Формула полной вероятности.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых со­бытий В­₁, В₂,..., В­_n­, образующих полную группу, равна сумме произ­ведений вероятностей каждого из этих событий на соответствую­щую условную вероятность события А:

Р(А) = Р(В₁) · _­ (А) + Р(В₂) · (А) +... + Р(В­_n) · (А) (1.14)

(формула полной вероятности).

 

События В­₁, В₂,..., В­_n будем называть гипотезами.

Доказательство. Событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий В­₁, В₂,…,В­_n, т.е. А = В­­₁А +B­_2­A+... + В­_nА,причем ввиду несовместимости событий B­₁ ,В₂,..., В­_nсобытия В­­­₁А, В₂А,..., В_nАтакже несовместимы. Поэтому на осно­вании теорем сложения и умножения вероятностей имеем

Р(А) = Р(В₁А) + Р(В₂А) +... + Р(В­_nА) = Р(В₁) _­ (А) + Р(В₂) _­ (А) +... + Р(В­_n) _­ (А).

Пример 1. Имеются три одинаковых по виду ящика. В пер­вом находятся две белые мыши и одна серая, во втором — три бе­лые и одна серая, в третьем — две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?

Обозначим B­₁ — выбор первого ящика, В₂ — выбор второго ящика, В₃ — выбор третьего ящика, А— извлечение белой мыши.

Так как все ящики одинаковы, то Р(В­₁) = Р(В₂) = Р(В₃) = 1/3. Если выбран первый ящик, то _­

_­(A)= 2/3. Аналогично _­ (А) = 3/4, _­ (А)= 1/2. Наконец, по формуле (1.14) получаем

P(A)= 1/3·2/3+1/3·3/4+1/3·1/2 = 23/36.

 

Пример 2. В санатории 30% пациентов — мужчины (M) и 70% — женщины (Ж). Болезни сердца среди мужчин встречаются в два раза чаще, чем среди женщин. Какова вероятность того, что наугад выбранный пациент сердечник?

Обозначив С — наличие заболевания сердца, запишем:

P(M) = 0,3, P(Ж) = 0,7, P­_M­(C) = 2/3, P­_Ж(C) = 1/3.

Подставляя эти числа в формулу полной вероятности (1.14), по­лучим

Р(С) = 0,3 · 2/3 + 0,7 ·1/3 = 0,2 + 0,23 = 0,43.

Задача (смог над городом). На город примерно 100 дней в году дует ветер с севера и 200 дней в году — с запада. Промышлен­ные предприятия, расположенные на севере, производят выброс вредных веществ каждый третий день, а расположенные на западе — в последний день каждой недели. Как часто город подвергается воз­действию вредных выбросов? Иными словами, какова вероятность того, что в наугад выбранный день город будет накрыт промышлен­ным смогом?

Обозначив С— ветер с севера, 3— ветер с запада и В— воздей­ствие вредных выбросов на город, можем записать:

P(C) = = @ 0,27; P(З) = = @ 0,55.

Р_С(В) = 1/3 @ 0,33; Р₃(В) = 1/7 @ 0,14.

Отсюда по формуле полной вероятности

Р(В) = Р(С)·Р_С(В) + Р(3)·Р₃(В) = · + · = 0,09 + 0,08 = 0,17.

Таким образом, около двух месяцев в году город накрыт смогом.

 

Формулы Байеса.

Пусть в условиях рассуждения, относяще­гося к формуле полной вероятности, осуществлено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается, как изменились (в связи с тем, что событие Ауже произошло) ве­роятности гипотез, т.е. величины Р(В_k), k=1, 2,..., n?

Найдем условную вероятность P­_A­(B­_k). По формуле (1.8) имеем

P(AB­_k)= Р(А)Р_A(В_­­_k)= Р(B­_k) · (А).

Отсюда

Р_A(В_­­_k) = .

Наконец, используя формулу полной вероятности, находим:

P­­_A(B­_k) = , k = 1, 2, …, n. (1.15)

Выражения (1.15) называют формулами Байеса.

Пример. Партия деталей изготовлена тремя рабочими, при­чем первый рабочий изготовил 25% всех деталей, второй — 35%, третий — 40%. В продукции первого рабочего брак составляет 5%, в продукции второго — 4% и в продукции третьего — 2%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена вторым рабочим?

Введем обозначения для событий: А — выбранная для контроля деталь оказалась бракованной;

В­₁, В₂, В₃ — эта деталь изготовлена соответственно первым, вторым и третьим рабочим. Имеем:

Р(B­₁) = 0,25; P(B­­₂) = 0,35; Р(B₃) = 0,40; (А) = 0,05; (А) = 0,04; (А) = 0,02.

