Плоскость и прямая в пространстве.




3.1. Даны координаты точки и уравнение плоскости: . Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости .

Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.

В соответствии с определением симметрии точек пространства относительно плоскости нам необходимо провести через точку прямую , перпендикулярную этой плоскости и найти точку пересечения этой прямой с плоскостью. После этого из точки вдоль прямой отложить отрезок = и определить координаты точки .

Итак, пусть имеем: точку = и плоскость : . Это определяет вектор = нормали плоскости. Так как этот вектор параллелен прямой , то его можно принять в качестве направляющего вектора прямой = в каноническом уравнении прямой: = = = . Одновременно запишем уравнение прямой в виде параметрических уравнений: . Точка пересечения прямой и плоскости может быть найдена из уравнения: . Имея значение , находим координаты точки : . После этого нахождение координат точки не представляет труда: , или , откуда получаем: = .

Пример (и образец оформления):

Общая часть. Пусть заданы: точка =(1,0,1) и плоскость : . Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости .

Решение:

1) Выделим вектор нормали заданной плоскости: =(4,6,4)=2(2,3,2). Примем: =(2,3,2).

2). Решим уравнение: = .

3). Вычислим координаты точки : = .

4). Вычислим координаты точки = =2 –(1,0,1)=(3,3,3).

Ответ: =(3,3,3).

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар. Задание: Вар. Задание:
1. . 16. .
2. . 17. .
3. . 18. .
4. . 19. .
5. . 20. .
6. . 21. .
7. . 22. .
8. . 23. .
9. . 24.
10. . 25. .
11. . 26.
12. . 27. .
13. . 28. .
14. . 29. .
15. . 30. .

3.2. Даны координаты точки и уравнение прямой : = = . Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой: .

Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.

В соответствии с определением симметрии точек пространства относительно прямой нам необходимо провести через точку плоскость , перпендикулярную этой прямой и найти точку пересечения прямой с плоскостью. После этого из точки вдоль прямой отложить отрезок = и определить координаты точки .

Итак, пусть имеем: точку = и прямую . Это определяет направляющий вектор прямой . Его можно принять в качестве вектора нормали плоскости : . Точка и вектор определяют плоскость . Представим уравнение прямой в параметрической форме: . Точка пересечения прямой и плоскости может быть найдена из уравнения: . Имея значение , находим координаты точки : . После этого нахождение координат точки не представляет труда: , или , откуда получаем: = .

Пример (и образец оформления):

Общая часть. Пусть заданы: точка =(0,-3,2) и прямая : = = . Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой: .

Решение:

1) Определим направляющий вектор прямой : =(1,-1,1). Тогда = =(1,-1,1).

2) Запишем уравнение плоскости : , или .

3). Представим уравнение прямой в параметрической форме: .

4). Решим уравнение: = .

3). Вычислим координаты точки : = .

4). Вычислим координаты точки = =2 –(0,-3,2)=(1,1,1).

Ответ: =(1,1,1).

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар. Задание: Вар. Задание:
1. = = . 16. = = .
2. = = . 17. = = .
3. = = . 18. = = .
4. = = . 19. = = .
5. = = . 20. = = .
6. = . 21. = = .
7. = = . 22. = = .
8. = = . 23. = = .
9. = = . 24. = = .
10. = = 25. = = .
11. = = . 26. = = .
12. = = . 27. = = .
13. = = . 28. = =
14. = = . 29. = = .
15. = = . 30. = = .

3.3. Даны уравнения двух прямых. Установить, скрещиваются, пересекаются или параллельны эти прямые. Если прямые пересекаются или параллельны, написать уравнение содержащей их плоскости. Если прямые скрещиваются, написать уравнение плоскости, содержащей первую прямую и параллельную второй прямой.

Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.

Пусть имеем уравнения двух прямых:

: = = ,

: = = .

Из уравнений прямых следуют координаты точек: = , = , и векторов: = , = .

Кратко представим названные условия задачи:

1*: Если прямые и параллельны, то || , то есть = .

2*: Прямые и пересекаются, если смешанное произведение: =0.

3*: Прямые и скрещивающиеся, если смешанное произведение: 0.

Рассмотрим продолжение решения задачи в каждом из возможных случаев.

Случай 1*. Если прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости. Примем: = и вычислим векторное произведение: = x = . Записываем уравнение плоскости : .

Случай 2*. Если прямые пересекаются, то они лежат в одной плоскости. Примем: = и вычислим векторное произведение: = x = . Записываем уравнение плоскости : .

Случай 3*. Если прямые скрещивающиеся, то примем: = и вычислим векторное произведение: = x = . Записываем уравнение для : .

Замечание: в каждом из возможных случаев приходим к построению одной и той же плоскости: трудоёмкость вычислений и оформления во всех вариантах одинаковы.

Пример (и образец оформления):

Общая часть. Пусть заданы прямые : = = и : = = . Необходимо исследовать их взаимное положение и построить оговоренную плоскость.

Решение:

1) Из уравнений прямых следует: =(1,2,3), =(0,18,0), =(2,3,1), =(3,1,2).

2) Построим вектор: = =(0,18,0)– (1,2,3)=(-1,16,-3).

3). Так как векторы и не параллельны, то и прямые и не параллельны.

4). Вычислим смешанное произведение векторов: = , применяя любой из способов вычисления определителя 3-го порядка. В рассматриваемом примере получаем: = =0 → прямые и пересекаются.

3). Примем для использования в уравнении плоскости : = =(1,2,3) и вычислим векторное произведение векторов и : = x = = = =(5,-1,-7).

4). Запишем уравнение требуемой плоскости : для рассматриваемого примера:

Ответ: прямые и пересекаются; уравнение плоскости: .

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар. Задание:
1. = = . = = .
2. = = . = = .
3. = = . = = .
4. = = . = = .
5. = = . = = .
6. = = . = .
7. = = . = = .
8. = = . = = .
9. = = . = = .
10. = = . = = .
11. = = . = = .
12. = = . = = .
13. = = . = = .
14. = = . = = .
15. = = . = = .
16. = = . = = .
17. = = . = = .
18. = = . = = .
19. = = . = = .
20. = = . = = .
21. = = . = = .
22. = = . = = .
23. = = . = = .
24. = = . = = .
25. = = . = = .
26. = = . = = .
27. = = . = = .
28. = = . = = .
29. = = . = = .
30. = = . = = .

Определители.

4.1. Вычислить определители: а) разложением по строке или столбцу; б) приведением к треугольному виду.

Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.

Заметим, прежде всего, что выполнение обоих заданий требует знания всех свойств определителя и применения их при вычислении конкретных определителей. Но применение этих свойств должно учитывать их группировки:

▫ свойства, определяющие равенство определителя нулю;

▫ свойства, определяющие эквивалентные преобразования определителя: не изменяющие его величины.

Учёт этих группировок позволяет сделать пл



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2021-04-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: