Векторы. Операции с векторами.

1.1. Дана система векторов: , , , . Найти какой-нибудь базис этой системы векторов и все век­торы системы, не входящие в этот базис, выразить через векторы базиса.

Общие сведения. Базисом называют:

1^*. На прямой: любой ненулевой вектор . Всякий вектор , лежащий на этой прямой, мо­жет быть представлен в виде: = · , число – координата относительно этого ба­зиса.

2^*. На плоскости: любая пара неколлинеарных векторов , . Всякий вектор , лежащий в этой плоскости, может быть представлен в виде: = · + · , числа – коорди­наты относительно этого базиса.

3^*. В пространстве: любые три вектора , , , если они не компланарны. Всякий вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса: = · + · + · , где , , – координаты вектора относительно этого базиса.

Так как пространство можно рассматривать как общий случай 3-мерного пространства, а плоскость и прямую как частные случаи, то решать задачу будем для 3-мерных векторов.

Общая схема решения задачи:

1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов.

2). Если базис выделен, записываем линейную комбинацию: = · + · + · .

3). Решая систему уравнений, вычисляем неизвестные: , , .

4). Оформляем ответ.

Примеры (и образец оформления):

Пример- 1^*: Заданы векторы: =(1), =(3), =(2). Найти какой-нибудь базис этой системы векто­ров и выразить через него остальные векторы заданной системы векторов.

Решение:

1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов. Так как из записи векторов следует, что все они принадлежат некоторой прямой, то признаком существования базиса является присутствие в совокупности векторов , , ненулевого вектора.

2). В качестве базиса примем вектор . Тогда можем записать: = · , = · .

3). Решаем уравнения: (3)= ·(1); (2)= ·(1), то есть уравнения: 3 = ·1; 2 = ·1, из чего следует: =3; =2.

Ответ: один из базисов: ; тогда: =3 , =2 .

Пример- 2^*: Заданы векторы: =(1,2), =(3,1), =(2,3). Найти какой-нибудь базис этой системы век­торов и выразить через него остальные векторы заданной системы векторов.

Решение:

1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов. Так как из записи векторов следует, что все они принадлежат некоторой плоскости, то признаком существова­ния базиса является наличие в совокупности векторов , , хотя бы двух неколлинеарных векторов. В нашем случае среди заданных векторов нет коллинеарных. Это значит: любая пара векторов из заданной совокупности векторов может быть принята в качестве базиса.

2). В качестве базиса примем векторы и . Тогда можем записать: = · + · , то есть: ·(1,2)+ · (3,1)=(2,3). Используя свойства линейных операций с векторами, представим по­следнее равенство в виде: ( ·1+ ·3; ·2+ ·1)= (2,3), или в виде системы уравнений:

3). Решение системы уравнений: . Тогда можем записать: = .

Ответ: один из базисов: , ; тогда: = .

Пример- 3^*: Заданы векторы: =(3,1,2), =(1,3,1), =(-1,2,4), =(-2,4,7). Найти какой-нибудь ба­зис этой системы векторов и выразить через него остальные векторы заданной системы векторов.

Решение:

1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов. Так как из записи векторов следует, что все они принадлежат некоторому пространству, то признаком сущест­вования базиса является наличие в совокупности векторов , , , хотя бы трёх некомпла­нарных векторов. Так как векторы , неколлинеарные, то будем проверять тройки векто­ров , , и , , , используя понятие смешанного произведения:

= = = 35 0, = = = -40 0.

2). В качестве базиса может быть принята любая из троек векторов из заданной системы векто­ров. Примем в качестве базиса тройку векторы , , . Тогда можем записать: = · + · + · , то есть: ·(3,1,2)+ ·(1,3,1)+ ·(-1,2,4)=(-2,4,7). Используя свойства ли­нейных операций с векторами, представим последнее равенство в виде: ( ·3+ ·1– ·1; ·1+ ·3+ ·2; ·2+ ·1+ ·4)=(-2,4,7), или в виде системы уравнений:

3). Решение системы: . Тогда можем записать: = · + · + · .

Ответ: один из базисов: , , ; тогда: = · + · + · .

