Приложение I. Значения функции нормального распределения с параметрами 0 и 1 (для отрицательных значений Z) 7 глава




В диапазоне B16:D18 составить матрицу системы уравнений (IX.1): в ячейку B16 записать формулу =A13, в ячейку C16 – формулу =A12, в ячейку D16 – формулу =C12, в ячейку B17 – формулу =A12, в ячейку C17 – формулу =B12, в ячейку D17 – формулу =E12, в ячейку B18 – формулу =C12, в ячейку C18 – формулу =E12, в ячейку D18 – формулу =D12. В диапазоне F16:F18 составить вектор свободных членов системы уравнений (IX.1): в ячейку F16 записать формулу =F12, в ячейку F17 – формулу =G12, в ячейку F18 – формулу =H12.

Эти значения записывают систему уравнений (IX.1) в матричной форме (IX.2):

,

Для матричных операций в Excel предусмотрены функции, входящие в категорию «Математические»:

МОПРЕД – вычисление определителя матрицы;

МОБР – вычисление обратной матрицы;

МУМНОЖ – перемножение матриц.

Первая из этих функций возвращает число, поэтому вводится как обычная формула. Остальные функции возвращают блок ячеек, поэтому они должны вводиться как табличные формулы. Первая буква «М» в названии трех функций – сокращение от слова «матрица».

В ячейке A17 вычисляется определитель матрицы системы =МОПРЕД(B16:D18), который отличен от нуля и равен 656509376.

В блок B20:D22 ввести формулу для вычисления обратной матрицы. Для этого выделить блок B20:D22 (он имеет три строки и три столбца, как и исходная матрица). Ввести формулу {=МОБР(B16:D18)}. Даже если Вы используете Мастер функций, нужно завершить ввод нажатием комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter (вместо щелчка по кнопке OK). Если Вы забыли предварительно выделить блок B16:D18, а ввели формулу в ячейку B20 как обычную формулу Excel (закончив ввод нажатием Enter), то не нужно вводить ее заново: выделите B16:D18, нажмите клавишу F2 (редактирование), но не изменяйте формулу, просто нажмите Ctrl+Shift+Enter.

В блок F20:F22 ввести для вычисления коэффициентов β 0, β 1 и β 2 формулу {=МУМНОЖ(B20:D22;F16:F18)}, то есть после решения матричного уравнения получить: β 0= –621,04; β 1 = 4,78; β 2 = –1,96. Подставляя эти значения в уравнение , можно вычислить значения отметок плоскости тренда () для каждой скважины и разности , характеризующие составляющие случайной изменчивости гипсометрической поверхности.

Уравнение функция от двух координат (условных координат площади) описывает поверхность отметки подошвы меловых отложений. Пусть необходимо построить эту поверхность, лежащую в диапазонах: [0; 100], [0; 100] с шагом Δ = 10 для обеих переменных.

Ввести значения переменной х в столбец A. Для этого в ячейку А26 ввести символ х. В ячейку А27 вводится первое значение аргумента – левая граница диапазона (0). В ячейку A28 вводится второе значение аргумента – левая граница диапазона плюс шаг построения (10). Затем, выделив блок ячеек А27:А28, автозаполнением получить все значения аргумента (за правый нижний угол блока протянуть до ячейки А37).

Значения переменной y вводим в строку 26. Для этого в ячейку В26 вводится первое значение переменной – левая граница диапазона (0). В ячейку С26 вводится второе значение переменной – левая граница диапазона плюс шаг построения (10).Затем, выделив блок ячеек В26:С26, автозаполнением получить все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки L26).

Далее ввести значения переменной . Для этого табличный курсор необходимо поместить в ячейку В27 и записать формулу =$F$20+$F$21*$A27+$F$22*B$26. Обращаем внимание, что символы $ предназначены для фиксации адреса столбца А – переменной х и строки 26 – переменной у. Кроме того, символы $ предназначены для фиксации адресов коэффициентов β 0 – $F$20, β 1 – $F$21 и β 2 – $F$22. Нажать кнопку ОK. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В27. Для этого автозаполнением (протягиванием вправо) эту формула копируется вначале в диапазон B27:L27, после чего (протягиванием вниз) – в диапазон B28:L37.

