Теорема умножения вероятностей.

Определение 1. Два события Aи Bназывают независимы­ми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события Aи Bназывают зависимыми.

Пример 1. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных тара. Пусть событие A — вынут белый шар. Очевидно, P(A) = 1/2. После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие B — во втором испытании вынут белый шар — также имеет вероятность P(B) = 1/2, т. е. события A и B — независимые.

Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда, если произошло событие A, т. е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность со­бытия Bуменьшается и оказывается равно одной трети, если в пер­вом испытании был вынут черный шар, то вероятность события Bувеличивается и становится равно двум третям.

Итак, вероятность события Bсущественно зависит от того, про­изошло или не произошло событие A, в таких случаях события A и B — зависимые.

Определение 2. Пусть A и B — зависимые события. Услов­ной вероятностью Р_А(В)события Вназывают вероятность собы­тия В, найденную в предположении, что событие Ауже наступило.

Так, в только что рассмотренном примере Р_А(В) = 1/3.

Условие независимости события В от события А можно запи­сать в виде

Р_А(В) = Р(В),

а условие зависимости — в виде

Р_А(В) ¹ Р(В).

Теорема 1. Вероятность произведения двух зависимых собы­тий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое собы­тие уже наступило:

Р(АВ) = Р(А)Р_А(В)(1.6)

Доказательство. Пусть из всего числа п элементарных событий kблагоприятствуют событию Аи пусть из этих kсобы­тий l благоприятствуют событию В, а, значит, и событию АВ.

Тогда

Р(АВ) = l /n = k/n ·l /k = Р(А)Р_А(В),

что и доказывает искомое равенство (1.6).

Замечание. Применив формулу (1.6) к событию ВА, получим

P(ВА) = P(B) Р_B (A) (1.6')

Так как АВ=ВА, то

Р­_B(А) = , (1.7)

а сравнивая (1.6) и (1.6'), получаем равенство

Р(А)Р_А(В)= Р(В) Р_В(А)(1.8)

Пример 2. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть событие А — вынут белый шар. Событие В — во втором ис­пытании вынут белый шар. Рассмотрим тот случай, когда вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Поставим следующий вопрос: какова вероятность вынуть первый и второй раз белые шары? По формуле имеем:

Р(АВ)=1/2· 1/3=1/6.

Пример 3. В терапевтическом отделении больницы 70% па­циентов — женщины, а 21% — курящие мужчины. Наугад выбирают пациента. Он оказывается мужчиной. Какова вероятность того, что он курит?

Пусть Мозначает, что пациент — мужчина, а К — что пациент курит. Тогда в силу условия задачи Р(M) = 0,3, а Р(МК) = 0,21. Поэтому с учетом формулы (1.6) искомая условная вероятность

P­_M(K) = = = 0,7.

Пример 4. В группе туристов 20% детей, причем 12% девоч­ки. Наугад выбирают ребенка. Какова вероятность того, что это девочка? Какова вероятность того, что это мальчик?

Пусть Аозначает, что турист — ребенок, Ж— турист женского пола, М — мужского. Тогда по условию

Р(А) = 0,2, Р(ЖА) = 0,12, P(MA) = 0,08.

Следовательно,

P­_A­(Ж) = = = 0,6,

P­_A­(M) = = = 0,4.

Задача (курение и случай заболевания легких). В группе об­следуемых 1000 человек. Из них 600 курящих и 400 некурящих. Среди курящих 240 человек имеют те или иные заболевания лег­ких. Среди некурящих легочных больных 120 человек. Являются ли курение и заболевание легких независимыми событиями?

Решение. Пусть событие А — обследуемый курит, событие В— обследуемый страдает заболеванием легких.

Тогда, согласно условию задачи,

P(B) = = 0,36; P­_A­(B) = = 0,4.

Так как 0,36 ¹ 0,4, события А и В зависимы.

Пример 5. Предположим, что вероятности встретить реку, загрязняемую постоянным фактором А — Р(А),временным факто­ром В — Р(В)и обоими факторами— Р(АВ),равны соответствен­но 0,4; 0,1 и 0,05.

Найдем:

1) вероятность того, что река, загрязняемая временным фактором, будет к тому же загрязнена и постоянным фактором, т.е. Рв(А);

2) вероятность того, что река, загрязняемая постоянным факто­ром, будет еще загрязнена и временным фактором, т.е. Р_А(В).

Имеем, согласно (1.7):

P­_B­(A) = ,

откуда

P­_B­(A) = = 0,5.

Аналогично, используя формулу (1.6), находим Р_А(В) = = 0,125.

Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых собы­тий А и В равна произведению вероятностей этих событий

Р(АВ) = Р(А)Р(В). (1.9)

Действительно, если А и В — независимые события, то Р_А(В) = Р(В)и формула (1.6) превращается в формулу (1.9).

В случае независимых событий в совокупности эта теорема распространяется на любое конечное число их, т. е. имеет место равенство

Р(А­₁А₂ ... А_n) = Р(A­₁)Р(А₂)... Р(А­_n­).(1.10)

Замечание 1. Если события А­₁, А₂,..., A­_n­независимы в со­вокупности, то и противоположные им события , ,…, также независимы в совокупности.

Пример 6. Найдем вероятность одновременного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А ) равна 0,8, а вторым (событие В ) — 0,7.

События А и Внезависимы, поэтому искомая вероятность

Р(А·В) = P(A)·P(B) =0,7·0, 8 = 0,56.

Пример 7. Вероятность выживания одной клетки в течение 20 минут Р=0,7. В пробирке с благоприятными для существования этих клеток условиями находятся только что разделившиеся две клет­ки. Какова вероятность того, что через 20 минут они будут жизне­способны?

Пусть событие А — первая клетка жизнеспособна через 20 мин, событие В — вторая клетка жизнеспособна через 20 мин. Будем считать, что между клетками нет внутривидовой конкуренции, т. е. события А и Внезависимы. Событие, что обе клетки жизне­способны, есть событие АВ.

Р(АВ) = 0,7 · 0,7 = 0,49.

Пример 8. Пусть у нас перемешаны записи нейронной ак­тивности 10 клеток из одной области мозга (у 5 клеток зарегист­рирована активность, характерная для клеток «внимания», у 5 — другой вид активности) и 20 из другой области (у 15 — активность типа клеток «внимания», у 5 — другого вида). Выясним, зависимы ли события А — «выбранная наугад запись сделана в первой обла­сти» и В — на «выбранной наугад записи зарегистрирована актив­ность, характерная для клеток «внимания»». Имеем

Р(А) =10/30 = 1/3; Р(В)= 20/30 = 2/3; Р(АВ) = 5/30 =1/6; Р(АВ) ¹ Р(А)·Р(В).

Следовательно, события А и В зависимы.

Теорема 3. Если события А­₁, А₂,..., A­_n­ независимы в совокуп­ности, то вероятность наступления хотя бы одного из этих событий (т. е. вероятность суммы) вычисляется по формуле

P(А­₁+ А₂+... +A­_n­­) = 1 – P() P() … P() (1.11)

Доказательство. Событие · ·…· состоит в том, что не произошло ни одно из событий

A­_i(i=1, 2,...,n ). Оно проти­воположно событию, состоящему в том, что произошло хотя бы одно из событий A­­_i, т.е. сумме событий А­₁ + А₂ +...+A­_n­. Поэтому, согласно формуле (1.5),

Р(А­₁ + А₂ +...+A­_n)+ Р( · ·…· ) = 1,

откуда

Р(А­₁ + А₂ +...+A­_n) = 1 - Р( · ·…· )

Но с учетом замечания 1 и формулы (1.10)

Р( · ·…· ) = Р( _­) + P() +...+P()

что и приводит к искомому равенству (1.11).