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.	=(3,1,2), =(1,3,1), =(-1,2,4), =(-2,4,7).	16.	=(2,3,1), =(2,2,3), =(4,1,2), =(8,0,5).
2.	=(1,3,0), =(2,-1,1), =(1,-1,2), =(6,12,-1).	17.	=(4,2,3), =(3,2,-1), =(4,1,2), =(3,1,8).
3.	=(2,1,-1), =(4,3,2), =(1,-1,1), =(1,-4,4).	18.	=(1,2,-1), =(3,0,2), =(-1,1,1), =(8,1,12).
4.	=(4,1,1), =(2,-1,-3), =(-1,2,1), =(-9,5,5).	19.	=(1,4,1), =(-3,2,0), =(1,-1,2), =(-9,-8,-3).
5.	=(-2,3,1), =(1,3,-1), =(2,4,1), =(-5,-5,5).	20.	=(2,1,-2), =(3,-1,1), =(4,1,0), =(-5,9,-13).
6.	=(5,1,1), =(2,-1,3), =(1,2,-1), =(13,,7).	21.	=(0,5,1), =(3,2,-1), =(-1,1,0), =(-15,5,6).
7.	=(3,2,1), =(-2,2,1), =(3,1,-1), =(6,12,-1).	22.	=(2,2,-1), =(0,-2,1), =(1,3,1), =(8,9,4).
8.	=(3,1,2), =(2,1,1), =(2,-1,4), =(3,-3,4).	23.	=(2,2,1), =(1,-2,0), =(-3,2,5), =(3,-4,0).
9.	=(4,2,1), =(-1,2,1), =(-1,1,2), =(3,3,-1).	24.	=(2,1,3), =(3,5,3), =(4,2,1), =(3,1,3).
10.	=(-1,2,1), =(2,1,3), =(1,1,-1), =(-1,7,4).	25.	=(2,3,1), =(1,-1,2), =(2,-1,0), =(-1,7,0).
11.	=(1,1,4), =(0,-3,2), =(2,1,-1), =(6,5,-14).	26.	=(1,-1,2), =(3,2,0), =(-1,1,1), =(11,-1,4).
12.	=(1,-2,0), =(1,1,3), =(1,1,4), =(6,-1,7).	27.	=(-1,1,2), =(0,3,2), =(1,-1,1), =(1,3,-1).
13.	=(1,0,5), =(-1,3,2), =(1,-1,1), =(5,15,0).	28.	=(2,1,3), =(-1,0,4), =(3,2,4), =(4,1,3).
14.	=(1,3,2), =(0,-1,2), =(3,3,4), =(2,-1,11).	29.	=(-3,2,4), =(-2,0,1), =(2,3,1), =(3,-2,0).
15.	=(1,-1,2), =(-1,0,1), =(2,5,-3), =(11,5,-3).	30.	=(5,1,3), =(0,1,2), =(-1,1,1), =(1,1,1).

 

1.2. Заданы точки A, B, C, D в правой системе координат. Вычислить указанные в заданиях величины с точностью 0.001.

а) проекцию вектора на вектор ;

б) площадь треугольника ABC;

в) объём тетраэдра .

Общие сведения: по всем представленным заданиям:

1). Для удобства применения необходимых выражений обозначим: A = , B = , C = , D = . Тогда можем записать выражения для векторов, используемые во всех названных за­дачах: = B–A = = ;

= D–A = = .

= C–A = = .

2). Теперь приступим к решению задач, применяя формулы из общей теории.

а)^*. Заданы векторы и . Требуется найти проекцию вектора на направление, определяе­мое вектором . Из выражения для скалярного произведения заданных векто­ров: проекция вектора на направление может быть вычислена по формуле: = . Рисунки иллюстрируют формулы:

 

Для векторов, заданных в координатной форме, запишем необходимые для вычисления выражения:

= ;

б)^*. Заданы векторы и . Требуется найти площадь треугольника, образованного векто­рами и . Известно, что площадь параллелограмма, заданного векторами и , опреде­ляется выражением: , где – модуль векторного произведе­ния векторов и . Для решаемой задачи это значит, что площадь треугольника, постро­енного на векторах и , можно вычислять по формуле:

, где = = = ∙ – ∙ j + ∙ k,

где – единичные векторы, определяющие направления осей правой прямоугольной системы координат .