Для построения диаграммы необходимо выделить диапазон A26:L37и на панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы указать тип диаграммы – Поверхность, и вид – Контурная диаграмма (левую нижнюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и убедиться, что в поле Диапазон указан правильно интервал данных $A$26:$L$37.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. Это определит ориентацию осей х и у. В примере переключатель Ряды в с помощью указателя мыши установить положение в столбцах.

Выбрать вкладку Ряд и в поле Подписи оси Х проверить диапазон подписей оси х – $A$27:$A$37.

Проверить также значения подписей оси у. Для этого в рабочем поле Ряд указать первую запись 0 и в рабочее поле Имя, активизировав его указателем мыши, проверить первое значение переменной у –$B$26. Затем в поле Ряд указать вторую запись 10 и в рабочем поле Имя увидим второе значение переменной у –$С$26, в поле Подписи оси Х проверить диапазон подписей оси х – $A$27:$A$37 Повторить, таким образом, до последней записи – 100. После необходимо нажать кнопку Далее.

В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести с клавиатуры в поле название: Карта отметок подошвы меловых отложений. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось Х (категорий), Ось Y (рядов данных) и Ось Z (значений) соответствующие названия X, км, Y, км, Абсолютные отметки, м. Далее следует нажать кнопку Готово, и после небольшого редактирования будет получена диаграмма (см. рис. IX.1) изолиний плоскости тренда.

Оценка степени приближения плотности тренда к наблюденным результатам, то есть средняя изменчивость их отклонений может быть охарактеризована величиной SSDD = SST – SSR,

где .

Процент учета общей изменчивости плоскостью тренда осуществляется по формуле .

В ячейку I1 ввести обозначение u', в ячейку J1 ввести обозначение u ^2, в ячейку K1 – обозначение u' ^2. Диапазон I2:I11 заполнить значениями отметок подошвы меловых отложений, рассчитанными по формуле тренда: в ячейку I2 ввести формулу =$F$20+$F$21*A2+$F$22*C2, которую скопировать во весь диапазон I2:I11. В ячейку J2 ввести формулу =F2^2, которую скопировать во весь диапазон J2:J11. В ячейку K2 ввести формулу =I2^2, которую скопировать во весь диапазон K2:K11. В ячейках диапазона I12:K12 рассчитать с помощью кнопки Автосумма панели инструментов Стандартная соответствующие суммы по столбцам. В ячейку J14 ввести обозначение SST, в ячейку J15 ввести обозначение SSR, ячейку J16 ввести обозначение SSDD, ячейку J17 ввести обозначение K^2. В ячейку K14 ввести формулу =J12-(F12^2/A13), в ячейку K15 ввести формулу =K12-(I12^2/A13), в ячейку K16 ввести формулу =K14-K15, в ячейку K17 ввести формулу =K15/K14 и установить формат числа в процентах (кнопка Процентный формат на панели инструментов Форматирование).

Таким образом, плоскость тренда учитывает 90% общей изменчивости:

.

Рис. IX.1. Карта отметок подошвы меловых отложений в северо-восточной Африке: поверхность тренда первого порядка

Примечание

В приведенном ПРИМЕРЕ IX.1 задача аппроксимации поверхности тренда удовлетворительно решается с применением ортогональных полиномов первой степени. В случаях, когда доля случайной изменчивости остается все же достаточно большей после аппроксимации линейными функциями, для выявления закономерной изменчивости более высокого порядка применяются полиномы второй, третьей и реже – более высоких степеней.

Поверхность тренда второго порядка будет описываться уравнением , а число неизвестных полиномиальных коэффициентов увеличится до пяти. Для перехода к уравнению следующего более высокого порядка каждая географическая координата возводится в заданную степень и добавляются соответствующие смешанные произведения.

Выбор степени аппроксимирующего полинома и оценка значимости выявленных закономерностей могут осуществляться с помощью дисперсионного анализа. Для этого подсчитываются средние квадраты отклонений эмпирических значений исследуемого признака в точках замера от среднего арифметического и от аппроксимирующих поверхностей разного порядка, а также средние квадраты отклонений от среднего арифметического самих аппроксимирующих поверхностей. Значимость закономерностей, описываемых полиномами определенного порядка, проверяется с помощью критерия Фишера.

В геологической практике региональные закономерности обычно удовлетворительно описываются полиномами не выше третьей степени.

Аппроксимация тригонометрическими полиномами позволяет описывать закономерные периодические колебания свойств геологических объектов.

Из всех возможных аппроксимирующих функций выбирается та, которая точнее описывает имеющиеся данные и содержит наименьшее число параметров. Однако вид такой функции нельзя предсказать заранее, что существенно затрудняет практическое использование данных моделей. Аппроксимирующие функции координат пространства как модели геологических объектов имеют и некоторые другие недостатки:

· допускают существование нереальных значений изучаемых переменных, например, отрицательных значений содержания химических элементов в породах или мощностей рудных тел;

· не учитывают резких, скачкообразных изменений значений изучаемого свойства по геологическим границам, вследствие чего при моделировании рудных тел высокие содержания полезного компонента иногда распространяются на заведомо безрудные породы, например, на пострудные дайки;

· непригодны при использовании их для описания прерывистых объектов (например, рудных тел с прерывистым характером оруденения), так как происходит сглаживание исходных данных и искажается представление о степени прерывистости (увеличивается коэффициент рудоносности).

Выделение аномальных значений изучаемого свойства имеет в геологии большое практическое значение, так как с «аномалиями» часто связаны тела полезных ископаемых и другие наиболее интересные геологические объекты.

 

ЗАДАЧА IX.1

Требуется

Построитьсхему расположения пробуренных скважин – рис. VIII.2.

Указание

Использовать кнопку Мастер диаграмм панели инструментов Стандартная, выбрав тип диаграммы – Точечная.

Рис. IX.2. Карта отметок подошвы меловых отложений в северо-восточной Африке: расположение скважин с замерами абсолютных отметок подошвы меловых отложений

 

ПРИМЕР IX.2

Требуется

По исходным данным ПРИМЕРА IX.1 и табл. IX.1. произвести аппроксимацию поверхностей тренда полиномом в пакете Excel с помощью функции ЛИНЕЙН или с помощью процедуры Регрессия из пакета анализа данных.

Решение

Задача нахождения полиномиальных коэффициентов функции , описывающей поверхность тренда, может быть решена проще с помощью функции Excel ЛИНЕЙН или с помощью процедуры Регрессия из пакета анализа данных.

В ячейку A1 ввести обозначение x, в ячейку B1 ввести обозначение y, в ячейку C1 – обозначение u. Диапазон A2:A11 заполнить значениями координат скважин x, диапазон B2:B11 заполнить значениями координат скважин y, диапазон C2:C11 заполнить значениями абсолютных отметок подошвы меловых отложений u из табл. IX.1.

При использовании функции ЛИНЕЙН в свободный диапазон G2:I6 ввести табличную формулу {=ЛИНЕЙН(C2:C11;A2:B11;1;1)}. Первая строка полученного массива данных – это и есть соответствующие полиномиальные коэффициенты: в ячейке I2 – β 0, в ячейке H2 – β 1 и в ячейке G2 – β 2. Ячейка G4 полученного массива данных содержит коэффициент детерминации R 2, который равен 0,900. Следовательно, модель в целом адекватна описываемому явлению.

Построение диаграммы поверхности тренда можно осуществить аналогично тому, как это сделано в ПРИМЕРЕ IX.1.

