11. (МГУ 1996). Во сколько раз сила давления воды на нижнюю половину вертикальной стенки полностью заполненного колодца отличается от силы давления воды на всю стенку, если давление на дно колодца превышает атмосферное в n = 3 раза?
Решение:
Давление в покоящейся относительно инерциальной системы отсчета жидкости на глубине h от ее поверхности определяется давлением на открытую поверхность, которое равно атмосферному давлению pa и гидростатическим давлением столба жидкости ρgh. Поэтому распределение давления в заполненном колодце глубиной H будет иметь вид линейной зависимости.
Учитывая, что сила давления на полоску боковой стенки шириной b, расположенную на глубине h1 и столь малой высоты δh, что можно пренебречь изменением давления в ее пределах, равна Fh1 = (pa + ρgh1)bδh, т. е. пропорциональна площади выделенного на рисунке прямоугольника, можно утверждать, что сила давления на всю боковую стенку пропорциональна площади трапеции OHApa, а на нижнюю половину этой стенки − (H/2)HAa. Поскольку pm = npa, p1 = (n + 1)pa/2, используя формулу расчета площади трапеции, получим: Fn = (n + 1)Hbpa/2, F1 = (n + (n + 1)/2)/2 × (H/2)bpa. где Fn и F1 − силы давления на всю и нижнюю половину стенки.
Отсюда искомое отношение F1/F2 = (3n + 1)/[4(n + 1)] = 5/8.
Ответ: F1/F2 = (3n + 1)/[4(n + 1)] = 5/8.
12. Сосуд, имеющий форму куба, длина ребра которого равна d = 1 м, заполнен водой. С какой силой вода давит на боковую стенку сосуда? Атмосферное давление не учитывать.
Решение: Построим график зависимости гидростатического давления P от глубины h (рис.). Далее разобьём высоту вертикальной стенки сосуда на много маленьких отрезков. Длину каждого отрезка обозначим за Δh. Таким образом, вертикальную стенку мы разбили на много полосок длиной 1 м и высотой Δh. Так как каждая полоска узкая, давление во всех её точках можно приближённо считать одинаковым. Поэтому сила, действующая на одну полоску, примерно равна F = PS = P·Δh·1 м. Нарисуем под графиком прямоугольники со сторонами P и Δh (рис.а). Сила F, действующая на одну полоску, равна площади одного прямоугольника, умноженной на 1 м. Значит, сила, действующая на всю вертикальную стенку, примерно равна сумме площадей маленьких прямоугольников, умноженной на 1м. Чем меньше ширина полоски Δh, тем точнее вычисляется сила, т.к. давление в точках одной полоски можно с большей точностью считать одинаковым. Из этих рассуждений следует, что сила давления на боковую стенку равна площади фигуры под графиком (в данном случае – треугольника), умноженной на 1 м. Теперь вы легко найдёте эту силу: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника со сторонами 1 м и 10000 Па («площадь» выражается в данном случае в Па·м). Отметим, что мы нашли способ вычисления среднего давления. Давление Pср является средним, если площадь прямоугольника, обозначенного пунктиром (рис.б) равна площади фигуры под графиком (в данном случае – треугольника).
13. 
В сосуде находится неоднородная жидкость (рис.), плотность которой – линейная функция от координаты x: ρ = ρ0 + kx, где ρ0= 700кг/м3, а k = 200кг/м4. Дно сосуда имеет координату x1 =1м (см.рис).
1. Найдите гидростатическое давление на дно сосуда.
2. Найдите массу жидкости в сосуде, если известно, что площадь дна равна S = 2 дм2.
Решение: Действуйте так же, как в задаче 16. Постройте график зависимости плотности от координаты. Пользуясь графиком, найдите среднюю плотность. После этого можно подставлять среднюю плотность во все известные вам формулы.
Дз
14. Уровень воды в цилиндрическом сосуде с площадью основания 5 дм2 при полном погружении тела повысился на 2 см. Архимедова сила, действующая на тело, равна … H.
Решение.
Погруженное в жидкость тело вытесняет объем жидкости равный объему погруженного тела. V = S × h. Архимедова сила, действующая на погруженное в жидкость (или газ) тело, равна весу жидкости (или газа), вытесненной телом.
FA = mжg = ρжVg = ρжShg.
Таким образом, FA = ρжShg,
и FA = 1000 × 5 × 10−2 × 0,02 × 10 = 10 (H).
Ответ: FA = 10 Н.
15. В цилиндрический сосуд с площадью дна S налита вода. На сколько поднимется уровень воды, если в сосуд поместить деревянный брусок массой m?
Решение.
Изменение уровня воды связано с объемом погруженной части бруска соотношением
SΔh = Vп.
Действительно, объем, отсекаемый новым уровнем поверхности воды, превышает объем самой воды, с одной стороны, на Vп, а с другой, чисто геометрически, − на SΔh (рис.).
Погруженный объем найдем из условия плавания бруска в воде плотностью ρв:
mg = FA,
где FA = ρвgVп.
Окончательно получаем
Δh = m/(ρвS).
C другой стороны:
И до, и после погружения бруска сила реакции дна сосуда, равная силе давления воды на дно Fд = ρвghS, уравновешивает силу тяжести всего содержимого сосуда (атмосферное давление влияния не оказывает).
Поэтому изменение силы давления равно изменению силы тяжести:
ρвgΔhS = mg, откуда получаем правильный ответ Δh = m/(ρвS).
16. (РГУНГ 2003). В цилиндрическом сосуде с водой площадью 200 см2 плавает в вертикальном положении цилиндр высотой 30 см и площадью основания 100 см2. Какую работу (в мДж) надо совершить, чтобы полностью извлечь цилиндр из воды, если он сделан из материала плотностью 400 кг/м3? Плотность воды 1000 кг/м3.
Решение:
При извлечении цилиндра уровень воды в сосуде понизится. Найдем понижение уровня Δh из условия SΔh = Vпогр, где Vпогр − объем погруженной части цилиндра. Запишем условие плавания цилиндра (равенство архимедовой силы и силы тяжести):
ρвgVпогр = ρgV. Отсюда Vпогр = (ρ/ρв)SцH,
hпогр = (ρ/ρв)H, Δh = (ρ/ρв) × (Sц/S) × H, где H – высота цилиндра. Работа совершается на пути x = hпогр − Δh = H(ρ/ρв) × (1 − Sц/S), причем сила тяги линейно возрастает от
F1 = 0 до F2 = mg = ρgSцH.
Получаем A = (0 + mg)x/2 = ρ2gH2(1 − Sц/S) = 360 мДж.
Ответ: A = 360 мДж.