Приложение I. Значения функции нормального распределения с параметрами 0 и 1 (для отрицательных значений Z) 8 глава




 

МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ

Выше мы рассмотрели одномерные задачи оптимизации, в которых целевая функция зависит лишь от одного аргумента. Однако в большинстве реальных задач оптимизации, представляющих практический интерес, целевая функция зависит от многих проектных параметров. Например, минимум дифференцируемой функции многих переменных u = f (x1, x2,..., xn) можно найти, исследуяеезначения в критических точках, которые определяются из решения системы дифференциальных уравнений

 

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

В случае, когда оптимизируемая целевая функция и ограничения линейны, задача оптимизации решается методами линейного программирования и обычно называется задачей линейного программирования.

Процесс решения задачи линейного программирования обычно состоит из ряда этапов:

· 1-й этап: осмысление задачи, выделение наиболее важных качеств, свойств, величин, параметров. Это можно делать, составляя схемы, таблицы, графики и т.п.;

· 2-й этап: введение обозначений (неизвестных). Желательно ограничиваться как можно меньшим количеством неизвестных, выражая по возможности одни величины через другие;

· 3-й этап: создание целевой функции. Обычно в качестве цели могут выступать максимальная стоимость всего объема продукции, максимальная прибыль, минимальные затраты и т.п. Целевая функция записывается в виде(X.1);

· 4-й этап: составление системы ограничений, которым должны удовлетворять введенные величины (X.2) или (X.3);

· 5-й этап: решение задачи на компьютере.

 

Инструментом для поиска решений задач оптимизации в Excel служит процедура Поиск решения (Сервис/Поиск решения). При этом открывается диалоговое окно Поиск решения. Оно содержит следующие рабочие поля:

· Установить целевую ячейку – служит для указания целевой ячейки, значение которой необходимо максимизировать, минимизировать или установить равным заданному числу. Эта ячейка должна содержать формулу;

· Равной – служит для выбора варианта оптимизации значения целевой ячейки (максимизация, минимизация или подбор заданного числа). Чтобы установить число, необходимо ввести его в поле;

· Изменяя ячейки – служит для указания ячеек, значения которых изменяются в процессе поиска решения до тех пор, пока не будут выполнены наложенные ограничения и условие оптимизации значения ячейки, указанной в поле Установить целевую ячейку;

· Предположить – используется для автоматического поиска ячеек, влияющих на формулу, ссылка на которую дана в поле Установить целевую ячейку. Результат поиска отображается в поле Изменяя ячейки;

· Ограничения – служит для отображения списка граничных условий поставленной задачи;

· Добавить – используется для отображения диалогового окна Добавить ограничение;

· Изменить – применяется для отображения диалогового окна Изменить ограничение;

· Удалить – служит для снятия указанного ограничения;

· Выполнить – используется для запуска поиска решения поставленной задачи;

· Закрыть – служит для выхода из окна диалога без запуска поиска решения поставленной задачи. При этом сохраняются установки, сделанные в окнах диалога, появлявшихся после нажатий на кнопки Параметры, Добавить, Изменить или Удалить;

· Параметры – применяется для отображения диалогового окна Параметры поиска решения, в котором можно загрузить или сохранить оптимизируемую модель и указать предусмотренные варианты поиска решения;

· Восстановить – служит для очистки полей окна диалога и восстановления значений параметров поиска решения, используемых по умолчанию.

 

ПРИМЕР X.1

Требуется

На нефтяных месторождениях 1 и 2 поисково-разведочными работами готовятся запасы промышленных категорий X 1 и X 2 (в млн. т.). Необходимо отыскать значения запасов, приводящие к максимуму стоимости сырья (в тыс. долларов), которое возможно получить на двух месторождениях. В математическом виде – найти максимум прикладной линейной функции Z

при ограничениях:

– объемы работ по экологической реабилитации площади работ;

– стоимость геофизических работ;

– стоимость геохимических работ;

.

Указание

Обозначим: X 1 – запасы месторождения 1, X 2 – запасы месторождения 2. Значения запасов, приводящие к максимуму стоимости сырья (в тыс. долларов), которое возможно получить на двух месторождениях значения запасов, приводящие к максимуму стоимость сырья (в тыс. долларов), которое возможно получить на двух месторождениях . Функция, для которой ищется экстремум (максимум или минимум), носит название целевой функции. Беспредельному увеличению запасов препятствуют ограничения: – объемы работ по экологической реабилитации площади работ; – стоимость геофизических работ; – стоимость геохимических работ. Кроме того, запасы – неотрицательное число, поэтому .

Формально задача оптимизации записывается так:

 

Решение

Решим эту задачу в Excel.

Введите в ячейки A1, A2, A4:A8 рабочего листа текст. В ячейки B1, B2, A4:A8 введите нули (рис. X.1).

Рис. X.1. Размещение исходных данных задачи в документе Excel

В ячейку B4 введите формулу =50*B1+40*B2. Это целевая функция. В ячейку B6 введите формулу =2*B1+5*B2. В ячейку B7 введите формулу =8*B1+5*B2. В ячейку B8 введите формулу =5*B1+6*B2. Это ограничения.

Выделим ячейку B4, в которой вычисляется целевая функция, и вызовем Решатель (Сервис/Поиск решения). В диалоговом окне в поле ввода Установить целевую ячейку: уже содержится адрес ячейки с целевой функцией $B$4. Установим переключатель: Равной максимальному значению. Перейдем к полю ввода Изменяя ячейки:. В нашем случае достаточно щелкнуть кнопку Предположить и в поле ввода появится адрес блока $B$1:$B$2.

Перейдем к вводу ограничений. Щелкнем кнопку Добавить. Появится диалоговое окно Добавление ограничения. В поле ввода Ссылка на ячейку: укажите $B$6. Правее расположен выпадающий список с условными операторами (раскройте его и посмотрите). Выберем условие <=. В поле ввода Ограничение: введите число 20. У нас есть еще два ограничения, поэтому, не выходя из этого диалогового окна, щелкните кнопку Добавить и введите ограничение $B$7<=40. Аналогично добавить ограничение $B$8<=30. Ввод ограничений закончен, поэтому нажмите OK. Вы вновь окажитесь в диалоговом окне Поиск решения. Вы увидите введенные ограничения $B$6<=20, $B$7<=40 и $B$8<=30. Справа имеются кнопки Изменить и Удалить. С их помощью Вы можете изменить ограничение или стереть его. (Если Вы используете Excel 5.0/7.0, то Вы должны ввести еще одно ограничение $B$1:$B$2>=0).

Щелкните кнопку Параметры. Вы окажитесь в диалоговом окне Параметры поиска решения. Чтобы узнать назначение полей ввода этого окна, щелкните кнопку Справка. Менять ничего не будем, только установим два флажка: Линейная модель (так как наши ограничения и целевая функция являются линейными по переменным X 1 и X 2) и Неотрицательные значения (для переменных X 1 и X 2). В Excel 5.0/7.0 этот последний флажок отсутствует, поэтому и нужно было вводить ограничение $B$1:$B$2>=0. Щелкнем OK и окажемся в исходном окне.

Задача оптимизации полностью подготовлена. Нажимаем кнопку Выполнить. Появляется диалоговое окно Результаты поиска решения. В нем мы читаем сообщение: Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены. На выбор предлагаются варианты: Сохранить найденное решение или Восстановить исходные значения. Выбираем первое. Можно также вывести отчеты: по результатам, по устойчивости, по пределам.

После нажатия OK вид таблицы меняется: в ячейках X 1 и X 2 появляются оптимальные значения: X 1 – 3,913043 и X 2 – 1,73913. Соответственно пересчитываются все формулы. Целевая функция достигает значения 265,2174.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Геологические образования и процессы как объекты изучения. Системы расположения точек наблюдений в геологии.

2. Погрешности измерений и погрешности аналогий. Шкалы измерений в геологии. «Выборочная», «геологическая» и «опробуемая» совокупности.

3. Виды моделирования в геологии. Этапы процесса решения геологических задач математическими методами.

4. Одномерные статистические модели. Числовые диаграммы «стебель с листьями» и «ящик с усами».

5. Статистические характеристики. Решение геологических задач с помощью гистограмм и кумулят.

6. Статистические законы распределения, используемые в геологии.

7. Специфика случайных угловых величин. Круговое среднее направление, круговая мода и круговая медиана.

8. Точечные и интервальные оценки свойств геологических объектов. Свойства точечных оценок.

9. Построение доверительных интервалов оценок средних значений.

10. Статистическая проверка гипотез. Ошибки первого и второго рода при статистической проверке гипотез.

11. Параметрические и непараметрические критерии согласия.

12. Проверка гипотезы о типе статистического распределения.

13. Решение геологических задач путем проверки гипотез о равенстве средних.

14. Решение геологических задач путем проверки гипотез о равенстве дисперсий.

15. Решение геологических задач путем проверки гипотезы об однородности выборки.

16. Решение геологических задач с помощью однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа.

17. Геологические объекты как двумерная статистическая совокупность. Описание двумерной статистической совокупности с помощью корреляционного поля точек.

18. Решение геологических задач путем проверки гипотезы о наличии корреляционной связи.

19. Оценка силы корреляционной связи.

20. Применение в геологии регрессионного анализа.

21. Описание характера корреляционной связи свойств геологических объектов уравнениями.

22. Проверка гипотезы о линейном характере корреляционной связи.

23. Применение многомерных статистических моделей в геологии.

24. Понятия парного, частного и множественного коэффициентов корреляции.

25. Методы выделения ассоциаций. Метод графов.

26. Принципы и области применения кластер-анализа.

27. Множественные регрессионные модели и их применение.

28. Распознавание образов в геологии.

29. Факторный анализ и метод главных компонент при решении геологических задач.

30. Моделирование пространственных переменных.

31. Непрерывные и дискретные геологические пространственные переменные, скалярные и векторные поля.

32. Фон и аномалия. Решение геологических задач с помощью тренд-анализа.

33. Способы «сглаживания» случайных полей.

34. Статистические методы проверки гипотез о наличии тренда.

35. Метод аппроксимации поверхностей тренда полиномами в геологии.

36. Моделирование дискретных случайных полей.

37. Понятие о моделировании с помощью случайных функций.

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Аветисов А.Г., Булатов А.И., Шаманов Методы прикладной математики в инженерном деле при строительстве нефтяных и газовых скважин. – М.: ООО «Недра-Бизнесцентр», 2003. – 239 с.

2. Андронов А.М., Копытов Е.А., Гринглаз Л.Я. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 2004. – 461 с.

3. Вуколов Э.А. Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов STATISTICA и EXCEL: Учебное пособие. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2004. – 464 с.

4. Гайдышев И. Анализ и обработка данных: специальный справочник. – СПб.: Питер, 2001. – 752 с.

5. Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel: Практикум – СПб: Питер, 2003. – 240 с.

6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 10-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2004. – 479 с.

7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. – 9-е изд. стер. – М.: Высш. шк., 2004. – 404 с.

8. Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением EXCEL. – Ростов н/Д: Феникс, 2005. – 480 с.

9. Грановская Н.В., Наставкин А.В. Сборник задач для лабораторных и самостоятельных занятий по дисциплине «Математические методы моделирования в геологии». Для студентов геологических специальностей геолого-географического факультета. – Ростов н/Дону: 2002. – 40 с.

10. Гуськов О.И., Кушнарев П. И. Таранов С.М.. Математические методы в геологии. Сборник задач. М.: Недра,1991.

11. Каждан А.Б., Гуськов О.И. Математические методы в геологии. Учебник для вузов. – М.: Недра, 1990.

12. Лавренов С.М. Excel: Сборник примеров и задач. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 336 с.

13. Мартьянова А.Е. Сборник примеров и задач. Лабораторный практикум по дисциплине «Статистическое моделирование на ЭВМ». /Учебно-методическое пособие для студентов специальности 250400 «Химическая технология природных энергоносителей и углеродных материалов». – Астрахань, 2007, 136 с.

14. Мартьянова А.Е. Сборник примеров и задач. Лабораторный практикум по дисциплине «Математические методы моделирования в геологии». /Учебное пособие для студентов направления 650100 «Прикладная геология» (электронный вариант). – Астрахань, 2005, 263 с.

15. Мартьянова А.Е. Математические методы моделирования в геологии. Сборник примеров и задач: Учебное пособие для студентов направления 650100 «Прикладная геология». – Астрахань, 2005, 268 с.

16. Минько А.А. Статистический анализ в MS EXCEL. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. – 448 с.

17. Прозорова Г.Н. Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Методы математического моделирования в геологии» (для студентов очной и заочной форм обучения по специальности 08.05.00) – Ростов-на-Дону: Ростовский госуниверситет, 2004. – с. 34.

18. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие /Под ред. В.И. Ермакова – М.: ИНФРА-М, 2004. – 287 с.

19. Турчак Л. И. Основы численных методов: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1987. – 320 с.

20. Microsoft Excel 2000: справочник /Под ред. Ю.В. Колесникова – СПб: Изд-во «Питер», 1999. – 480 с.

21. www.exponenta.ru

22. www.statsoft.com

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

 

 

Приложение I. Значения функции нормального распределения с параметрами 0 и 1 (для отрицательных значений Z)

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
-0,0 0,5000 0,4920 0,4929 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
-0,7 0,2420 0,2398 0,2358 0,2327 0,2297 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,594 0,0582 0,0570 0,0559
-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0515 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
-1,7 0,04046 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0300 0,0294
-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0238 0,0233
-2,0 0,0227 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183
-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143
-2,2 0,0139 0,0135 0,0132 0,0219 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110
-2,3 0,0107 0,104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084
-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064
-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0047
-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036
-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0030 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026
-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0020 0,0020 0,0019
-2,9 0,0019 0,0018 0,0017 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014
-3,0 0,0013 0,0013         0,0011 0,0011 0,0010 0,0010
-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007
-3,3 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003
-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 0,0002
-3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002
-3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000

Примечание

Значения функции для положительных Z находятся вычитанием из 1 значений функции для (-Z). Пример: для Z = 0,72 P= 1-0,2358 =0,7642.

Приложение II. Допустимые значения критерия Стьюдента при данном объеме выборки N и уровне значимости α

N Двусторонняя критическая область N Двусторонняя критическая область
α = 0,1 α = 0,05 α = 0,02 α = 0,01 α = 0,001 α = 0,1 α = 0,05 α = 0,02 α = 0,01 α = 0,001
  6,31 12,71 31,82 63,66 636,62   1,73 2,10 2,55 2,88 3,92
  2,92 4,30 6,97 9,93 31,60   1,73 2,09 2,54 2,86 3,88
  2,35 3,18 4,54 5,84 12,94   1,73 2,09 2,53 2,85 3,85
  2,13 2,78 3,75 4,60 8,61   1,72 2,08 2,52 2,83 3,82
  2,02 2,57 3,37 4,03 6,86   1,72 2,07 2,51 2,82 3,79
  1,94 2,45 3,14 3,71 5,96   1,71 2,07 2,50 2,81 3,77
  1,90 2,37 3,00 3,50 5,41   1,71 2,06 2,49 2,80 3,75
  1,86 2,31 2,90 3,36 5,04   1,71 2,06 2,49 2,79 3,73
  1,83 2,26 2,82 3,25 4,78   1,71 2,06 2,48 2,78 3,71
  1,81 2,23 2,76 3,17 4,59   1,70 2,05 2,47 2,77 3,69
  1,80 2,20 2,72 3,11 4,44   1,70 2,05 2,47 2,76 3,67
  1,78 2,18 2,68 3,06 4,32   1,70 2,05 2,46 2,76 3,66
  1,77 2,16 2,65 3,01 4,22   1,70 2,04 2,46 2,75 3,65
  1,76 2,15 2,62 2,98 4,14   1,68 2,02 2,42 2,70 3,55
  1,75 2,13 2,60 2,95 4,07   1,67 2,00 2,39 2,66 3,46
  1,75 2,12 2,58 2,92 4,02   1,66 1,98 2,36 2,62 3,37
  1,74 2,11 2,57 2,90 3,97 1,65 1,96 2,33 2,58 3,29
N α = 0,05 α = 0,025 α = 0,01 α = 0,005 α = 0,0005 N α = 0,05 α = 0,025 α = 0,01 α = 0,005 α = 0,0005
Односторонняя критическая область Односторонняя критическая область

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: