8.8. Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей. Найти матрицу оператора в базисе из собственных векторов.
Общие сведения и расчётные формулы: для выполнения задания необходимо знать:
Если задана матрица линейного преобразования, то можно записать характеристическую матрицу и характеристический многочлен этого преобразования:
= → = =0.
Решая уравнение: =0, находят характеристических корней этого многочлена:
= .
Эти корни являются собственными значениями линейного преобразования , используя которые, можно записать для некоторого вектора :
= ,
вектор в этом случае называют собственным вектором преобразования , соответствующим собственному значению .
Для нахождения собственных векторов линейного преобразования , соответствующих характеристическому корню , необходимо найти ненулевые решения системы линейных уравнений:
= · =0. (1)
Если в качестве базиса линейного векторного пространства выбрать все собственные векторы, то матрица линейного преобразования будет иметь в этом базисе самый простой вид, а именно:
.
Примеры (и образец оформления):
Пример – 1: Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей: = . Найти матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования.
Решение:
Схема решения: 1) составляем характеристический многочлен и находим его корни;
2) составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов;
3) находим поочередно для каждого собственного значения собственные векторы линейного преобразования.
4) строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования.
1). В нашем случае характеристический многочлен имеет вид:
= = – –(2+ ) = –( +1)3,
его корни: = –1, кратности 3.
2). Составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов:
== (1)
3). Находим собственные векторы линейного преобразования, используя общую запись системы уравнений в виде (1) для = –1:
®
где x3 свободная неизвестная; пусть x3 = –с, тогда x1 = с, x2 = с, получаем: = с(1,1,–1).
4). Строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования: .
Ответ: собственные значения: = –1, кратности 3; собственные векторы линейного преобразования имеют вид: = с×(1,1,–1), где с ¹ 0. Матрица преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования: .
Пример – 2: Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей: = . Найти матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования.
Решение:
Схема решения: 1) составляем характеристический многочлен и находим его корни;
2) составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов;
3) находим поочередно для каждого собственного значения собственные векторы линейного преобразования.
4) строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования.
1). В нашем случае характеристический многочлен имеет вид:
= = = –( –2) =
= ( –2) ( –1) –3(λ–2) = – ( +1)( +2)( –2),
его корни: = –1, = –2, = 2.
2). Составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов:
== (1)
3). Находим собственные векторы линейного преобразования, используя общую запись системы уравнений в виде (1):
для = –1: ®
где свободная неизвестная; пусть = , тогда = , = , получаем: = ·(1,1,1).
для = –2: ®
где свободная неизвестная; пусть =3 , тогда =2 , =3 , получаем: = ·(2,3,3).
для = 2: ®
где свободная неизвестная; пусть =7 , тогда =4 , = , получаем: = ·(4,1,7).
4). Строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования: .
Ответ: собственные значения: = –1, = –2, = 2; собственные векторы линейного преобразования имеют вид: = ·(1,1,1), где ¹ 0; = ·(2,3,3), где ¹ 0; = ·(4,1,7), где ¹ 0. Матрица преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования: .
Варианты индивидуальных заданий:
Вар. | Задание: | Вар. | Задание: | Вар. | Задание: |
1. | 2. | 3. | |||
4. | 5. | 6. | |||
7. | 8. | 9. | |||
10. | 11. | 12. | |||
13. | 14. | 15. | |||
16. | 17. | 18. | |||
19. | 20. | 21. | |||
22. | 23. | 24. | |||
25. | 26. | 27. | |||
28. | 29. | 30. |