3.1. Даны координаты точки 
и уравнение плоскости: 
. Найти координаты точки 
, симметричной точке относительно плоскости 
.
Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.
В соответствии с определением симметрии точек пространства относительно плоскости нам необходимо провести через точку прямую 
, перпендикулярную этой плоскости и найти точку 
пересечения этой прямой с плоскостью. После этого из точки вдоль прямой отложить отрезок 
= 
и определить координаты точки .
Итак, пусть имеем: точку = 
и плоскость : 
. Это определяет вектор 
= 
нормали плоскости. Так как этот вектор параллелен прямой , то его можно принять в качестве направляющего вектора прямой 
= в каноническом уравнении прямой: 
= 
= 
= 
. Одновременно запишем уравнение прямой в виде параметрических уравнений: 
. Точка пересечения прямой и плоскости может быть найдена из уравнения: 
→ 
. Имея значение , находим координаты точки : 
. После этого нахождение координат точки не представляет труда: 
, или 
, откуда получаем: = 
.
Пример (и образец оформления):
Общая часть. Пусть заданы: точка =(1,0,1) и плоскость : 
. Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости .
Решение:
1) Выделим вектор нормали заданной плоскости: =(4,6,4)=2(2,3,2). Примем: =(2,3,2).
2). Решим уравнение: 
→ = 
.
3). Вычислим координаты точки : 
= 
.
4). Вычислим координаты точки = =2 –(1,0,1)=(3,3,3).
Ответ: =(3,3,3).
Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!
Варианты индивидуальных заданий:
| Вар. | Задание: | Вар. | Задание: | ||
| 1. | 
| .
| 16. | 
|  .
|
| 2. | 
|  .
| 17. | 
|  .
|
| 3. | 
|  .
| 18. | 
|  .
|
| 4. | 
|  .
| 19. | 
|  .
|
| 5. | 
| .
| 20. | 
| .
|
| 6. | 
|  .
| 21. | 
| .
|
| 7. | 
| .
| 22. | 
|  .
|
| 8. | 
|  .
| 23. | 
| .
|
| 9. | 
| .
| 24. | 
| 
|
| 10. | 
| .
| 25. | 
| .
|
| 11. | 
|  .
| 26. | 
| 
|
| 12. | 
|  .
| 27. | 
| .
|
| 13. | 
| .
| 28. | 
| .
|
| 14. | 
|  .
| 29. |
| .
|
| 15. | 
|  .
| 30. | 
| .
|
3.2. Даны координаты точки и уравнение прямой : = = . Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой: .
Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.
В соответствии с определением симметрии точек пространства относительно прямой нам необходимо провести через точку плоскость , перпендикулярную этой прямой и найти точку пересечения прямой с плоскостью. После этого из точки вдоль прямой отложить отрезок = и определить координаты точки .
Итак, пусть имеем: точку = и прямую . Это определяет направляющий вектор прямой . Его можно принять в качестве вектора нормали плоскости : . Точка и вектор определяют плоскость . Представим уравнение прямой в параметрической форме: . Точка пересечения прямой и плоскости может быть найдена из уравнения: → . Имея значение , находим координаты точки : . После этого нахождение координат точки не представляет труда: , или , откуда получаем: = .
Пример (и образец оформления):
Общая часть. Пусть заданы: точка =(0,-3,2) и прямая : 
= 
= 
. Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой: .
Решение:
1) Определим направляющий вектор прямой : =(1,-1,1). Тогда = =(1,-1,1).
2) Запишем уравнение плоскости : 
, или 
.
3). Представим уравнение прямой в параметрической форме: 
.
4). Решим уравнение: 
→ = 
.
3). Вычислим координаты точки : 
= 
.
4). Вычислим координаты точки = =2 –(0,-3,2)=(1,1,1).
Ответ: =(1,1,1).
Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!
Варианты индивидуальных заданий:
| Вар. | Задание: | Вар. | Задание: | ||
| 1. | 
|  = =  .
| 16. | 
|  = =  .
|
| 2. | 
| =  = .
| 17. | 
| = = .
|
| 3. | 
|  =  =  .
| 18. | 
| = = .
|
| 4. | 
| = =  .
| 19. | 
| =  = .
|
| 5. | 
|  = = .
| 20. | 
|  = =  .
|
| 6. |
| = .
| 21. | 
|  =  = .
|
| 7. |
| = = .
| 22. |
|  = =  .
|
| 8. |
| = = .
| 23. | 
| = = .
|
| 9. |
| = = .
| 24. |
| =  =  .
|
| 10. |
| = =
| 25. |
|  =  = .
|
| 11. | 
| = = .
| 26. |
|  =  =  .
|
| 12. |
| = = .
| 27. | 
|  =  = .
|
| 13. | 
| = = .
| 28. | 
|  =  = 
|
| 14. | 
| = = .
| 29. | 
|  = = .
|
| 15. | 
| = = .
| 30. | 
|  =  = .
|
3.3. Даны уравнения двух прямых. Установить, скрещиваются, пересекаются или параллельны эти прямые. Если прямые пересекаются или параллельны, написать уравнение содержащей их плоскости. Если прямые скрещиваются, написать уравнение плоскости, содержащей первую прямую и параллельную второй прямой.
Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.
Пусть имеем уравнения двух прямых:
: 
= 
= 
,
: 
= 
= 
.
Из уравнений прямых следуют координаты точек: 
= 
, 
= 
, и векторов: = 
, 
= 
.
Кратко представим названные условия задачи:
1*: Если прямые и параллельны, то || , то есть = 
.
2*: Прямые и пересекаются, если смешанное произведение: 
=0.
3*: Прямые и скрещивающиеся, если смешанное произведение: 
0.
Рассмотрим продолжение решения задачи в каждом из возможных случаев.
Случай 1*. Если прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости. Примем: = и вычислим векторное произведение: = x = . Записываем уравнение плоскости : 
.
Случай 2*. Если прямые пересекаются, то они лежат в одной плоскости. Примем: = и вычислим векторное произведение: = x = . Записываем уравнение плоскости : .
Случай 3*. Если прямые скрещивающиеся, то примем: = и вычислим векторное произведение: = x = . Записываем уравнение для : .
Замечание: в каждом из возможных случаев приходим к построению одной и той же плоскости: трудоёмкость вычислений и оформления во всех вариантах одинаковы.
Пример (и образец оформления):
Общая часть. Пусть заданы прямые : 
= 
= 
и : 
= 
= 
. Необходимо исследовать их взаимное положение и построить оговоренную плоскость.
Решение:
1) Из уравнений прямых следует: =(1,2,3), =(0,18,0), =(2,3,1), =(3,1,2).
2) Построим вектор: = – =(0,18,0)– (1,2,3)=(-1,16,-3).
3). Так как векторы и не параллельны, то и прямые и не параллельны.
4). Вычислим смешанное произведение векторов: = 
, применяя любой из способов вычисления определителя 3-го порядка. В рассматриваемом примере получаем: = 
=0 → прямые и пересекаются.
3). Примем для использования в уравнении плоскости : = =(1,2,3) и вычислим векторное произведение векторов и : = x = 
= 
= 
=(5,-1,-7).
4). Запишем уравнение требуемой плоскости : для рассматриваемого примера: 
Ответ: прямые и пересекаются; уравнение плоскости: .
Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!
Варианты индивидуальных заданий:
| Вар. | Задание: | |
| 1. | = = .
| = = .
|
| 2. |  =  =  .
|  =  =  .
|
| 3. |  =  =  .
| =  = .
|
| 4. |  =  = .
|  =  =  .
|
| 5. |  =  =  .
|  =  =  .
|
| 6. |  = =  .
|   =  .
|
| 7. | = = .
|  =  =  .
|
| 8. |  =  =  .
|  =  =  .
|
| 9. | =  =  .
| =  =  .
|
| 10. |  =  =  .
| = =  .
|
| 11. |  =  =  .
| =  =  .
|
| 12. |  = =  .
|  = = .
|
| 13. |  =  = .
| =  =  .
|
| 14. |  =  = .
|  =  = .
|
| 15. |  =  =  .
|  = =  .
|
| 16. |  =  =  .
| = =  .
|
| 17. |  = =  .
|  =  =  .
|
| 18. |  =  =  .
| =  =  .
|
| 19. |  = =  .
| = =  .
|
| 20. |  =  = .
|  =  =  .
|
| 21. |  =  =  .
| = = .
|
| 22. |  = = .
|  = =  .
|
| 23. |  =  = .
|  = =  .
|
| 24. |  =  =  .
|  =  =  .
|
| 25. | =  = .
|  =  = .
|
| 26. |  =  = .
|  = = .
|
| 27. |  =  = .
|  = = .
|
| 28. | = =  .
|  = =  .
|
| 29. | =  =  .
|  =  =  .
|
| 30. |  =  =  .
|  =  = .
|
Определители.
4.1. Вычислить определители: а) разложением по строке или столбцу; б) приведением к треугольному виду.
Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.
Заметим, прежде всего, что выполнение обоих заданий требует знания всех свойств определителя и применения их при вычислении конкретных определителей. Но применение этих свойств должно учитывать их группировки:
▫ свойства, определяющие равенство определителя нулю;
▫ свойства, определяющие эквивалентные преобразования определителя: не изменяющие его величины.
Учёт этих группировок позволяет сделать пл