Способ– 1. Используем равенство отклонений = каждой точки биссектрисы от сторон тупого угла, которому она принадлежит.
Решение:
1). Запишем векторы: , . Вычислим: ∙ =3·12+(-4)·5>0. Это значит, что векторы и располагаются в области тупого угла.
2). Общая запись уравнения биссектрисы имеет вид: = , а в нашем случае: = , откуда получаем уравнение искомой биссектрисы: .
Ответ: .
Способ– 2. В этом случае применим схему решения задачи: а) находим точку пересечения прямых и ; б) находим направление биссектрис ; в) проводим прямую через заданную точку в заданном направлении.
Решение:
1). Координаты находим из системы уравнений: → = .
2). Так как и , то и . Тогда: = – =– (3,11). Вектор можно принять в качестве нормали искомой биссектрисы. Удобнее принять коллинеарный ему вектор: .
3). Общее уравнение биссектрисы запишем в виде: . В нашем примере: 3 +11 =0, или .
Ответ: .
Способ– 3. Воспользуемся уравнением пучка прямых: , или в виде: и направляющим вектором =(11,–3)..
Решение:
1). Вычислим угловой коэффициент прямой пучка: .
2). Вычислим угловой коэффициент направляющего вектора: – .
3). Воспользуемся равенством: =– , откуда получаем: .
4). Подставляем значение в уравнение: . Окончательно записываем уравнение искомой биссектрисы: .
Ответ: .
Выводы: 1). В рассматриваемой задаче Способ– 1 демонстрирует великолепные возможности использования нормальных уравнений прямой!
2). Применение Способа– 3 демонстрирует эффективность использования конструкции пучок.
3). Применение Способа– 2 также полезно, так как требует минимум специальных знаний. Это может сработать при выполнении контрольной работы!
Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!
Варианты индивидуальных заданий:
Вар. | Задание: | Вар. | Задание: |
1. | 16. | ||
2. | 17. | ||
3. | 18. | ||
4. | 19. | ||
5. | 20. | ||
6. | 21. | ||
7. | 22. | ||
8. | 23. | ||
9. | 24. | ||
10. | 25. | ||
11. | 26. | ||
12. | 27. | ||
13. | 28. | ||
14. | 29. | ||
15. | 30. |
2.2. Даны координаты вершин и треугольника и точка пересечения его высот. Найти координаты вершины треугольника.
Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.
Пусть прямая : x + y + = 0 определяет сторону треугольника, а прямая : x + y + = 0 сторону . Тогда вектор можем принять в качестве нормали прямой , а вектор в качестве нормали прямой . Остаётся воспользоваться уравнением прямой, для которой задан вектор нормали и точка, принадлежащая прямой! Как только будут построены уравнения прямых, нетрудно найти их точку пересечения .
Пример (и образец оформления):
Общая часть. Пусть вершины и треугольника : =(-10,2), =(6,4) и точка пересечения его высот: =(5,2). Найти координаты вершины .
Решение:
1) Вычислим: = – =(5,2)–(6,4)=(-1,-2)= ; = – =(5,2)–(-10,2)=(15,0)= .
2). Заменим полученные векторы нормалей коллинеарныvми им, но более простые в записи:
=(1.2), =(1,0).
3). Воспользуемся общим уравнение прямой для случая, когда задан вектор нормали прямой и точка, принадлежащая прямой: . Тогда получим:
: → ;
: → .
4). Вычислим координаты точки : откуда , .
Ответ: = .
Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!
Варианты индивидуальных заданий:
Вар. | Задание: | Вар. | Задание: | ||||
1. | 16. | ||||||
2. | 17. | ||||||
3. | 18. | ||||||
4. | 19. | ||||||
5. | 20. | ||||||
6. | 21. | ||||||
7. | 22. | ||||||
8. | 23. | ||||||
9. | 24. | ||||||
10. | 25. | ||||||
11. | 26. | ||||||
12. | 27. | ||||||
13. | 28. | ||||||
14. | 29. | ||||||
15. | 30. |
2.3. Даны координаты вершин треугольника . Составить уравнения: стороны , высоты, биссектрисы и медианы, проведённых из вершины A.
Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.
Для решения задачи необходимо вспомнить формулы, определяющие уравнение прямой, для случаев:
1*. Заданы две точки, принадлежащие прямой. Тогда уравнение прямой, проходящей через две заданные точки записывают в форме : , где = .
2*. Заданы: точка A, принадлежащая прямой, и направление прямой. Для построения уравнения прямой, содержащей высоту, опущенную на , учтём: . Это значит: . Так как после построения уравнения будет известно, то уравнение прямой может быть записано в виде: , где = .
3*. Тремя точками задан угол с вершиной в точке . Прямая проходит через точку и делит угол: пополам. Эту задачу можно решить двумя вариантами:
а). Используем равенство углов: = . Обозначив угловой коэффициент прямой через , запишем: = , причём угловые коэффициенты сторон заданного угла вычисляют по формулам: , . Для искомой прямой уравнение принимает вид: : .
б). Определим направление стороны угла единичным вектором: , стороны – единичным вектором: . Тогда направляющий вектор прямой, совпадающей с биссектрисой может быть записан в виде: . После этого остаётся воспользоваться каноническим уравнением прямой: = .
4*. Заданы: точка , принадлежащая прямой, и концы отрезка точками и . Прямая совпадает с медианой, проведённой из точки к середине отрезка – точке . Далее задача совпадает с задачей 1*: записываем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки записывают в форме : , где = .
Пример (и образец оформления):
Общая часть. Пусть задан треугольник его вершинами: , , . Составить уравнения: стороны , высоты, медианы и биссектрисы, проведённые из вершины A.
Решение задачи 1*.
1). Уравнение прямой , содержащей точки и : , где = .
2). Вычислим = = =4.
3). Запишем уравнение прямой : , или в виде: .
Ответ: .
Решение задачи 2*.
1). Уравнение прямой , содержащей высоту , опущенную на : , где = .
2). Учитывая результат задачи 1*, вычислим = = .
3). Запишем уравнение прямой : , или в виде: .
Ответ: .
Решение задачи 3*.
1). Уравнение биссектрисы определим двумя способами.
Способ -1. Общая запись уравнения: : y – = (x – ), где вычисляем из выражения: = , причём , .
1). Вычислим , . Тогда =0.
2). Уравнение принимает вид: .
Ответ: .
Способ -2. Общая запись канонического уравнения : = , где = , причём , = = ; = = = .
1). Вычислим: = =(4,-3) –(1,1)=(3,-4); =5 → = (3,–4);
= =(7, 9) –(1, 1)=(6,8); =10 → = (3,4).
2). Тогда: = (3,–4)+ (3,4)= (3,0) → принимаем: =(1,0).
3). Получили уравнение в виде: = , или: .
Ответ: .
Решение задачи 4*.
1). Уравнение прямой , содержащей медиану , проведённую из точки к середине отрезка – точке , имеет вид: , где = .
2). Вычислим координаты точки M из условия: = , или M = = = .
3). Тогда: = = и уравнение принимает вид: , или: .
Ответ: .
Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!
Варианты индивидуальных заданий:
Вар. | Задание: | Вар. | Задание: | ||||
1. | 16. | ||||||
2. | 17. | ||||||
3. | 18. | ||||||
4. | 19. | ||||||
5. | 20. | ||||||
6. | 21. | ||||||
7. | 22. | ||||||
8. | 23. | ||||||
9. | 24. | ||||||
10. | 25. | ||||||
11. | 26. | ||||||
12. | 27. | ||||||
13. | 28. | ||||||
14. | 29. | ||||||
15. | 30. |