При использовании процедуры Регрессия из пакета анализа данных в пункте меню Сервис выберите строку Анализ данных и далее укажите курсором мыши на строку Регрессия.

В появившемся диалоговом окне задайте Входной интервал Y. Для этого наведите указатель мыши на верхнюю ячейку столбца зависимых данных (C1), нажмите левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протяните указатель мыши к нижней ячейке (C11), затем отпустите левую кнопку мыши. (Обратите внимание, что зависимые данные – это те данные, которые предполагается вычислять). Так же укажите Входной интервал X, то есть введите ссылку на диапазон независимых данных A1:B11. (Независимые данные – это те данные, которые будут измеряться или наблюдаться).

Установите флажок в поле Метки в первой строке. Установите флажок в поле График подбора. Далее укажите выходной диапазон. Для этого поставьте переключатель в положение Выходной интервал (наведите указатель мыши и щелкните левой кнопкой), затем наведите указатель мыши на правое поле ввода Выходной интервал и, щелкнув левой кнопкой мыши, указатель мыши наведите на левую верхнюю ячейку выходного диапазона (A31). Щелкните левой кнопкой мыши. Нажмите кнопку OK.

Результаты анализа. В выходном диапазоне появятся результаты и графики подбора и остатков.

Интерпретация результатов. В таблице Дисперсионный анализ оценивается общее качество полученной модели ее достоверность по уровню значимости критерия Фишера – р, который должен быть меньше, чем 0,05 (строка Регрессия, столбец Значимость F, в примере 0,0003, то есть p =0,0003 – модель значима, и степень точности описания моделью процесса – R-квадрат (вторая строка сверху в таблице Регрессионная статистика, в примере R-квадрат = 0,900. Следовательно, модель в целом адекватна описываемому явлению.

Далее необходимо определить значения коэффициентов модели. Они определяются из таблицы в столбце Коэффициенты – в строке Y-пересечение приводится свободный член, в строках соответствующих переменных приводятся значения коэффициентов при этих переменных. В столбце p-значение приводится достоверность отличия соответствующих коэффициентов от нуля. В случаях, когда р > 0,05, коэффициент может считаться нулевым. Это означает, что соответствующая независимая переменная практически не влияет на зависимую переменную и коэффициент может быть убран из уравнения. Все рассчитанные коэффициенты значимы.

Таким образом, функция , описывающая поверхность тренда, может быть записана как .

 

ЗАДАЧА IX.2

Требуется

По исходным данным ПРИМЕРА IX.1 и табл. IX.1. произвести аппроксимацию поверхностей тренда полиномом в пакете Excel с помощью функции ЛИНЕЙН или с помощью процедуры Регрессия из пакета анализа данных.

Указание

Поверхность тренда второго порядка будет описываться уравнением , а число неизвестных полиномиальных коэффициентов увеличится до пяти.

Диапазон A2:A11 заполнить значениями координат скважин x, диапазон B2:B11 заполнить значениями квадратов координат скважин x 2, диапазон C2:C11 заполнить значениями координат скважин y, диапазон D2:D11 заполнить значениями координат скважин y 2, диапазон E2:E11 заполнить произведениями значений координат скважин xy, диапазон F2:F11 заполнить значениями абсолютных отметок подошвы меловых отложений u из табл. IX.1.

Диаграмма изолиний плоскости тренда второго порядка – см. рис. IX.3.

Исходные данные для построения этой диаграммы можно разместить следующим образом – рис. IX.4.

 

 

Рис. IX.3. Карта отметок подошвы меловых отложений в северо-восточной Африке: поверхность тренда второго порядка

 

Рис. IX.4. Размещение исходных на рабочем листе для построения диаграммы рисунка IX.3

 

 

ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ГОРНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ В МОДЕЛЕЙ И ТРЕНД-АНАЛИЗА В ГЕОЛОГИИ

Большинство геологических задач относится к числу пространственных исследований и имеет цель выявить особенности размещения изучаемых геологических объектов в структурах земной коры или элементов ее строения. Поэтому методы количественного описания и математического моделирования пространственных геологических закономерностей являются ведущими во всех отраслях геологических наук.