По формуле Байеса находим

P­_A­(B­₂) = = @ 0,4.

Как здесь, так и в ряде других примеров для облегчения вычис­лений можно использовать калькулятор.

 

 

Вопросы:

 

1. Сформулируйте определение теоремы сложения вероятностей несовместных событий.

2. Сформулируйте следствия из этой теоремы.

3. Сформулируйте определение теоремы сложения вероятностей совместных событий.

4. Сформулируйте определение теоремы произведения двух зависимых и независимых событий.

5. Напишите и запомните формулу Байеса.

 

 

Урок №3.

 

Вариант 1.

 

1. В ящике находятся катушки четырех цветов: белых катушек – 50%, красных – 20%, зеленых – 20%, синих – 10%. Какова вероятность того, что взятая наудачу катушка окажется зеленой или синей?

2. В первой урне 6 красных и 4 черных шара, во второй – 7 черных и 3 красных. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара красные.

 

3. В трех урнах содержатся белые и черные шары, причем в первой – 3 белых 1 черный, во второй – 2 белых и 3 черных, в третьей – все шары белые. Из наугад выбранной урны наудачу выбирают 1 шар. Найти вероятность того, что взятый шар окажется белым.

 

4. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 4%, 2%. Найти вероятности того, что: а. случайно выбранный болт произведен третьей машиной, если известно, что он оказался дефектным;

б. случайно выбранный болт окажется дефектным.

 

 

Вариант 2.

 

1. Определить вероятность того, что партия из 100 изделий, среди которых 5 бракованных, будет принята при испытании наудачу выбранной половины всей партии, если условиями приёма допускается не более 1 бракованного изделия из 50.

2. Два стрелка независимо друг от друга производят по донному выстрелу, каждый по своей мишени с вероятностями попадания 0,7 и 0,8 соответственно. Найти вероятность поражения хотя бы одной мишени.

3. В трех урнах содержатся белые и черные шары, причем в первой – 3 белых 1 черный, во второй – 2 белых и 3 черных, в третьей – все шары белые. Из наугад выбранной урны наудачу выбирают 1 шар. Найти вероятность того, что шар взят из третьей урны, если известно, что он оказался белым.

4. Предположим, что в некоторой группе супружеских пар 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина?

 

 

Вариант 1*.

 

1. В урне 5 синих и 15 красных шаров. Наудачу один за другим извлекают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара красные.

2. Игральный кубик подбрасывается до первого выпадения 5 очков. Найти вероятность того, что потребуется 3 броска.

3. Прибор может работать в трех режимах: нормальном, форсированном и недогруженном. Нормальный режим наблюдается в 60% случаев работы прибора для нормального режима равна 0,8, для недогруженного – 0,9, для форсированного – 0,5. Найти полную (с учетом случайностей условий) надежность прибора. Определить вероятность того, что прибор работал в форсированном режиме, если известно, что он безотказно работал в течение заданного времени.

4. В специализированную больницу поступает в среднем 50% больных, страдающих заболеванием М, 30% - заболеванием К, 20% - заболеванием L. Вероятность полного излечения от заболевания М составляет 0,9, от заболевания К – 0,8 и от заболевания L – 0,7. Какова вероятность того, что поступивший больной страдал заболеванием L, если известно, что он выписан здоровым?

 

Вариант 2*.

 

1. В урне 5 синих и 15 красных шаров. Первый шар вынимают, фиксируют его цвет, возвращают в урну и затем наудачу берут второй шар. Найти вероятность того, что оба шара красные.

2. Монету подбрасывают до тех пор, пока не появится подряд 2 герба либо 2 цифры. Найти вероятность того, что потребуется не более 3 подбрасываний.

3. У лаборанта имеются М пробирок с химическим реактивом №1 и К – с реактивом №2, причем, по внешнему виду эти пробирки неразличимы. Лаборант случайно разбил одну пробирку. Какова вероятность того, что была разбита пробирка с реактивом №1, если при проведении анализа оказалось, что: 1.) в первой наугад выбранной пробирке был реактив №1 (событие А). 2.) из взятых наугад m+k пробирок оказалось m – c реактивом №1 и k – с реактивом №2 (событие B).

4. В ящике 100 запечатанных пробирок, из них 50 – с раствором слабой и 50 – с раствором сильной концентрации. Отобрали 6 пробирок с раствором слабой и 2 – с раствором сильной концентрации. Затем из оставшихся пробирок взяли наудачу еще 2. После этого из 10 отобранных пробирок взяли наугад 3. Какова вероятность того, что все они с раствором слабой концентрации?