в)^*. При вычислении объёма тетраэдра важно вспомнить, что , где – объём параллелепипеда. В задании требуется вычислить объём , определяемого тремя векторами , , . Но этими же векторами определяется параллелепипед, объём которого вычисляется при помощи смешанного (векторно-скалярного) произведения этих векторов. Для иллюстрации используемых при решении задачи формул удобно привести все векторы к общей точке: так как векторы свободные, то от этого они не изменяются. На рисунке показаны все участвующие в формулах элементы.

Имеем: ( x )∙ = ∙ = ∙ = ∙ , где | |=H, причём =H, если тройка векторов – правая и =–H, если – левая. Из этой фор­мулы следует: ( x )∙ = V – объём параллеле­пи­педа, но со знаком.

Так как в задании требуется вычислить только объём, то независимо от того, какая тройка используется в вариантах задания, все используют формулу: |( x )∙ |=| V |.

Итак, имеем векторы , , . Вычисляем:

( x )∙ = – + = = .

Записываем окончательную формулу: = |( x )∙ |.

Примеры (и образец оформления):

Общая часть. Пусть имеем точки A = =(1,2,0), B = =(1,1,2), C = =(2,3,1), D = =(0,1,-1). Построим векторы: = B–A = = = (0,-1, 2);

= D–A = = =(-1,-1,-1).

= C–A = = =(1,1,1);

2). Теперь приступим к решению задач, применяя необходимые формулы.

Пример- а)^*: Используем полученные векторы: =(0,-1,2), =(-1,-1,-1). Требуется найти проекцию вектора на направление, определяемое вектором .

Решение:

1). Воспользуемся формулой: = .

2). Вычислим: = = =–1.

3). Вычислим: = = .

4). Вычислим: = = =– =–0.577350269... При заданной точности вычислений при­мем: =–0.577.

Ответ: =–0.577.

Пример- б)^*: Используем полученные векторы: =(0,-1,2), =(1,1,1). Требуется найти площадь треугольника, образованного векторами и .

Решение:

1). Общая формула: , где = = = ∙ – ∙ + ∙ .

2). Вычислим: = = ∙ – ∙ + ∙ = –3 +2 – .

3). Вычислим: = = .

4). Вычислим: = =1.87082869... При заданной точности вычислений примем: =1.871.

Ответ: =1.871.

Пример- в)^*: Заданы векторы: =(0,-1,2), =(-1,-1,-1), =(1,1,1). В задании требуется вычислить объём тетраэдра , определяемого тремя векторами , , .

Решение:

1). Общая формула: = .

2). Вычислим: = = =0 – векторы , , компланарны.

3). Вычислим: |( x )∙ |=0.

4). Вычислим: =0. При заданной точности вычислений примем: =0.000.

Ответ: =0.000.

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.	A =(1,3,6), B =(2,2,1), C =(-1,0,1), D =(-4,6,3).	16.	A =(1,5,-7), B =(-3,6,3), C =(-2,7,3), D =(-4,8,-12).
2.	A =(-4,2,6), B =(2,-3,0), C =(-10,5,8), D =(-5,2,4).	17.	A =(-3,4,-7), B =(1,5,-4), C =(-5,-2,0), D =(2,5,4).
3.	A =(7,4,2), B =(7,-1,-2), C =(3,3,1), D =(-4,2,1).	18.	A =(-1,2,-3), B =(4,-1,0), C =(2,1,-2), D =(3,4,5).
4.	A =(2,1,4), B =(-1,5,-2), C =(-7,3,2), D =(-6,-3,6).	19.	A =(4,-1,3), B =(-2,1,0), C =(0,-5,1), D =(3,2,-6).
5.	A =(-1,-5,2), B =(-6,0,3), C =(3,6,-3), D =(-10,6,7).	20.	A =(1,-1,1) B =(-2,0,3), C =(2,1,-1), D =(2,-2,4).
6.	A =(0,-1,-1), B =(-2,3,5), C =(1,5,-9), D =(-1,-6,3).	21.	A =(1,2,0), B =(1,-1,2), C =(0,1,-1), D =(-3,0,1).
7.	A =(5,2,0), B =(2,5,0), C =(1,2,4), D =(-1,1,1).	22.	A =(1,0,2), B =(1,2,-1), C =(2,-2,1), D =(2,1,0).
8.	A =(2,-1,-2), B =(1,2,1), C =(5,0,-6), D =(-10,9,-7).	23.	A =(1,2,-3), B =(1,0,1), C =(-2,-1,6), D =(0,-5,-4).
9.	A =(-2,0,-4), B =(-1,7,1), C =(4,-8,-4), D =(1,-4,6).	24.	A =(3,10,-1), B =(-2,3,-5), C =(-6,0,-3), D =(1,-1,2).
10.	A =(4,4,5), B =(-5,-3,2), C =(-2,-6,-3), D =(-2,2,-1).	25.	A =(-1,2,4), B =(-1,-2,-4), C =(3,0,-1), D =(7,-3,1).
11.	A =(1,2,0), B =(3,0,-3), C =(5,2,6), D =(8,4,-9).	26.	A =(0,-3,1), B =(-4,1,2), C =(2,-1,5), D =(3,1,-4).
12.	A =(2,-1,2), B =(1,2,-1), C =(3,2,1), D =(-4,2,5).	27.	A =(-1,0,3), B =(4,2,1), C =(-3,-1,0), D =(4,1,5).
13.	A =(1,1,2), B =(-1,1,3), C =(2,-2,4), D =(-1,0,-2).	28.	A =(2,4,-2), B =(0,1,-3), C =(1,4,7), D =(-3,0,5).
14.	A =(2,3,1), B =(4,1,-2), C =(6,3,7), D =(7,5,-3).	29.	A =(-1,0,2), B =(3,7,1), C =(1,2,5), D =(-4,0,1).
15.	A =(1,1,-1), B =(2,3,1), C =(3,2,1), D =(5,9,-8).	30.	A =(2,3,4), B =(-5,1,0), C =(2,7,1), D =(-3,0,5).

Прямая на плоскости.

2.1. Даны уравнения двух прямых. Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образованного этими прямыми.

Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.

Пусть имеем две прямые: : x + y + = 0 и : x + y + = 0. Уравнением определя­ется вектор нормали , уравнением вектор нормали . Так как векторы и – свободные, то изобразим их так, чтобы их начала принадлежали соответствующим плоскостям, а сами они располагались внутри одного из углов, образованных пересекающимися прямыми. Важно помнить также, что уравнение прямой можно умножать на произвольное, не равное нулю число. Это значит, что, по необходимости, мы можем разместить векторы и как внутри тупого, так и внутри острого угла. Пусть векторы и разместились внутри тупого угла, как показано на рисунке. Умножим уравнение на число (-1). Вектор нормали этой прямой станет равным , и пара векторов и располо­жится внутри острого угла. Видим, когда векторы нормалей плоскостей располагаются внутри тупого угла угол между ними острый. И наоборот, если векторы расположились внутри острого угла, то угол между ними тупой. Какой из случаев реализуется в конкретном примере, легко определить при помощи скалярного произведения:

а) ∙ > 0 – век­торы расположены в области тупого угла;

б) ∙ < 0 – векторы расположены в области ост­рого угла.

Так как от случая а) легко перейти к случаю б), то для определённости будем считать, что всегда нужно строить биссектрису тупого угла.

Отметим факт: рассматриваемую задачу относят к классическим задачам аналитической геометрии. Важно также то, что существует несколько способов решения этой задачи, причём существенно различающихся как по теоретическим основам, так и технологии применяемых вычислений!

Способ– 1. Пусть ∙ > 0: векторы и располагаются в области тупого угла.

Воспользуемся свойством биссектрисы: каждая принадлежащая ей точка одинаково уда­лена от сторон угла, который биссектриса делит пополам.

Для эффективного (и удобного) исполь­зования понятия расстояние от точки до пря­мой, каждое из уравнений заданных прямых необходимо нормализовать. Нормированное урав­нение прямой удобно как для вычисления откло