В геологической практике издавна исключительно широко распространены методы горно-геометрического моделирования геологических тел и свойств горных пород и полезных ископаемых.

Графические модели различных свойств природных геологических тел широко используются в структурной геологии, геологии полезных ископаемых, рудничной геологии и методике поисков и разведки полезных ископаемых. Методы горно-геометрического моделирования изучаются в курсе геометризации недр. На принципах П.К. Соболевского были разработаны различные аналитические методы описания изменчивости, использующие для этих целей первые или вторые последовательные разности значений показателей изменчивости по смежным пунктам наблюдений.

С помощью горно-геометрических моделей можно выразить особенности пространственной изменчивости свойств геологических образований, установить значение изучаемого свойства в любой точке исследуемого объекта, получить представление об его морфологии и внутреннем строении.

Гипсометрические планы поверхностей контактов, не выходящих на поверхность интрузивных тел и рудных залежей, графики изолиний содержаний полезных компонентов в рудных телах, карты геохимических и геофизических полей широко используются в геологической практике, так как они обеспечивают наглядность изображения и улучшают пространственное восприятие изучаемых закономерностей. Однако требование непрерывности и плавности изменения изучаемого свойства ограничивает область их практического применения объектами с весьма выдержанными в пространстве свойствами. К таким объектам относятся пласты осадочных пород, границы интрузивных образований, рудные тела с простой морфологией и относительно равномерным характером оруденения и т.п.

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № X. ОПТИМИЗАЦИЯ

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных. С точки зрения инженерных расчетов методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции, наилучшее распределение ресурсов и т.п.

В процессе решения задачи оптимизации обычно необходимо найти оптимальные значения некоторых параметров, определяющих данную задачу. При решении инженерных задач их принято называть проектными параметрами, а в экономических задачах их обычно называют параметрами плана. В качестве проектных параметров могут быть, в частности, значения линейных размеров объекта, массы, температуры и т.п. Число п проектных параметров x1, x2,..., xn характеризует размерность (и степень сложности) задачи оптимизации.

Выбор оптимального решения или сравнение двух альтернативных решений проводится с помощью некоторой зависимой величины (функции), определяемой проектными параметрами. Эта величина называется целевой функцией (или критерием качества). В процессе решения задачи оптимизации должны быть найдены такие значения проектных параметров, при которых целевая функция имеет минимум (или максимум). Таким образом, целевая функция – это глобальный критерий оптимальности в математических моделях, с помощью которых описываются инженерные или экономические задачи.

Целевую функцию можно записать в виде

u = f (x1, x2,..., xn). (X.1)

Примерами целевой функции, встречающимися в инженерных и экономических расчетах, являются прочность или масса конструкции, мощность установки, объем выпуска продукции, стоимость перевозок грузов, прибыль и т.п.

В случае одного проектною параметра (n = 1) целевая, функция (X.1) является функцией одной переменной, и ее график – некоторая кривая на плоскости. При п = 2 целевая функция является функцией двух переменных, и ее графиком является поверхность.

Следует отметить, что целевая функция не всегда может быть представлена в виде формулы. Иногда она может принимать только некоторые дискретные значения, задаваться в виде таблицы и т.п. Во всех случаях она должна быть однозначной функцией проектных параметров.

Целевых функций может быть несколько. Например, при проектировании изделий машиностроения одновременно требуется обеспечить максимальную надежность, минимальную материалоемкость, максимальный полезный объем (пли грузоподъемность). Некоторые целевые функции могут оказаться несовместимыми. В таких случаях необходимо вводить приоритет той или иной целевой функции.

 

ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ

Можно выделить два типа задач оптимизации – безусловные и условные. Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума действительной функции (X.1) от п действительных переменных и определении соответствующих значений аргументов на некотором множестве σ n -мерного пространства. Обычно рассматриваются задачи минимизации; к ним легко сводятся и задачи на поиск максимума путем замены знака целевой функции на противоположный.

Условные задачи оптимизации, или задачи с ограничениями, – это такие, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения) на множестве σ. Эти ограничения задаются совокупностью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям или неравенствам.

Ограничения-равенства выражают зависимость между проектными параметрами, которая должна учитываться при нахождении решения. Эти ограничения отражают законы природы, наличие ресурсов, финансовые требования и т.п.

В результате ограничений область проектирования σ, определяемая всеми п проектными параметрами, может быть существенно уменьшена в соответствии с физической сущностью задачи. Число m ограничений-равенств может быть произвольным. Их можно записать в виде

g1 (x1, x2,..., xn) = 0,

g2 (x1, x2,..., xn) = 0, (X.2)

……………………

gm (x1, x2,..., xn) = 0.

В ряде случаев из этих соотношений можно выразить одни проектные параметры через другие. Это позволяет исключить некоторые параметры из процесса оптимизации, что приводит к уменьшению размерности задачи и облегчает ее решение. Аналогично могут вводиться также ограничения-неравенства имеющие вид

a1 ≤ φ1 (x1, x2,..., xn) ≤ b1,

a2 ≤ φ2 (x1, x2,..., xn) ≤ b2, (X.3)

…………………………

ak ≤ φk (x1, x2,..., xn) ≤ bk.

Следует отметить особенность в отыскании решения при наличии ограничений. Оптимальное решение здесь может соответствовать либо локальному экстремуму (максимуму или минимуму) внутри области проектирования, либо значению целевой функции на границе области. Если же ограничения отсутствуют, то ищется оптимальное решение на всей области проектирования, то есть глобальный экстремум.

Теория и методы решения задач оптимизации при наличии ограничений составляют предмет исследования одного из важных разделов прикладной математики — математического программирования.

 

ОДНОМЕРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ. ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ

Одномерная задача оптимизации в общем случае формулируется следующим образом. Найти наименьшее (пли наибольшее) значение целевой функции y = f (x), заданной на множестве σ, и определить значение проектного параметра , при котором целевая функция принимает экстремальное значение. Существование решения поставленной задачи вытекает из следующей теоремы.

Теорема Вейерштрасса. Всякая функция f (x), непрерывная на отрезке [ a, b ], принимает на этом отрезке наименьшее и наибольшее значения, то есть на отрезке [ a, b ] существуют такие точки x1 и x2, что для любого имеют место неравенства

f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2).

Эта теорема не доказывает единственности решения. Не исключена возможность, когда равные экстремальные значения достигаются сразу в нескольких точках данного отрезка. В частности, такая ситуация имеет место для периодической функции, рассматриваемой на отрезке, содержащем несколько периодов.

Будем рассматривать методы оптимизации для разных классов целевых функций. Простейшим из них является случай дифференцируемой функции f (x) на отрезке [ a, b ],причем функция задана в виде аналитической зависимости y=f (x), и может быть найдено явное выражение для ее производной f' (x). Нахождение экстремумов таких функций можно проводить известными из курса высшей математики методами дифференциального исчисления. Напомним вкратце этот путь.

Функция f (x) может достигать своего наименьшего и наибольшего значений либо в граничных точках отрезка [ a, b ],либо в точках минимума и максимума. Последние точки обязательно должны быть критическими, то есть производная f' (x) в этих точках обращается в нуль, — это необходимое условие экстремума. Следовательно, для определения наименьшего или наибольшего значений функции f (x) на отрезке [ a, b ] нужно вычислить ее значения во всех критических точках данного отрезка и в его граничных точках и сравнить полученные значения; наименьшее или наибольшее из них и будет искомым значением.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: