| 0,30 | 0,14 | 8,41 | 18,4 | 0,02 | 0,46 | 1,30 | 7,2 | ||
| 0,02 | 0,46 | 1,76 | 19,6 | 0,02 | 0,47 | 0,94 | 21,0 | ||
| 0,34 | 3,08 | 8,46 | 20,8 | 1,06 | 5,61 | 29,30 | 97,6 | ||
| 1,26 | 3,29 | 22,82 | 131,4 | 0,58 | 4,51 | 18,28 | 119,2 | ||
| 2,22 | 0,66 | 15,88 | 106,6 | 0,54 | 3,41 | 6,15 | 141,2 | ||
| 0,75 | 0,78 | 4,20 | 91,2 | 0,11 | 0,83 | 1,92 | 23,6 | ||
| 4,64 | 0,37 | 13,48 | 63,2 | 0,08 | 3,21 | 7,44 | 38,0 | ||
| 3,64 | 0,85 | 35,97 | 94,4 | 0,52 | 1,69 | 3,30 | 64,2 | ||
| 0,95 | 0,56 | 8,02 | 122,0 | 0,30 | 7,02 | 24,37 | 160,0 | ||
| 0,09 | 0,66 | 1,47 | 10,0 | 0,26 | 1,69 | 2,60 | 33,0 | ||
| 0,02 | 0,46 | 0,85 | 3,8 | 0,37 | 5,61 | 11,34 | 90,4 |
Таблица VI.3. Содержание основных и попутного полезных компонентов в рудах полиметаллического месторождения
| № п/п | Cu, % | Pb, % | Zn, % | Cd, 10-4% | № п/п | Cu, % | Pb, % | Zn, % | Cd, 10-4% |
| 0,26 | 1,73 | 8,67 | 0,02 | 0,39 | 1,18 | ||||
| 0,20 | 1,66 | 4,47 | 0,15 | 0,08 | 2,90 | ||||
| 1,26 | 3,29 | 2,02 | 0,25 | 0,06 | 2,90 | ||||
| 0,34 | 3,08 | 8,46 | 1,17 | 0,12 | 9,25 | ||||
| 0,06 | 0,21 | 0,42 | 0,06 | 0,06 | 1,00 | ||||
| 0,11 | 1,50 | 3,20 | 0,05 | 0,02 | 1,58 | ||||
| 0,14 | 1,60 | 3,49 | 0,23 | 0,09 | 3,12 | ||||
| 0,09 | 0,65 | 1,70 | 0,09 | 0,05 | 0,63 | ||||
| 0,26 | 2,05 | 3,82 | 0,15 | 0,12 | 0,90 | ||||
| 0,29 | 2,05 | 4,66 | 0,06 | 0,75 | 1,71 | ||||
| 0,12 | 1,43 | 3,30 | 0,10 | 0,10 | 3,20 | ||||
| 0,02 | 0,55 | 1,85 | 0,44 | 2,32 | 8,20 | ||||
| 0,12 | 0,25 | 2,60 | 0,08 | 0,49 | 1,05 | ||||
| 0,38 | 0,08 | 5,53 | 0,02 | 0,22 | 0,65 | ||||
| 0,30 | 0,14 | 8,41 | 0,02 | 0,46 | 1,30 | ||||
| 0,02 | 0,46 | 1,76 | 0,02 | 0,47 | 0,94 | ||||
| 0,34 | 3,08 | 8,46 | 1,06 | 5,61 | 29,30 | ||||
| 1,26 | 3,29 | 22,82 | 0,58 | 4,51 | 18,28 | ||||
| 2,22 | 0,66 | 15,88 | 0,54 | 3,41 | 6,15 | ||||
| 0,75 | 0,78 | 4,20 | 0,11 | 0,83 | 1,92 | ||||
| 4,64 | 0,37 | 13,48 | 0,08 | 3,21 | 7,44 | ||||
| 3,64 | 0,85 | 35,97 | 0,52 | 1,69 | 3,30 | ||||
| 0,95 | 0,56 | 8,02 | 0,30 | 7,02 | 24,37 | ||||
| 0,09 | 0,66 | 1,47 | 0,26 | 1,69 | 2,60 | ||||
| 0,02 | 0,46 | 0,85 | 0,37 | 5,61 | 11,34 |
Таблица VI.4. Содержание основных и попутного полезных компонентов в рудах полиметаллического месторождения
| № п/п | Cu, % | Pb, % | Zn, % | Sb, 10-4% | № п/п | Cu, % | Pb, % | Zn, % | Sb, 10-4% |
| 0,26 | 1,73 | 8,67 | 0,02 | 0,39 | 1,18 | ||||
| 0,20 | 1,66 | 4,47 | 0,15 | 0,08 | 2,90 | ||||
| 1,26 | 3,29 | 2,02 | 0,25 | 0,06 | 2,90 | ||||
| 0,34 | 3,08 | 8,46 | 1,17 | 0,12 | 9,25 | ||||
| 0,06 | 0,21 | 0,42 | 0,06 | 0,06 | 1,00 | ||||
| 0,11 | 1,50 | 3,20 | 0,05 | 0,02 | 1,58 | ||||
| 0,14 | 1,60 | 3,49 | 0,23 | 0,09 | 3,12 | ||||
| 0,09 | 0,65 | 1,70 | 0,09 | 0,05 | 0,63 | ||||
| 0,26 | 2,05 | 3,82 | 0,15 | 0,12 | 0,90 | ||||
| 0,29 | 2,05 | 4,66 | 0,06 | 0,75 | 1,71 | ||||
| 0,12 | 1,43 | 3,30 | 0,10 | 0,10 | 3,20 | ||||
| 0,02 | 0,55 | 1,85 | 0,44 | 2,32 | 8,20 | ||||
| 0,12 | 0,25 | 2,60 | 0,08 | 0,49 | 1,05 | ||||
| 0,38 | 0,08 | 5,53 | 0,02 | 0,22 | 0,65 | ||||
| 0,30 | 0,14 | 8,41 | 0,02 | 0,46 | 1,30 | ||||
| 0,02 | 0,46 | 1,76 | 0,02 | 0,47 | 0,94 | ||||
| 0,34 | 3,08 | 8,46 | 1,06 | 5,61 | 29,30 | ||||
| 1,26 | 3,29 | 22,82 | 0,58 | 4,51 | 18,28 | ||||
| 2,22 | 0,66 | 15,88 | 0,54 | 3,41 | 6,15 | ||||
| 0,75 | 0,78 | 4,20 | 0,11 | 0,83 | 1,92 | ||||
| 4,64 | 0,37 | 13,48 | 0,08 | 3,21 | 7,44 | ||||
| 3,64 | 0,85 | 35,97 | 0,52 | 1,69 | 3,30 | ||||
| 0,95 | 0,56 | 8,02 | 0,30 | 7,02 | 24,37 | ||||
| 0,09 | 0,66 | 1,47 | 0,26 | 1,69 | 2,60 | ||||
| 0,02 | 0,46 | 0,85 | 0,37 | 5,61 | 11,34 |
Таблица VI.5. Содержание основных и попутного полезных компонентов в рудах полиметаллического месторождения
| № п/п | Cu, % | Pb, % | Zn, % | Ba, % | № п/п | Cu, % | Pb, % | Zn, % | Ba, % |
| 0,26 | 1,73 | 8,67 | 9,92 | 0,02 | 0,39 | 1,18 | 2,21 | ||
| 0,20 | 1,66 | 4,47 | 5,07 | 0,15 | 0,08 | 2,90 | 4,19 | ||
| 1,26 | 3,29 | 2,02 | 19,95 | 0,25 | 0,06 | 2,90 | 3,12 | ||
| 0,34 | 3,08 | 8,46 | 9,41 | 1,17 | 0,12 | 9,25 | 2,52 | ||
| 0,06 | 0,21 | 0,42 | 2,54 | 0,06 | 0,06 | 1,00 | 1,94 | ||
| 0,11 | 1,50 | 3,20 | 7,63 | 0,05 | 0,02 | 1,58 | 2,45 | ||
| 0,14 | 1,60 | 3,49 | 6,87 | 0,23 | 0,09 | 3,12 | 4,84 | ||
| 0,09 | 0,65 | 1,70 | 2,18 | 0,09 | 0,05 | 0,63 | 4,10 | ||
| 0,26 | 2,05 | 3,82 | 7,34 | 0,15 | 0,12 | 0,90 | 4,81 | ||
| 0,29 | 2,05 | 4,66 | 8,01 | 0,06 | 0,75 | 1,71 | 4,21 | ||
| 0,12 | 1,43 | 3,30 | 10,15 | 0,10 | 0,10 | 3,20 | 3,41 | ||
| 0,02 | 0,55 | 1,85 | 2,19 | 0,44 | 2,32 | 8,20 | 27,78 | ||
| 0,12 | 0,25 | 2,60 | 3,06 | 0,08 | 0,49 | 1,05 | 1,73 | ||
| 0,38 | 0,08 | 5,53 | 4,00 | 0,02 | 0,22 | 0,65 | 1,73 | ||
| 0,30 | 0,14 | 8,41 | 3,36 | 0,02 | 0,46 | 1,30 | 1,89 | ||
| 0,02 | 0,46 | 1,76 | 2,24 | 0,02 | 0,47 | 0,94 | 1,88 | ||
| 0,34 | 3,08 | 8,46 | 9,41 | 1,06 | 5,61 | 29,30 | 23,82 | ||
| 1,26 | 3,29 | 22,82 | 10,95 | 0,58 | 4,51 | 18,28 | 18,53 | ||
| 2,22 | 0,66 | 15,88 | 0,92 | 0,54 | 3,41 | 6,15 | 35,00 | ||
| 0,75 | 0,78 | 4,20 | 2,56 | 0,11 | 0,83 | 1,92 | 2,00 | ||
| 4,64 | 0,37 | 13,48 | 6,29 | 0,08 | 3,21 | 7,44 | 9,98 | ||
| 3,64 | 0,85 | 35,97 | 5,58 | 0,52 | 1,69 | 3,30 | 6,65 | ||
| 0,95 | 0,56 | 8,02 | 3,25 | 0,30 | 7,02 | 24,37 | 19,92 | ||
| 0,09 | 0,66 | 1,47 | 3,01 | 0,26 | 1,69 | 2,60 | 7,76 | ||
| 0,02 | 0,46 | 0,85 | 1,66 | 0,37 | 5,61 | 11,34 | 9,00 |