6.1. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера. Сделать проверку найденного решения.
Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.
Решение системы равнений с использованием формул Крамера проводится для систем линейных неоднородных уравнений -го порядка в случае, когда уравнений столько же, сколько и неизвестных:
(1)
где коэффициенты ,
;
– вещественные числа;
,
– искомые неизвестные;
,
– вещественные числа, их называют: свободные члены. Числа:
,
считаем заданными.
Системе уравнений (1) соответствуют: матрица системы (составлена из коэффициентов при неизвестных), матрице соответствует определитель:
=
,
=
.
Замечание: решение системы уравнений с применением формул Крамера не предполагает построения и использования расширенной матрицы .
Было показано, что если , то для записи решений системы уравнений (3) можно использовать формулы Крамера:
,
, где:
=
.
Формулы ,
, определяют единственное решение, причем не нулевое, так как по условию в правой части (3) имеются не равные нулю b i.
Трудоемкость применения правила Крамера оценивают трудоемкостью вычисления (n+1)-го определителя n-го порядка. Достоинство метода в том, что в записи решения системы используются только коэффициенты исходного уравнения. Нередко последнее оказывается важным в теоретических исследованиях.
Замечание: при исследовании произвольной системы линейных уравнений (как неоднородных, так и однородных) формулы Крамера так же применяют, но только после того, как проведено общее исследование системы методом Гаусса или применением теоремы Кронекера-Капелли.
Ниже рассмотрены примеры решения систем уравнений с использованием формул Крамера.
|
Примеры (и образец оформления):
Пример – 1: Решить систему уравнений: по правилу Крамера.
Решение:
1) Используя коэффициенты левой части заданной системы линейных уравнений, запишем определитель: =
и вычислим его:
=–3.
2) Вычислим определители:
=
=–3,
=
=–6,
=
=–6,
=
=0.
2) Применяя формулы Крамера: ,
, получаем:
=1,
=
=2,
=0.
Ответ: решение: (1,2,2,0).
Пример – 2: Решить систему уравнений: по правилу Крамера.
Решение:
1) Используя коэффициенты левой части заданной системы линейных уравнений, запишем определитель: =
и вычислим его:
=0.
Замечание: так как =0, то задание решить систему уравнений с применением формул Крамера не выполнима, и автор решения вправе заявить об этом и далее не исследовать систему; только любопытство может подвигнуть нас на продолжение!
2) Вычислим определители:
=
0 → видим:
невозможно. Вычислять
,
,
нет смысла!
Ответ: решений нет.
Варианты индивидуальных заданий:
Вар. | Задание: | Вар. | Задание: | Вар. | Задание: |
1. | ![]() | 2. | ![]() | 3. | ![]() |
4. | ![]() | 5. | ![]() | 6. | ![]() |
7. | ![]() | 8. | ![]() | 9. | ![]() |
10. | ![]() | 11. | ![]() | 12. | ![]() |
13. | ![]() | 14. | ![]() | 15. | ![]() |
16. | ![]() | 17. | ![]() | 18. | ![]() |
19. | ![]() | 20. | ![]() | 21. | ![]() |
22. | ![]() | 23. | ![]() | 24. | ![]() |
25. | ![]() | 26. | ![]() | 27. | ![]() |
28. | ![]() | 29. | ![]() | 30. | ![]() |
6.2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Сделать проверку найденного решения.
Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.
Метод Гаусса называют часто методом последовательного исключения неизвестных. Для реализации этого метода удобно оперировать не с исходной записью системы в виде (1), а с матрицей коэффициентов системы:
, (1)
её принято называть расширенной матрицей системы уравнений.
|
Метод Гаусса заключается в последовательном применении к строкам матрицы эквивалентных преобразований, приводящих эту матрицу к трапецоидальному или треугольному (в частном случае) виду. В результате реализации метода получим:
▫ система уравнений будет несовместной, если в процессе преобразований получается уравнение, в котором коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля; если же такое уравнение не встретим, то система будет совместной;
▫ если система совместной, то она будет определенной, если она приводится к треугольному виду, и неопределенной, если приводится к трапецоидальному виду.
В основном метод применяют в тех случаях, когда не предполагается исследование технической системы: нужна лишь оценка (подтверждение) реакции системы на конкретные внешние воздействия.
Трудоемкость метода Гаусса оценивают трудоемкостью вычисления одного определителя -го порядка.
Рассмотренные ниже примеры решения систем уравнений с использованием метода Гаусса достаточно полно иллюстрируют его возможности.
Примеры (и образец оформления):
Пример – 1: Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
-6 | -4 | -3 | ||||||||||
-1 | -6 | -4 | -7 | -4 | -7 | |||||||
=(1)→ | -1 | =(2)→ | ||||||||||
-7 | -3 |
-3 | -3 | |||||||||||
-3 | -5 | -12 | ||||||||||
-1 | =(3)→ | -1 | =(4)→ | |||||||||
-1 | -1 |
Выполнены операции: (1): [R4]–[R2]; [R4] делим на 3; [R1]–[R4]; [R2]–[R1]·3; [R3]–[R1]·2. (2): [R2]+[R4]; [R2] делим на 2; [R4]+[R3]; [R4] делим на 3. (3): [R2]–[R3]·3; [R2]+[R3]·7. (4): получение результата.
|
2). Получены результаты: - система совместна;
- ранг системы равен 4 → решение системы единственно.
3). Из уравнения [R2] следует: =
; далее из уравнения [R2]: 6
=
, откуда вычисляем: x 3 =
; из уравнения [R3]:
=
, откуда вычисляем:
= 2; из уравнения [R1]:
=
, откуда вычисляем:
=0.
Ответ: (0, 2, , –
).
Пример – 2: Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
-1 | -1 | -1 | -1 | |||||||||
-2 | -2 | -4 | -5 | -4 | ||||||||
-1 | -6 | =(1)→ | -5 | -2 | =(2)→ | |||||||
-1 | -3 | -4 |
-1 | -1 | |||||
-4 | -5 | -4 | ||||
=(3)→ | ||||||
Выполнены операции: (1): [R4]–[R1]; [R3]–[R1]; [R2]–[R1]·2. (2): [R4]+[R3]; [R3]–[R2]. (3): видим: [R3] – невозможна.
2). Получены результаты: - система несовместна.
Ответ: система несовместна.
Пример – 3: Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
-3 | -1 | -1 | ||||||||||
-2 | =(1)→ | -1 | -10 | =(2)→ | ||||||||
-1 | -8 | -7 |
-1 | -1 | -1 | -1 | |||||||||
-1 | -6 | =(3)→ | -1 | =(4)→ | ||||||||
Выполнены операции: (1): [R1]–[R2]; [R2]–[R3]; [R3]–[R1]. (2): [R2]–[R1]; делим строку [R2] на 2; [R3]+[R2]. (3): [R2]+[R3]; [R4]+[R2]. (4): раскрываем таблицу и вычисляем все неизвестные.
2). Получены результаты: - система совместна;
- ранг системы равен 3 → свободная неизвестная =
.
3). Из уравнения [R3] следует: =0; далее из уравнения [R2]:
=–7; раскрывая уравнение [R1], получаем:
=
=
.
4). Получили общее решение заданной системы, записываем ответ.
Ответ: .
Замечание: любая промежуточная ошибка в цепочке вычислений может быть исправлена от места обнаруженной ошибки.
Варианты индивидуальных заданий:
Вар. | Задание: | Вар. | Задание: | Вар. | Задание: |
1. | ![]() | 2. | ![]() | 3. | ![]() |
4. | ![]() | 5. | ![]() | 6. | ![]() |
7. | ![]() | 8. | ![]() | 9. | ![]() |
10. | ![]() | 11. | ![]() | 12. | ![]() |
13. | ![]() | 14. | ![]() | 15. | ![]() |
16. | ![]() | 17. | ![]() | 18. | ![]() |
19. | ![]() | 20. | ![]() | 21. | ![]() |
22. | ![]() | 23. | ![]() | 24. | ![]() |
25. | ![]() | 26. | ![]() | 27. | ![]() |
28. | ![]() | 29. | ![]() | 30. | ![]() |
6.3. Найти общее решение и ФСР системы линейных однородных уравнений. Сделать проверку найденного решения.
Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.
Общая схема решения произвольной системы линейных однородных уравнений:
A 1 *: Вычисляем ранг матрицы
коэффициентов системы уравнений.Так как для однородной системы уравнений
=
, то всегда выполняется
. Однородная система уравнений всегда совместна. Пусть
=
. Это значит, что определён базовый минор M
матрицы
системы уравнений.
A 2 *: В системе уравнений оставляем только те уравнения-строки, которые попали в базовый минор: остальные являются следствием выделенных.
A 3 *: В левой части каждого из оставшихся для дальнейшего решения уравнений оставляем те столбцов с неизвестными, которые попали в базовый минор: остальные неизвестные объявляем свободными и соответствующие столбцы с ними переносим в правую часть. Учтём, что свободных неизвестных
.
A 4 *: Находим решения преобразованной системы уравнений, применяя формулы Крамера: определитель преобразованной системы не равен нулю!
A 5 *: Полученное решение системы называют общим: вычисленные по формулам Крамера неизвестные выражаются через свободные неизвестные. Присваивая свободным неизвестным произвольные значения, получаем частные решения.
A 6 *: Выбирая независимых частных решений, определяем вычисляемые
неизвестных. Полученные таким образом векторы-решения могут быть приняты в качестве ФСР.
Замечание: выбор свободных неизвестных определяет тот, кто исследует заданную систему уравнений, используя или метод Гаусса, или теорему Кронекера-Капелли.
Примеры (и образец оформления):
Пример – 1: Исследовать систему уравнений: Найти общее решение и одно частное.
Решение:
1). Составим матрицу: =
и найдём её ранг. Выделим для окаймления минор (не равен нулю), расположенный в правом верхнем углу матрицы:
3). Окаймляющие миноры будем обозначать: , где
– указывает номер отмеченной для окаймления строки,
– указывает номер отмеченного для окаймления столбца. Тогда можем записать:
=
=4·
–8·
+12·
= m 1· (5) – h 1· (4) + g 1· (1) =4·(5)–8·(4)+12·(1) =0;
Замечание: параметры: m 1, h 1, g 1 изменяются при переходе к минорам ,
, числа: (5), (4), (1) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!
=
= m 2· (5) – h 2· (4) + g 2· (1) = 3·(5)–6·(4)+9·(1) =0;
4). Так как все миноры 3-го порядка оказались равными нулю, то =2.
5). Учитывая расположение не равного нулю минора, 3-е уравнение отбрасываем и свободными неизвестными объявляем и
:
далее применяем правило Крамера:
=1;
=
=
;
=
=0.
6). Общее решение системы: =
=
;
=
=0; частное решение получим при значениях:
=1,
=–1, →
=1,
=0.
Ответ: общее решение: =
=
;
=
=0; частное решение: (1,–1,1,0).
Замечание: этот пример иллюстрирует алгоритм вычисления общего и одного частного решений, после чего определение ФСР становится достаточно простым завершением решения системы линейных однородных уравнений.
Пример – 2: Найти общее решение системы уравнений: и ФСР.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
-1 | -3 | |||||||||||
=(1)→ | -2 | -6 | =(2)→ | |||||||||
-1 |
-1 | -3 | -1 | -3 | |||||||||
=(3)→ | =(4)→ | |||||||||||
Выполнены операции: (1): [R4]–[R1]; [R2]–[R1]·2; [R3]–[R1]·3. (2): [R3]–[R2]·2; [R4]–[R2]. (3): [R1]–[R2]. (4): раскрываем полученный результат.
2). Видим: =2. Свободными неизвестными объявляем
,
,
. Раскрываем таблицу:
3) Применяем правило Крамера:
= 4;
=
=
;
=
=
.
4). Общее решение системы: x 4 =
; x 5 =
.
5). Построим ФСР (фундаментальную систему решений), избегая дробей:
x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | |
α 1 | -3 | ||||
α 2 | -2 | ||||
α 3 | -4 |
Векторы-решения ,
,
линейно независимы, их количество
=3. Эти векторы могут быть приняты в качестве ФСР.
Ответ: общее решение: x 4 =
; x 5 =
;
ФСР: = (4, 0, 0, 9,–3);
= (0, 4, 0, 6, –2);
= (0, 0, 4, 8, –4).
Пример – 3: Найти общее решение системы уравнений: и ФСР.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
-2 | -2 | |||||||||||
-3 | -1 | |||||||||||
-2 | =(1)→ | -3 | =(2)→ | |||||||||
-1 | -1 | -3 |
-1 | -1 | |||||||||||
-3 | -3 | |||||||||||
-3 | =(3)→ | =(4)→ | ||||||||||
Выполнены операции: (1): [R2]–[R1]; [R3]–[R1]; делим [R3] на число 2; [R4]–[R2]. (2): [R1]–[R2]; [R4]–[R3]; [R2]–[R1];. (3): [R3]–[R2]. (4): раскрываем полученный результат.
2). Видим: =2. Свободными неизвестными объявляем
,
,
.
3). Раскрывая таблицу, из уравнения [R2] вычисляем: =
; из уравнения [R1] вычисляем:
=
. Получено общее решение: как и в случае неоднородной системы уравнений.
4). Построим ФСР, избегая дробей в записи решений ФСР:
x 1 | x 3 | x 2 | x 4 | x 5 | |
α 1 | |||||
α 2 | -4 | -3 | |||
α 3 | -10 |
Векторы-решения ,
,
линейно независимы, их количество
=2. Эти векторы могут быть приняты в качестве ФСР.
5). Используя ФСР, запишем общее решение: =
+
+
. Такая запись общего решения невозможна для неоднородной системы!
Ответ: общее решение: =
;
=
; или:
=
+
+
.
ФСР: = (2, 0, 6, 0,0);
= (–4,–3, 0,6,0);
= (–10,9, 0, 0,6).
Варианты индивидуальных заданий:
Вар. | Задание: | Вар. | Задание: | Вар. | Задание: |
1. | ![]() | 2. | ![]() | 3. | ![]() |
4. | ![]() | 5. | ![]() | 6. | ![]() |
7. | ![]() | 8. | ![]() | 9. | ![]() |
10. | ![]() | 11. | ![]() | 12. | ![]() |
13. | ![]() | 14. | ![]() | 15. | ![]() |
16. | ![]() | 17. | ![]() | 18. | ![]() |
19. | ![]() | 20. | ![]() | 21. | ![]() |
22. | ![]() | 23. | ![]() | 24. | ![]() |
25. | ![]() | 26. | ![]() | 27. | ![]() |
28. | ![]() | 29. | ![]() | 30. | ![]() |
6.4. Решить систему неоднородных линейных уравнений, записав его общее решение в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения присоединённой однородной системы.
Общие сведения и расчётные формулы: для выполнения задания достаточно следовать алгоритму решения, представленному в примере.
Пример – 1: Решить систему уравнений: записав общее решение в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения присоединённой однородной системы.
Решение:
1). Полное исследование системы позволяют провести как метод Гаусса, так и алгоритм в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли. Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
-15 | ||||||||||||||
-22 | -30 | |||||||||||||
-21 | =(1)→ | =(2)→ | ||||||||||||
-16 | -21 | -1 |
-30 | |||||||
=(3)→ | |||||||
-2 | -1 |
Выполнены операции: (1): [R1]–[R4]; [R3]–[R2]; [R2]–[R1]·8; [R4]–[R1]·5. (2): [R3]–[R1]; [R4]–[R2]. (3): обрабатываем результаты.
2). Получены результаты: - система совместна;
- ранг системы равен 3; свободные неизвестные: и
:
- раскрываем строки преобразованной системы:
из уравнения [R4]: =
; из уравнения [R2], с учётом найденного значения неизвестной
:
=
; из уравнения [R1], с учётом найденных значения неизвестных
и
:
=
.
3). Частное решение системы найдём при условии, что свободным неизвестным присвоили значения =1,
=1
=
;
=
;
=
, обозначим его:
=
.
4). Общее решение присоединённой однородной системы: =
;
=
;
=
. Построим ФСР (фундаментальную систему решений):
x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | |
α 1 | -5 | ||||
α 2 | -53 |
Векторы-решения ,
линейно независимы, их количество
=2. Эти векторы могут быть приняты в качестве ФСР.